2020-2021学年高考数学（理）考点：函数与方程 28页

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：函数与方程 ‎ ‎1．函数的零点 ‎(1)函数零点的定义 对于函数y＝f (x)(x∈D)，把使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)(x∈D)的零点．‎ ‎(2)三个等价关系 方程f (x)＝0有实数根⇔函数y＝f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f (x)有零点．‎ ‎(3)函数零点的判定(零点存在性定理)‎ 如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的根．‎ ‎2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0‎ Δ＝0‎ Δ<0‎ 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 ‎(x1,0)，(x2,0)‎ ‎(x1,0)‎ 无交点 零点个数 ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ 概念方法微思考 函数f (x)的图象连续不断，是否可得到函数f (x)只有一个零点？‎ 提示　不能．‎ ‎1．（2020•天津）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是　　‎ A．，， B．，， ‎ C．，， D．，，‎ ‎【答案】D ‎【解析】若函数恰有4个零点，‎ 则有四个根，‎ 即与有四个交点，‎ 当时，与图象如下：‎ 两图象只有两个交点，不符合题意，‎ 当时，与轴交于两点，‎ 图象如图所示，‎ 两图象有4个交点，符合题意，‎ 当时，‎ 与轴交于两点，‎ 在，内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，‎ 只需与在，还有两个交点，即可，‎ 即在，还有两个根，‎ 即在，还有两个根，‎ 函数，（当且仅当时，取等号），‎ 所以，且，所以，‎ 综上所述，的取值范围为，，．‎ 故选．‎ ‎2．（2019•新课标Ⅲ）函数在，的零点个数为　　‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数 在，的零点个数，‎ 即方程 在区间，的根个数，‎ 即 在区间，的根个数，‎ 即 或 在区间，的根个数，‎ 解得或 或．‎ 所以函数在，的零点个数为3个．‎ 故选．‎ ‎3．（2017•新课标Ⅲ）已知函数有唯一零点，则　　‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，‎ 所以函数有唯一零点等价于方程有唯一解，‎ 等价于函数的图象与的图象只有一个交点．‎ ‎①当时，，此时有两个零点，矛盾；‎ ‎②当时，由于在上递增、在上递减，‎ 且在上递增、在上递减，‎ 所以函数的图象的最高点为，的图象的最高点为，‎ 由于，此时函数的图象与的图象有两个交点，矛盾；‎ ‎③当时，由于在上递增、在上递减，‎ 且在上递减、在上递增，‎ 所以函数的图象的最高点为，的图象的最低点为，‎ 由题可知点与点重合时满足条件，即，即，符合条件；‎ 综上所述，，‎ 方法二：，‎ 令，则为偶函数，图象关于对称，‎ 若有唯一零点，则根据偶函数的性质可知当时，，‎ 所以．‎ 故选．‎ ‎4．（2020•上海）设，若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件：‎ ‎（1）对任意的，的值为或；‎ ‎（2）关于的方程无实数解，‎ 则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】，，，‎ ‎【解析】根据条件（1）可得或（1），‎ 又因为关于的方程无实数解，所以或1，‎ 故，，，，‎ 故答案为：，，，．‎ ‎5．（2018•新课标Ⅲ）函数在，的零点个数为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ ‎，，‎ ‎，或，或，‎ 故零点的个数为3，‎ 故答案为：3．‎ ‎6．（2018•浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则，当时，__________，__________．‎ ‎【答案】8；11‎ ‎【解析】，当时，化为：，‎ 解得，．‎ 故答案为：8；11．‎ ‎7．（2018•新课标Ⅰ）已知函数，若（3），则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数，若（3），‎ 可得：，可得．‎ 故答案为：．‎ ‎8．