2015高考数学（理）（离散型随机变量的均值与方差）一轮复习学案 10页

学案68　离散型随机变量的均值与方差 导学目标： 1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．‎ 自主梳理 ‎1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn ‎(1)均值 称E(X)＝____________________________________为随机变量X的均值或___________，它反映了离散型随机变量取值的____________．‎ ‎(2)方差 称D(X)＝__________________________为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的______________，其________________________为随机变量X的标准差．‎ ‎2．均值与方差的性质 ‎(1)E(aX＋b)＝____________.‎ ‎(2)D(aX＋b)＝____________.(a，b为实数)‎ ‎3．两点分布与二项分布的均值、方差 ‎(1)若X服从两点分布，则E(X)＝____，D(X)＝_____________________________.‎ ‎(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝______，D(X)＝____________.‎ 自我检测 ‎1．若随机变量X的分布列如下表，则E(X)等于(　　)‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎2x ‎3x ‎7x ‎2x ‎3x x A. B. C. D. ‎2．(2011·菏泽调研)已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为(　　)‎ A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4‎ C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1‎ ‎3．(2010·全国)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)‎ A．100 B．‎200 ‎ C．300 D．400‎ ‎4．(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.‎ ‎5．(2011·杭州月考)随机变量ξ的分布列如下：‎ ξ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P a b c 其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.‎ 探究点一　离散型随机变量的期望与方差 例1　袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．‎ ‎(1)求ξ的分布列、期望和方差；‎ ‎(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．‎ 变式迁移1　编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X.‎ ‎(1)求随机变量X的分布列；‎ ‎(2)求随机变量X的数学期望和方差．‎ 探究点二　二项分布的期望与方差 例2　(2011·黄山模拟)A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为. ‎ ‎(1)求一个试验组为甲类组的概率；‎ ‎(2)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．‎ 变式迁移2　某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min.‎ ‎(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；‎ ‎(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．‎ 探究点三　离散型随机变量期望与方差的应用 例3　购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1－.‎ ‎(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；‎ ‎(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)．‎ 变式迁移3　因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案第一年与第二年相互独立，令ξi(i＝1,2)表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．‎ ‎(1)写出ξ1、ξ2的分布列；‎ ‎(2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？‎ ‎(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大？‎ ‎1．若η＝aξ＋b，则E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ)．‎ ‎2．若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．‎ ‎3．求离散型随机变量的期望与方差的常用方法有：(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的期望、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的期望、方差和标准差，可直接用ξ的期望、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量，是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的期望、方差公式求解．‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．(2011·福州质检)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3，则a的值为(　　)‎ ξ ‎4‎ a ‎9‎ P ‎0.5‎ ‎0.1‎ b A.5 B．‎6 ‎ C．7 D．8‎ ‎2．设ξ～B(n，p)，若有E(ξ)＝12，D(ξ)＝4，则n、p的值分别为(　　)‎ A．18， B．16， C．20， D．15， ‎3．随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ 则E(5X＋4)等于(　　)‎ A．15 B．‎11 ‎ C．2.2 D．2.3‎ ‎4．设掷1枚骰子的点数为ξ，则(　　)‎ A．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.52 B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5 D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ ‎5．(2011·成都调研)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ为“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望E(ξ)为(　　)‎ A. B. C. D. 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．(2011·上海)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P(ξ＝x)‎ ‎？‎ ‎！‎ ‎？‎ 请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝____________.‎ ‎7．(2011·泰安模拟)设离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝________.‎ ‎8．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X的数学期望E(X)＝________.‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)(2011·江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一次测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．‎ ‎(1)求X的分布列；‎ ‎(2)求此员工月工资的期望．‎ ‎10．(12分)(2011·山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．‎ ‎(1)求红队至少两名队员获胜的概率；‎ ‎(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．‎ ‎11．(14分)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(01.18，整理得(p＋0.4)(p－0.3)<0，‎ 解得－0.4