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- 2021-05-13 发布
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高考数学三角函数练习题及答案解析
(2010上海文数)19.(本题满分12分)
已知,化简:
.
解析:原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)-lg(sinx+cosx)2=0.
(2010湖南文数)16. (本小题满分12分)
已知函数
(I)求函数的最小正周期。
(II) 求函数的最大值及取最大值时x的集合。
(2010浙江理数)(18)(本题满分l4分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知
(I)求sinC的值;
(Ⅱ)当a=2, 2sinA=sinC时,求b及c的长.
解析:本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同事考查运算求解能力。
(Ⅰ)解:因为cos2C=1-2sin2C=,及0<C<π
所以sinC=.
(Ⅱ)解:当a=2,2sinA=sinC时,由正弦定理,得
c=4
由cos2C=2cos2C-1=,J及0<C<π得
cosC=±
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得
b2±b-12=0
解得 b=或2
所以 b= b=
c=4 或 c=4
(2010全国卷2理数)(17)(本小题满分10分)
中,为边上的一点,,,,求.
【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.
【参考答案】
由cos∠ADC=>0,知B<.
由已知得cosB=,sin∠ADC=.
从而 sin∠BAD=sin(∠ADC-B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB==.
由正弦定理得 ,所以=.
【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低,一般出现在17或18题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留,不会有太大改变.解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化.
(2010陕西文数)17.(本小题满分12分)
在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上的一点,
AD=10,AC=14,DC=6,求AB的长.
解 在△ADC中,AD=10,AC=14,DC=6,
由余弦定理得
cos=,
ADC=120°, ADB=60°
在△ABD中,AD=10, B=45°, ADB=60°,
由正弦定理得,
AB=.
(2010辽宁文数)(17)(本小题满分12分)
在中,分别为内角的对边,
且
(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)若,试判断的形状.
解:(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
又,得
因为,
故
所以是等腰的钝角三角形。
(2010辽宁理数)(17)(本小题满分12分)
在△ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C的对边,且
(Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)求的最大值.
解:
(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故 ,A=120° ……6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:
故当B=30°时,sinB+sinC取得最大值1。 ……12分
(2010全国卷2文数)(17)(本小题满分10分)
中,为边上的一点,,,,求。
【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。
由与的差求出,根据同角关系及差角公式求出的正弦,在三角形ABD中,由正弦定理可求得AD。
(2010江西理数)17.(本小题满分12分)
已知函数。
(1) 当m=0时,求在区间上的取值范围;
(2) 当时,,求m的值。
【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简,考查函数值域,作为基本的知识交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中等题.
解:(1)当m=0时,
,由已知,得
从而得:的值域为
(2)
化简得:
当,得:,,
代入上式,m=-2.
(2010安徽文数)16、(本小题满分12分)
的面积是30,内角所对边长分别为,。
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,求的值。
【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系,三角形面积公式,向量的数量积,利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.
【解题指导】(1)根据同角三角函数关系,由得的值,再根据面积公式得;直接求数量积.由余弦定理,代入已知条件,及求a的值.
解:由,得.
又,∴.
(Ⅰ).
(Ⅱ),
∴.
【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知,需求的值,考虑已知的面积是30,,所以先求的值,然后根据三角形面积公式得的值.第二问中求a的值,根据第一问中的结论可知,直接利用余弦定理即可.
(2010重庆文数)(18).(本小题满分13分), (Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)
设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc .
(Ⅰ) 求sinA的值;
(Ⅱ)求的值.
(2010浙江文数)(18)(本题满分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积,满足。
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)求的最大值。
(2010重庆理数)(16)(本小题满分13分,(I)小问7分,(II)小问6分)
设函数。
(I) 求的值域;
(II) 记的内角A、B、C的对边长分别为a,b,c,若=1,b=1,c=,求a的值。
(2010山东文数)(17)(本小题满分12分)
已知函数()的最小正周期为,
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数的图像,求函数在区间上的最小值.
(2010北京文数)(15)(本小题共13分)
已知函数
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的最大值和最小值
解:(Ⅰ)=
(Ⅱ)
因为,所以,当时取最大值2;当时,去最小值-1。
(2010北京理数)(15)(本小题共13分)
已知函数。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的最大值和最小值。
解:(I)
(II)
=
=,
因为,
所以,当时,取最大值6;当时,取最小值
(2010四川理数)(19)(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明两角和的余弦公式;
由推导两角和的正弦公式.
(Ⅱ)已知△ABC的面积,且,求cosC.
本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。
解:(1)①如图,在执教坐标系xOy内做单位圆O,并作出角α、β与-β,使角α的始边为Ox,交⊙O于点P1,终边交⊙O于P2;角β的始边为OP2,终边交⊙O于P3;角-β的始边为OP1,终边交⊙O于P4.
