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  • 2021-05-13 发布

上海高考文科数学试题详解

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‎2014年普通高等学校招生统一考试上海市 数学试题(文科)详解 满分150分;考试时间120分钟.‎ 一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.‎ ‎1.函数的最小正周期是 .‎ 考点:三角恒等变形、三角函数的周期 解答:因为,所以.‎ 难度:容易题 ‎2.若复数,其中是虚数单位,则 .‎ 考点:复数的四则运算,共轭运算 解答:此题先根据分配律去括号可简化计算,即 难度:容易题 ‎3.设常数,函数.若,则 .‎ 考点:解方程、求函数值 解答:由 难度:容易题 ‎4.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 .‎ 考点:圆锥曲线的标准方程 解答:知抛物线的焦点坐标为,则其准线方程为:‎ 难度:容易题 ‎5.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名.为了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样.若高三抽取20名学生,则高一、高二共需抽取的学生数为 .‎ 考点:分层抽样 解答:高一、高二共有学生2800名,按40:1的比例,需抽取学生数为70人。‎ 难度:容易题 ‎6.若实数满足,则的最小值为 .‎ 考点:基本不等式 解答:,即 难度:容易题 ‎7.若圆锥的侧面积是底面积的倍,则其母线与轴所成的角的大小为 (结果用反三角函数值表示).‎ 考点:圆锥的侧面展开图 解答:如图:‎ 难度:容易题 ‎8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .‎ 考点:三视图 解答:由三视图知,切割掉的两个小长方体可拼成一个 长宽高分别为4、3、2的长方体,所以其体积为24.‎ 难度:容易题 ‎9.设 若是的最小值,则的取值范围为 .‎ 考点:函数的单调性及最值 ‎ 解答:‎ 难度:中等题 ‎10.设无穷等比数列的公比为,若,则 .‎ 考点:无穷等比数列各项的和 解答:‎ 难度:中等题 ‎11.若,则满足的的取值范围是 .‎ 考点:幂函数的单调性 解答:∴其定义域为 又是增函数,是减函数,是增函数,‎ 又,,即为,‎ 难度:中等题 ‎12.方程在区间上的所有的解的和等于 .‎ 考点:三角方程 解答:‎ 难度:中等题 ‎13.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练,则选择的天恰好为连续天的概率是 (结果用最简分数表示).‎ 考点:组合、概率 解答:未来的连续天中随机选择天的所有情况有种;未来的连续天中选择的天恰好为连续天的所有情况有种;则所求概率为 难度:中等题 ‎14.已知曲线,直线.若对于点,存在上的点和上的使得,则的取值范围为 .‎ 考点:圆的方程、能成立问题 解答:∵曲线,即,∵,∴点即为中点;设,∵,则,‎ ‎∵点在曲线C上,∴‎ 难度:较难题 二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.‎ ‎15.设,则“”是“且”的( )‎ ‎(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 ‎(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 考点:充分条件、必要条件 解答:必要非充分条件,选B 难度:容易题 ‎16.已知互异的复数满足,集合,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 考点:集合的相等、复数范围内1的立方根 解答:⑴若 则(舍);⑵若则,‎ 那么(舍)或(舍)或或 综合上述,.选D 难度:中等题 ‎17.如图,四个边长为的小正方体排成一个大正方形,是大正方形的一条边,是小正方形的其余顶点,则的不同值的个数为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 考点:向量的数量积、向量的投影 解答:结合图形,观察在上的投影即可:在上的投影相同;在上的投影相同;在上的投影相同;故的不同值的个数为3,选C 难度:中等题 ‎18.已知与是直线(为常数)上两个不同的点,则关于和的方程组的解的情况是( )‎ ‎(A) 无论如何,总是无解 (B) 无论如何,总有唯一解 ‎(C) 存在,使之恰有两解 (D) 存在,使之有无穷多解 考点:直线的方程、二元一次方程的行列式解法 解答:把代入直线得,即.‎ 同理可得.则是方程组的解.‎ 若不是方程组的唯一解,‎ 则方程组 有无数解则,与已知矛盾 综上,方程组总有唯一解,选B.‎ 难度:较难题 三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎19.(本题满分12分)‎ 底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形,如图,求的各边长及此三棱锥的体积.‎ 考点:棱锥的体积、空间想象能力 解答:依题意:是边长为4的正三角形,折叠后是棱长为2的正四面体(如图).‎ 设顶点在底面内的投影为,连接,则 为的重心,底面.‎ 难度:容易题 ‎20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.‎ ‎ 设常数,函数.‎ (1) 若,求函数的反函数;‎ (2) 根据的不同取值,讨论函数的奇偶性,并说明理由.‎ 考点:反函数、函数的奇偶性 解答:(1)因为,所以,得或,且.‎ ‎ 因此,所求反函数为.‎ ‎(2)①当时,,定义域为,故函数是偶函数;‎ ‎ ②当时,,定义域为,‎ ‎ ,故函数为奇函数;‎ ‎ ③当且时,定义域为关于原点不对称,‎ 故函数既不是奇函数,也不是偶函数.‎ 难度:容易题 ‎21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.‎ 如图,某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌,其中为顶端,长35米,长80米.设点在同一水平面上,从和看的仰角分别为.‎ ‎(1)设计中是铅垂方向,若要求,问的长至多为多少(结果精确到0.01米)?‎ ‎(2)施工完成后,与铅垂方向有偏差.现在实测得,求的长(结果精确到0.01米).‎ 考点:解斜三角形 解答:(1)设,则.因,所以,即,(米)‎ ‎(2)在中,由已知,,,‎ ‎ 由正弦定理得 ,解得(米).‎ ‎ 在中,由余弦定理得, 解得(米).所以,的长约为26.93米.‎ 难度:中等题 ‎22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.‎ 在平面直角坐标系中,对于直线和点,记 ‎.若,则称点被直线分隔.若曲线与直线没有公共点,且曲线上存在点被直线分隔,则称直线为曲线的一条分隔线.‎ ‎(1)求证;点被直线分隔;‎ ‎(2)若直线是曲线的分隔线,求实数的取值范围;‎ ‎(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为1,设点的轨迹为曲线.求的方程,并证明轴为曲线的分隔线.‎ 考点:定义法求曲线方程、数形结合思想 解答:‎ ‎(1)证明:因为,所以点被直线分隔.‎ ‎(2)解:直线与曲线没有公共点的充要条件是方程组无解,即.当时,对于直线,曲线上的点和满足,即点和被分隔.故实数的取值范围是.‎ ‎(3)证明:设的坐标为,则曲线的方程为.‎ 对任意的,不是上述方程的解,即轴与曲线没有公共点.‎ 又曲线上的点和对于轴满足,即点和被轴分隔.所以轴为曲线的分隔线.‎ 难度:中等题 ‎23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.‎ ‎ 已知数列满足,,.‎ ‎(1)若,求的取值范围;‎ ‎(2)设是等比数列,且,求正整数的最小值,以及取最小值时相应的公比;‎ ‎(3)若成等差数列,求数列的公差的取值范围.‎ 考点:等差数列、等比数列与不等式综合 解答:‎ ‎(1)由条件得且,解得.所以的取值范围是.‎ ‎(2)设的公比为.由,且,得.‎ 因为,所以.从而,,解得.‎ 时,.所以,的最小值为,时,的公比为.‎ ‎(3)设数列的公差为.由,得,.‎ ①当时,,所以,即.‎ ②当时,,符合条件.‎ ‎③ 当时,,所以,,又,所以.‎ 综上,的公差的取值范围为.‎ 难度:较难题