（2018•上海）设，函数，，若函数与的图象有且仅有两个不同的公共点，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数与的图象有且仅有两个不同的公共点，‎ 即方程有两不同根，‎ 也就是有两不同根，‎ ‎，在上有两不同根．‎ ‎，或，．‎ 又，且，‎ ‎，仅有两解时，应有，‎ 则．‎ 的取值范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎9．（2017•江苏）设是定义在上且周期为1的函数，在区间，上，，其中集合，，则方程的解的个数是__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】在区间，上，，‎ 第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，‎ 又是定义在上且周期为1的函数，‎ 在区间，上，，此时的图象与有且只有一个交点；‎ 同理：‎ 区间，上，的图象与有且只有一个交点；‎ 区间，上，的图象与有且只有一个交点；‎ 区间，上，的图象与有且只有一个交点；‎ 区间，上，的图象与有且只有一个交点；‎ 区间，上，的图象与有且只有一个交点；‎ 区间，上，的图象与有且只有一个交点；‎ 区间，上，的图象与有且只有一个交点；‎ 在区间，上，的图象与无交点；‎ 故的图象与有8个交点，且除了，其他交点横坐标均为无理数；‎ 即方程的解的个数是8，‎ 故答案为：8．‎ ‎10．（2017•上海）若关于、的方程组无解，则实数__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】若关于、的方程组无解，‎ 说明两直线与无交点．‎ 则，解得：．‎ 故答案为：6．‎ ‎11．（2017•上海）设、，若函数在区间上有两个不同的零点，则（1）的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数在区间上有两个不同的零点，‎ 即方程在区间上两个不相等的实根，‎ ‎，‎ 如图画出数对所表示的区域，目标函数（1）‎ 的最小值为过点时，的最大值为过点时 ‎（1）的取值范围为 故答案为：．‎ ‎1．（2020•马鞍山三模）已知，若关于的方程有5个不同的实根，则实数的取值范围为　　‎ A．， B． C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时，，则，‎ 令得：，‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增，且（1），，‎ 当时，，则，显然，‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减，且，‎ 故函数的大致图象如图所示，‎ 令，则关于的方程化为关于的方程，‎ ‎△，‎ 方程有两个不相等的实根，设为，，‎ 由韦达定理得：，，‎ 不妨设，，‎ 关于的方程恰好有5个不相等的实根，‎ 由函数的图象可知： 且，‎ 设，则，解得．‎ 故选．‎ ‎2．（2020•龙凤区校级模拟）若关于的方程恰有4个不相等实根，则实数的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】方程恰有4个不相等实根，‎ 转化为恰有4个不相等实根，‎ 令，可得．‎ 由，得，‎ 当时，，当，时，，‎ 可得在上单调递减，在，上单调递增．‎ 作出的图象如图，‎ 由图可知，要使恰有4个不相等实根，‎ 则，，且关于的方程在，上有两个不相等的实数根，‎ 即在，上有两个不同的零点，‎ 则，解得．‎ 故选．‎ ‎3．（2020•香坊区校级一模）已知为定义在上的奇函数，且，当，时，，则函数的零点个数为　　‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，‎ 可得周期，‎ 又是奇函数，可得，‎ ‎，‎ 可得函数关于对称，‎ 当，时，，‎ 作出的图象如与之间的交点，‎ 结合函数的图象可知，图象的交点有4个．‎ 即函数的零点个数为4个．‎ 故选．‎ ‎4．（2020•唐山二模）函数的零点个数是　　‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时，函数，‎ ‎，故在，上单调递增．‎ ‎，，，‎ 在，有一个零点；‎ 当时，令得，即，‎ 此时原函数的零点即为：，的零点．‎ 令得．‎ 当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增．‎ 因为（1），（3），（6），‎ 故在和上各有一个零点，‎ 即在上有两个零点．‎ 综上，共有3个零点．‎ 故选．‎ ‎5．（2020•湖北模拟）已知函数，，则函数在区间，内有　　个零点 A．4038 B．4039 C．4040 D．