则P1(1,0),P2(cosα,sinα)
P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β))
由P1P3=P2P4及两点间的距离公式,得
[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2
展开并整理得:2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.……………………4分
②由①易得cos(-α)=sinα,sin(-α)=cosα
sin(α+β)=cos[-(α+β)]=cos[(-α)+(-β)]
=cos(-α)cos(-β)-sin(-α)sin(-β)
=sinαcosβ+cosαsinβ……………………………………6分
(2)由题意,设△ABC的角B、C的对边分别为b、c
则S=bcsinA=
=bccosA=3>0
∴A∈(0, ),cosA=3sinA
又sin2A+cos2A=1,∴sinA=,cosA=
由题意,cosB=,得sinB=
∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=
故cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-…………………………12分
(2010天津文数)(17)(本小题满分12分)
在ABC中,。
(Ⅰ)证明B=C:
(Ⅱ)若=-,求sin的值。
【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识,考查基本运算能力.满分12分.
(Ⅰ)证明:在△ABC中,由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0,即sin(B-C)=0.因为,从而B-C=0.
所以B=C.
(Ⅱ)解:由A+B+C=和(Ⅰ)得A=-2B,故cos2B=-cos(-2B)=-cosA=.
又0<2B<,于是sin2B==.
从而sin4B=2sin2Bcos2B=,cos4B=.
所以
(2010天津理数)(17)(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若,求的值。
【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识,考查基本运算能力,满分12分。
(1)解:由,得
所以函数的最小正周期为
因为在区间上为增函数,在区间上为减函数,又
,所以函数在区间上的最大值为2,最小值为-1
(Ⅱ)解:由(1)可知
又因为,所以
由,得
从而
所以
(2010广东理数)16、(本小题满分14分)
已知函数在时取得最大值4.
(1) 求的最小正周期;
(2) 求的解析式;
(3) 若(α +)=,求sinα.
,,,,.
(2010广东文数)
(2010全国卷1理数)(17)(本小题满分10分)
已知的内角,及其对边,满足,求内角.
(2010四川文数)(19)(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明两角和的余弦公式;
由推导两角和的正弦公式.
(Ⅱ)已知,求
(2010湖北文数)16.(本小题满分12分)
已经函数
(Ⅰ)函数的图象可由函数的图象经过怎样变化得出?
(Ⅱ)求函数的最小值,并求使用取得最小值的的集合。
(2010山东理数)
(2010湖南理数)16.(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的最大值;
(II)求函数的零点的集合。
(2010湖北理数) 16.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值的x的集合。
(2010福建理数)19.(本小题满分13分)
。,轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处,并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇。
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。
【解析】如图,由(1)得
而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,故轮船与小艇不可能在A、C(包含C)的任意位置相遇,设,OD=,
由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为和,
所以,解得,
从而值,且最小值为,于是
当取得最小值,且最小值为。
此时,在中,,故可设计航行方案如下:
航行方向为北偏东,航行速度为30海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇。
(2010安徽理数)16、(本小题满分12分)
设是锐角三角形,分别是内角所对边长,并且
。
(Ⅰ)求角的值;
(Ⅱ)若,求(其中)。
(2010江苏卷)17、(本小题满分14分)
某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=,∠ADE=。
(1) 该小组已经测得一组、的值,tan=1.24,tan=1.20,请据此算出H的值;
(2) 该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m),使与之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m,试问d为多少时,-最大?
[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
(1),同理:,。
AD—AB=DB,故得,解得:。
因此,算出的电视塔的高度H是124m。
(2)由题设知,得,
,(当且仅当时,取等号)
故当时,最大。
因为,则,所以当时,-最大。
故所求的是m。
(2010江苏卷)23.(本小题满分10分)
已知△ABC的三边长都是有理数。
1、 求证cosA是有理数;(2)求证:对任意正整数n,cosnA是有理数。
[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识,考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。
(方法一)(1)证明:设三边长分别为,,∵是有理数,
是有理数,分母为正有理数,又有理数集对于除法的具有封闭性,
∴必为有理数,∴cosA是有理数。
(2)①当时,显然cosA是有理数;
当时,∵,因为cosA是有理数, ∴也是有理数;
②假设当时,结论成立,即coskA、均是有理数。
当时,,
,
,
解得:
∵cosA,,均是有理数,∴是有理数,
∴是有理数。
即当时,结论成立。
综上所述,对于任意正整数n,cosnA是有理数。
(方法二)证明:(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知
是有理数。
(2)用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。
①当时,由(1)知是有理数,从而有也是有理数。
②假设当时,和都是有理数。
当时,由,
,
及①和归纳假设,知和都是有理数。
即当时,结论成立。
综合①、②可知,对任意正整数n,cosnA是有理数。