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- 2021-05-13 发布
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高三数学模拟卷
（本试卷满分 160 分，考试时间 120 分钟）
一， 填空。（14×5）
1，已知 M={2,a，b}，N={2a，2，b2}，且 M=N,则（a，b）＝ 。
2，已知函数 f（x）满足：f（x）＋2f（1/x）=x, f（x）＝ 。
3，三次掷骰，点数成等差数列的概率 P＝ 。
4，若 AB=2,AC= 2 BC,则△ABC 的面积最大值＝ 。
5，1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝ 。
6，设 a>b>0,则 a2+ ab
1 + b)-(a
1
a
的最小值＝ 。
7，计算：cos7o+ cos47o + cos87o+…+ cos327o＝ 。
8,n,m 是两个单位向量，其夹角为 60o，则向量 a=2m+n 与 b＝2n-3m
的夹角＝ 。
9，△ABC 中，已知 tanA＝2，tanB＝3，则角 C＝ 。
10，已知椭圆 x2/16+y2？/4=1,过点 P(2,1)作弦，使弦在这点被平分，则
此弦所在直线的方程为： 。
11, 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
12,已知实数 yx, 满足
21
2
2
x
yx
yx
，则 |2| yxz 的最大值是 ．
（第 11 题）
1
1
正视图
1
侧视图
1
俯视图
13.执行下图所示的程序框图，输出结果 y 的值是_________.
14. 点 P(x,y)在曲线(x－2)2+2y2=1 上运动，则 2 x+2y2 的最大值是 .
二， 解答题。（6 大题，共 90 分）
15．（本小题满分 14 分）
已知函数 )sin()( xAxf ( x R， 0A ， 0 ，
20 )图象如图，P 是图象的最
高点，Q 为图象与 x 轴的交点，O 为原点．且 2|| OQ ，
2
5|| OP ，
2
13|| PQ ．
（Ⅰ）求函数 )(xfy 的解析式；
（Ⅱ）将函数 )(xfy 图象向右平移 1 个单位后得到函数
)(xgy 的 图 象 ， 当 ]2,0[x 时 ， 求 函 数
)()()( xgxfxh 的最大值．
（正视图） （侧视图）
（俯视图）
2
2
2
2
2
2
22 2
（第 12 题图）
（第 13 题图）
x
y
P
QO
（第 15 题）
16，（本题满分 14 分）如图，四边形 ABCD 中， BCD 为正三角形， 2 ABAD ， 32BD ，
AC 与 BD 交于 O 点．将 ACD 沿边 AC 折起，使 D 点至 P 点，已知 PO 与平面 ABCD
所成的角为 ，且 P 点在平面 ABCD 内的射影落在 ACD 内．
（Ⅰ）求证： AC 平面 PBD；
（Ⅱ）若已知二面角 DPBA 的余弦值为
7
21 ，求 的大小.
D
A
B
C
O
P
（第 16 题）
17，．（本题满分 14 分）数列 }{ na 是公比为
2
1 的等比数列，且 21 a 是 1a 与 31 a 的等比中
项，前 n 项和为 nS ．数列 }{ nb 是等差数列， 81 b ，前 n 项和 nT 满足 (1 nn bnT
为常数，且 )1 ．
（Ⅰ）求数列 }{ na 的通项公式及 的值；
（Ⅱ）比较
nTTT
111
21
与 nS2
1 的大小.
18，（本题满分 16 分）如图，分别过椭圆 E： )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 左右焦点 1F 、 2F 的动
直线 l1、l2 相交于 P 点，与椭圆 E 分别交于 A、B 与 C、D 不同四点，直线 OA、OB、
OC、OD 的斜率 1k 、 2k 、 3k 、 4k 满足 4321 kkkk ．已知当 l1 与 x 轴重合时，
32|| AB ，
3
34|| CD ．
（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；
（Ⅱ）是否存在定点 M、N，使得 |||| PNPM 为定值．若存在，求出 M、
N 点坐标，若不存在，说明理由．
A
O
P
D
C
B
x
y
1l
2l
1F 2F
（第 18 题）
19，（本题满分 16 分）已知 0a ，函数 axx
axf ln)( ， ],1[ 2ex ．
（Ⅰ）当 3a 时，求曲线 )(xfy 在点 ))3(,3( f 处的切线方程；
（Ⅱ）若
2
3)( xf 恒成立，求实数 a 的取值范围．
20，（本题满分 16 分）已知 , ,a b c R ，满足 ( ) 1abc a b c ，
（I）求 ( )( )S a c b c 的最小值；
（II）当 S 取最小值时，求 c 的最大值．
答案：1，a=0,b=1 或 a=1/4,b=1/2;2，略；3，1/12;4，2 2 ；5，略；6，
略；7,0;8，120 度；9,45 度;10,x+2y-4=0;11,1/3;12,5;13,1;14, 2
2
32 .