4041‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 令得，‎ 在，上单调递减，在，上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增，且是上的奇函数且，，，，‎ 如图所示在同一坐标系下作出与的图象可知：‎ 与的图象在，上有2020个交点，在，上有2019个交点 函数有4039个交点；‎ 故选．‎ ‎6．（2020•九龙坡区模拟）已知函数，若方程有四个不同的解，，，且，则的取值范围是　　‎ A． B．， C． D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】作函数函数，的图象如下，‎ 由图可知，，，，‎ 则，其在上是减函数，‎ 令，‎ 函数和函数在，是减函数，‎ 在，上是减函数，‎ 由单调性可得：（1），‎ 即．‎ 故选．‎ ‎7．（2020•杜集区校级模拟）已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则函数在区间，内的零点个数为　　‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，，可知关于对称，‎ 那么 函数是奇函数，即图象过，且，‎ 可得 即，‎ 可得周期，‎ 作出，的图象，可得函数在区间，内的零点个数为8．‎ 故选．‎ ‎8．（2020•武侯区校级模拟）定义在上的函数有　　个零点？（其中表示不大于实数的最大整数）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，函数的零点问题转化为求的根的个数，‎ 根据和的图象，求两函数图象的交点，‎ 则有，，，，‎ 一共有3个零点．‎ 故选．‎ ‎9．（2020•杜集区校级模拟）已知函数有唯一的零点，则常数　　‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，函数有唯一的零点，‎ 即函数与，只有一个交点，‎ 当时，函数的最小值为1，其顶点坐标为，‎ 那么函数的最大值的坐标为，‎ 所以，所以．‎ 故选．‎ ‎10．（2020•西安三模）定义域和值域均为，（常数的函数和的图象如图所示，方程解得个数不可能的是　　‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】方程对应的有一个解，‎ 从图中可知，，‎ 可能有1，2，3个解；‎ 从而可知方程解得个数不可能为4个；‎ 故选．‎ ‎11．（2020•武侯区校级模拟）定义在区间，的函数有　　个零点？（其中表示不大于实数的最大整数）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】D ‎【解析】令，则，，，‎ 则原问题转化为求的根的个数，‎ 根据和的图象，求两函数图象的交点，‎ 则有，，，，‎ 即当，则；，则和；‎ ‎，，亦有两解，‎ 一共有5个零点．‎ 故选．‎ ‎12．（2020•东湖区校级模拟）若函数在其定义域上有两个零点，则的取值范围是　　‎ A．， B．， ‎ C．， D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数定义域为，由有两个根，而（1），所以不是方程的根，‎ 即直线与函数有两个交点，，‎ 因为在上恒成立，所以当时，，当时，，当时，．‎ ‎．‎ 作出函数的图象，如图所示：‎ 由图可知，的取值范围是，．‎ 故选．‎ ‎13．（2020•青羊区校级模拟）设函数，若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】只有一个整数解，即只有一个整数解，‎ 令，则的图象在直线的上方只有一个整数解．‎ 作出的图象，‎ 由图象可知的取值范围为（3）（2）‎ 即，‎ 故选．‎ ‎14．（2020•梅河口市校级模拟）已知函数在区间上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，当时，与函数恒有一个交点，‎ 的最大值的端点坐标为．‎ 函数有两个不同的零点，即函数与且有一个交点；‎ 当时，函数的函数值为3，即坐标为，‎ 若，即直线与抛物线相切，则只有一个解，‎ 即△，，‎ 可得，‎ 若，要使函数与且有一个交点，‎ 则，‎ ‎，‎ 综上可得实数的取值范围是．‎ 故选．‎ ‎15．（2020•运城模拟）定义在上的函数满足，且，若函数有5个零点，则实数的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得，所以是周期为的周期函数，‎ 作出函数的图象如图所示，‎ 直线经过点，，由图知，当直线夹在直线与直线之间时，与函数的图象有5个交点，‎ 易知，，，‎ 则；‎ 实数的取值范围是．‎ 故选．‎ ‎16．（2020•道里区校级四模）定义：表示的解集中整数的个数．