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- 2021-05-13 发布
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2014年普通高等学校招生统一考试上海市
数学试题(文科)详解
满分150分;考试时间120分钟.
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.函数的最小正周期是 .
考点:三角恒等变形、三角函数的周期
解答:因为,所以.
难度:容易题
2.若复数,其中是虚数单位,则 .
考点:复数的四则运算,共轭运算
解答:此题先根据分配律去括号可简化计算,即
难度:容易题
3.设常数,函数.若,则 .
考点:解方程、求函数值
解答:由
难度:容易题
4.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 .
考点:圆锥曲线的标准方程
解答:知抛物线的焦点坐标为,则其准线方程为:
难度:容易题
5.某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名.为了解该校高中学生的牙齿健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样.若高三抽取20名学生,则高一、高二共需抽取的学生数为 .
考点:分层抽样
解答:高一、高二共有学生2800名,按40:1的比例,需抽取学生数为70人。
难度:容易题
6.若实数满足,则的最小值为 .
考点:基本不等式
解答:,即
难度:容易题
7.若圆锥的侧面积是底面积的倍,则其母线与轴所成的角的大小为 (结果用反三角函数值表示).
考点:圆锥的侧面展开图
解答:如图:
难度:容易题
8.在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .
考点:三视图
解答:由三视图知,切割掉的两个小长方体可拼成一个
长宽高分别为4、3、2的长方体,所以其体积为24.
难度:容易题
9.设 若是的最小值,则的取值范围为 .
考点:函数的单调性及最值
解答:
难度:中等题
10.设无穷等比数列的公比为,若,则 .
考点:无穷等比数列各项的和
解答:
难度:中等题
11.若,则满足的的取值范围是 .
考点:幂函数的单调性
解答:∴其定义域为
又是增函数,是减函数,是增函数,
又,,即为,
难度:中等题
12.方程在区间上的所有的解的和等于 .
考点:三角方程
解答:
难度:中等题
13.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练,则选择的天恰好为连续天的概率是 (结果用最简分数表示).
考点:组合、概率
解答:未来的连续天中随机选择天的所有情况有种;未来的连续天中选择的天恰好为连续天的所有情况有种;则所求概率为
难度:中等题
14.已知曲线,直线.若对于点,存在上的点和上的使得,则的取值范围为 .
考点:圆的方程、能成立问题
解答:∵曲线,即,∵,∴点即为中点;设,∵,则,
∵点在曲线C上,∴
难度:较难题
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.设,则“”是“且”的( )
(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件
考点:充分条件、必要条件
解答:必要非充分条件,选B
难度:容易题
16.已知互异的复数满足,集合,则( )
(A) (B) (C) (D)
考点:集合的相等、复数范围内1的立方根
解答:⑴若 则(舍);⑵若则,
那么(舍)或(舍)或或
综合上述,.选D
难度:中等题
17.如图,四个边长为的小正方体排成一个大正方形,是大正方形的一条边,是小正方形的其余顶点,则的不同值的个数为( )
(A) (B) (C) (D)
考点:向量的数量积、向量的投影
解答:结合图形,观察在上的投影即可:在上的投影相同;在上的投影相同;在上的投影相同;故的不同值的个数为3,选C
难度:中等题
18.已知与是直线(为常数)上两个不同的点,则关于和的方程组的解的情况是( )
(A) 无论如何,总是无解 (B) 无论如何,总有唯一解
(C) 存在,使之恰有两解 (D) 存在,使之有无穷多解
考点:直线的方程、二元一次方程的行列式解法
解答:把代入直线得,即.
同理可得.则是方程组的解.
若不是方程组的唯一解,
则方程组 有无数解则,与已知矛盾
综上,方程组总有唯一解,选B.
难度:较难题
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)
底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形,如图,求的各边长及此三棱锥的体积.
考点:棱锥的体积、空间想象能力
解答:依题意:是边长为4的正三角形,折叠后是棱长为2的正四面体(如图).
设顶点在底面内的投影为,连接,则
为的重心,底面.
难度:容易题
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
设常数,函数.
(1) 若,求函数的反函数;
(2) 根据的不同取值,讨论函数的奇偶性,并说明理由.
考点:反函数、函数的奇偶性
解答:(1)因为,所以,得或,且.
因此,所求反函数为.
(2)①当时,,定义域为,故函数是偶函数;
②当时,,定义域为,
,故函数为奇函数;
③当且时,定义域为关于原点不对称,
故函数既不是奇函数,也不是偶函数.
难度:容易题
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
如图,某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌,其中为顶端,长35米,长80米.设点在同一水平面上,从和看的仰角分别为.
(1)设计中是铅垂方向,若要求,问的长至多为多少(结果精确到0.01米)?
(2)施工完成后,与铅垂方向有偏差.现在实测得,求的长(结果精确到0.01米).
考点:解斜三角形
解答:(1)设,则.因,所以,即,(米)
(2)在中,由已知,,,
由正弦定理得 ,解得(米).
在中,由余弦定理得, 解得(米).所以,的长约为26.93米.
难度:中等题
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.
在平面直角坐标系中,对于直线和点,记
.若,则称点被直线分隔.若曲线与直线没有公共点,且曲线上存在点被直线分隔,则称直线为曲线的一条分隔线.
(1)求证;点被直线分隔;
(2)若直线是曲线的分隔线,求实数的取值范围;
(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为1,设点的轨迹为曲线.求的方程,并证明轴为曲线的分隔线.
考点:定义法求曲线方程、数形结合思想
解答:
(1)证明:因为,所以点被直线分隔.
(2)解:直线与曲线没有公共点的充要条件是方程组无解,即.当时,对于直线,曲线上的点和满足,即点和被分隔.故实数的取值范围是.
(3)证明:设的坐标为,则曲线的方程为.
对任意的,不是上述方程的解,即轴与曲线没有公共点.
又曲线上的点和对于轴满足,即点和被轴分隔.所以轴为曲线的分隔线.
难度:中等题
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.
已知数列满足,,.
(1)若,求的取值范围;
(2)设是等比数列,且,求正整数的最小值,以及取最小值时相应的公比;
(3)若成等差数列,求数列的公差的取值范围.
考点:等差数列、等比数列与不等式综合
解答:
(1)由条件得且,解得.所以的取值范围是.
(2)设的公比为.由,且,得.
因为,所以.从而,,解得.
时,.所以,的最小值为,时,的公比为.
(3)设数列的公差为.由,得,.
①当时,,所以,即.
②当时,,符合条件.
③ 当时,,所以,,又,所以.
综上,的公差的取值范围为.
难度:较难题