15，解（Ⅰ）由余弦定理得
5
1
||||2
||||||cos
222
OQOP
PQOQOPPOQ ，（2 分）
∴
5
2sin POQ ，得 P 点坐标为 )1,2
1( ． （3 分）
∴ 1A ， 6)2
12(42
，
3
．（5 分）
由 1)6sin()2
1( f ，
20 得
3
．
∴ )(xfy 的解析式为 )33sin()( xxf ．（7 分）
（Ⅱ） xxg 3sin)( ，（9 分）
xxxxxxgxfxh 3cos3sin2
3
3sin2
1
3sin)33sin()()()( 2
4
1)63
2sin(2
1
3
2sin4
3
4
3
2cos1
xx
x
．（12 分）
当 ]2,0[x 时， ]6
7,6[63
2 x ，
∴ 当
263
2 x ，即 1x 时
4
3)(max xh ．（14 分）
16，.解：(Ⅰ)易知 O 为 BD 的中点，则 AC BD ，又 AC PO ，
又 BD PO O ， ,BD PO 平面 PBD ，
所以 AC 平面 PBD （5 分）
(Ⅱ)方法一：以OB 为 x 轴， OC 为 y 轴，过O 垂直于
平面 ABC 向上的直线为 z 轴建立如图所示空间
直角坐标系，则 (0, 1,0)A , ( 3,0,0)B
( 3 cos ,0, 3sin )P θ θ （7 分）
易知平面 PBD 的法向量为 (0,1,0)j （8 分）
( 3,1,0)AB ， ( 3 cos ,1, 3sin )AP θ θ
设平面 ABP 的法向量为 ( , , )n x y z
则由 n AB
n AP
得， 3 0
3 cos 3sin
n AB x y
n AP θx y θz=0
解得，
3
cos 1
sin
y x
θ+z xθ
，令 1x ，则 cos 1(1, 3, )sin
θn θ
（11 分）
D
A
B
y
O
P
（第 20 题）
z
x
C
则
2
2
| | 3 21| cos , | 7| || | (cos 1)4 sin
n jn j
n j θ+
θ
解得，
2
2
(cos 1) 3sin
θ+
θ
，即 3sin cos 1θ θ= ，即 1sin 6 2
πθ =（ ） ，
又 πθ 0 2
（ ， ），∴ πθ= 3
故 πθ= 3
.（14 分）
方法二：
作 OE PB ，连接 AE ，
由(Ⅰ)知 AO 平面 PBD ，又 PB 平面 PBD ，
∴ AO PB ，又 AO OE O ， ,AO OE 平面 AOE ，
∴ PB 平面 AOE ，又 AE 平面 AOE ，
∴ PB AE ，
∴ AEO 即为二面角 A PB D 的平面角 （8 分）
作 PF OD 于 F ，由 AC 平面 PBD 及 PF 平面 PBD 知，
AC PF
又 OD AC O ， ,OD AC 平面 ABCD ，所以 PF 平面 ABCD
所以 POF 即为直线 PO 与平面 ABCD 所成的角，即 POF θ （10 分）
在 Rt AOE 中， 1, 3cos 3sinπ θ θAO OE 2 2 2
，
由 cos AEO = 21
7
知， tan 1 2 3
33sin
AOAEO θOE
2
，
则 1sin 2
θ
2
，又 πθ 0 2
（ ， ），所以 πθ= 3
，故 πθ= 3
.（14 分）
17，．解（Ⅰ）由题意 )1()1( 31
2
2 aaa ，即 )14
1()2
11( 11
2
1 aaa （2 分）
解得
2
1
1 a ，∴ n
na )2
1( （4 分）
又
32
21
2 bT
bT
，即
)28(216
)8(8
dd
d
（6 分）
解得
8
2
1
d
或
0
1
d
（舍）∴
2
1 （8 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 n
nS )2
1(1
∴
4
1)2
1(2
1
2
1 1 n
nS ①（10 分）
又 nnTn 44 2 ， )1
11(4
1
)1(4
11
nnnnTn
D
A
B
C
O
P
（第 20 题）
E
F
∴
4
1)1
11(4
1)1
11
3
1
2
1
2
11(4
1111
21
nnnTTT n
②（13 分）
由①②可知 n
n
STTT 2
1111
21
（14 分）
18，解（Ⅰ）当 l1 与 x 轴重合时， 04321 kkkk ，即 43 kk ，（2 分）