若，，且，则实数的取值范围是　　‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时，由幂函数和对数函数的性质可知，不只有两个整数解，‎ 当时，，若，即，解得，整数解不是两个，‎ 当时，（3），（3），（3）（3），所以3是一个整数解，‎ 若另一个整数解为2时，，解得，‎ 若另一个整数解为4时，无解，‎ 综上所述的取值范围为，‎ 故选．‎ ‎17．（2020•天心区校级模拟）已知函数，若方程有3‎ 个不同实数根，则实数的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】当直线与曲线相切时，‎ 设切点为，则切线斜率，‎ 所以，即，解得．‎ 又当时，．‎ 所以（1）当时，有1个实数根，‎ 此时有1个实数根，不满足题意；‎ ‎（2）当时，有2个实数根，‎ 此时有1个实数根，满足题意；‎ ‎（3）当时，无实数根，‎ 此时最多有2个实数根，不满足题意．‎ 综上，，‎ 故选．‎ ‎18．（2020•桃城区校级模拟）已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是　　‎ A．， B． C．，， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】（1）当时，，‎ 所以是的一个零点；‎ ‎（2）当时，由题知应有两个不为零的不同零点，‎ 即有两个不为零的不同实根，‎ 即与的图象有两个不为零的不同交点，‎ 又，‎ 令，，则，‎ 所以当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ 令，，则，‎ 所以时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ 所以的大致图象是 数形结合，知当或，时，函数有三个零点．‎ 故选．‎ ‎19．（2020•让胡路区校级三模）已知函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出函数的图象如图中实线部分所示，‎ 方程恰有四个不相等的实数根，‎ 即函数与函数的图象有四个不同的交点，‎ 而是斜率为，过定点的直线，‎ 当直线与相切时，即图中，‎ 设切点坐标为，，，‎ 则切线的方程为，‎ 又点在切线上，代入可解得，‎ 直线的斜率为，‎ 当直线过原点，即图中，‎ 计算可知直线的斜率为，‎ 所以当时，两函数的图象有4个不同的交点．‎ 故选．‎ ‎20．（2020•河南模拟）已知函数函数零点的个数为　　‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令B，则，‎ ‎①当时，，即，即，‎ 当时，有一个解，即方程有一个解；‎ 当时，，，；，，且，‎ 所以，当 时，而，‎ 于是方程无解．‎ ‎②当 时，，由 （1）知，即，‎ 当 时， 有一个解；‎ 当 时，，所以 无解，‎ 综上，函数 有两个零点．‎ 故选．‎ ‎21．（2020•邵阳三模）已知函数，若方程有4个不等的实根，则实数的取值范围为　　‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，方程等价于 ‎，得，‎ 令，则，‎ 故当时，；当时，，‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ ‎，（1），当时，，‎ 因此作出函数的图象如下图所示 因为方程 实根的个数等价于函数的图象与直线， 的交点个数，‎ 若方程有4个不等的实根，‎ 那么有以下两种情况，‎ 情况一：，此时；‎ 情况二：，解得．‎ 综上所述，的取值范围为．‎ 故选．‎ ‎22．（2020•河南模拟）已知函数，若方程有2不同的实数解，则实数的取值范围是　　‎ A． B． ‎ C．，， D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】方程有2不同的实数解，等价于有2不同的实数解，‎ 记，则方程，‎ 函数，，可得函数在递增，在递减，其图象如下：‎ 当，即是，根据图象可知，故此时无解，‎ 当时，要使方程有2不同的实数解，只需，‎ 故实数的取值范围是，‎ 故选．‎ ‎23．（2020•思明区校级一模）已知函数，若函数的零点有2个或3个，则实数的取值范围为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，则，‎ 所以当时，；当时，，‎ 即函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ 当时，，（e），当时，．‎ 令，则，‎ 所以当时，；当时，，‎ 即函数在区间，上单调递减，在区间上单调递减，‎ 当时，，，．‎ 函数的零点有2个或3个，‎ 等价于函数图象与直线的交点有2个或3个，‎ 画出函数的与直线图象如下图所示 数形结合可知，实数的取值范围为．‎ 故选．‎