∴ l2 垂直于 x 轴，得 322|| aAB ，
3
342||
2
a
bCD ，（4 分）
得 3a ， 2b ， ∴ 椭圆 E 的方程为 123
22
yx ．（6 分）
（Ⅱ）焦点 1F 、 2F 坐标分别为(-1, 0)、(1, 0)．
当直线 l1 或 l2 斜率不存在时，P 点坐标为(-1, 0)或(1, 0)．
当直线 l1、l2 斜率存在时，设斜率分别为 1m ， 2m ，设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ，
由
)1(
123
1
22
xmy
yx
得 0636)32( 2
1
2
1
22
1 mxmxm ，
∴ 2
1
2
1
21 32
6
m
mxx
， 2
1
2
1
21 32
63
m
mxx
．（8 分）
)2()11(
21
21
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
21 xx
xxmx
x
x
xmx
y
x
ykk
2
4)
2
22( 2
1
1
2
1
2
1
1
m
m
m
mm ，（10 分）
同理 43 kk
2
4
2
2
2
m
m ．
∵ 4321 kkkk ， ∴
2
4
2
4
2
2
2
2
1
1
m
m
m
m ，即 0))(2( 1221 mmmm ．
由题意知 21 mm ， ∴ 0221 mm ．（12 分）
设 ),( yxP ，则 0211
x
y
x
y ，即 )1(12
2
2
xxy ，（14 分）
由当直线 l1 或 l2 斜率不存在时，P 点坐标为(-1, 0)或(1, 0)也满足，
∴ ),( yxP 点椭圆 12
2
2
xy 上，
∴ 存在点 M、N 其坐标分别为(0 , -1)、(0, 1)，使得 |||| PNPM 为定值 22 ．（16 分）
19 解：（Ⅰ）当 3a 时， xxxf ln33)( ，（2 分）
xx
xf 13)( 2
' ，
3
2)3(' f ，（4 分）
又 3ln4)3( f ，曲线 )(xfy 在点 ))3(,3( f 处的切线方程为：
)3(3
2)3ln4( xy ，即： 3ln63
2 xy ．（6 分）
（Ⅱ）由 ],1[ 2ex 得 ]2,0[ln x
①当 2a 时
xax
axf ln)( ， 01)( 2
xx
axf ，∴ )(xf 在 ],1[ 2e 上递减，
∴
2
32)1()( max afxf ，∴
4
3a ，此时 a 不存在；（ 8 分）
②当 20 a 时
若 aex 1 时， xax
axf ln)( 由①得 )(xf 在 ],1[ ae 上递减，
∴
4
3,2
32)1()( max aafxf ，此时
4
30 a （9 分）
若 2exea 时
xx
axfaxx
axf 1)(,ln)( 2
令 0)( xf 得 ax ，又 xexg x )( 在 )2,0( 递增，故 1)0( gxe x
∴ aea ，当 2exea 时 0)( xf ,∴ )(xf 在 2,eea 递增，（12 分）
∴
2
32)()( 2
2
max a
e
aefxf
)1(2 2
2
e
ea ， 2
)1(2 2
2
e
e ，∴ 2
)1(2 2
2
a
e
e ，（14 分）
又
4
3
)1(2
1
2
1
)1(2 22
2
ee
e ， ∴
4
3
)1(2 2
2
a
e
e
综上知，实数 a 的取值范围
4
3,
)1(2 2
2
e
e （16 分）
20，（I）因为 2( )( )a c b c ab ac bc c 1( )ab a b c c ab ab
（4 分）
12 2ab ab
，等号成立的条件是 1ab ，
当 1, 2 1a b c 时， S 可取最小值 2． （8 分）
（II）当 S 取最小值时， 1ab ，从而 ( ) 1c a b c ，
即 2 ( ) 1 0c a b c ，令t a b ，则 2 2t ab （12 分）
从而
2 4
2
t tc 或者
2 4 02
t tc （舍去）
故
2
2
4 2
2 4
t tc
t t
在 [2, )t 单减，
所以在 2t 时， c 有最大值 2 1 ． （16 分）
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