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  • 2021-05-13 发布

2020-2021学年高考数学(理)考点:函数与方程

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‎2020-2021学年高考数学(理)考点:函数与方程 ‎ ‎1.函数的零点 ‎(1)函数零点的定义 对于函数y=f (x)(x∈D),把使f (x)=0的实数x叫做函数y=f (x)(x∈D)的零点.‎ ‎(2)三个等价关系 方程f (x)=0有实数根⇔函数y=f (x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f (x)有零点.‎ ‎(3)函数零点的判定(零点存在性定理)‎ 如果函数y=f (x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a)·f (b)<0,那么,函数y=f (x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f (c)=0,这个c也就是方程f (x)=0的根.‎ ‎2.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0‎ Δ=0‎ Δ<0‎ 二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象 与x轴的交点 ‎(x1,0),(x2,0)‎ ‎(x1,0)‎ 无交点 零点个数 ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ 概念方法微思考 函数f (x)的图象连续不断,是否可得到函数f (x)只有一个零点?‎ 提示 不能.‎ ‎1.(2020•天津)已知函数若函数恰有4个零点,则的取值范围是  ‎ A.,, B.,, ‎ C.,, D.,,‎ ‎【答案】D ‎【解析】若函数恰有4个零点,‎ 则有四个根,‎ 即与有四个交点,‎ 当时,与图象如下:‎ 两图象只有两个交点,不符合题意,‎ 当时,与轴交于两点,‎ 图象如图所示,‎ 两图象有4个交点,符合题意,‎ 当时,‎ 与轴交于两点,‎ 在,内两函数图象有两个交点,所以若有四个交点,‎ 只需与在,还有两个交点,即可,‎ 即在,还有两个根,‎ 即在,还有两个根,‎ 函数,(当且仅当时,取等号),‎ 所以,且,所以,‎ 综上所述,的取值范围为,,.‎ 故选.‎ ‎2.(2019•新课标Ⅲ)函数在,的零点个数为  ‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数 在,的零点个数,‎ 即方程 在区间,的根个数,‎ 即 在区间,的根个数,‎ 即 或 在区间,的根个数,‎ 解得或 或.‎ 所以函数在,的零点个数为3个.‎ 故选.‎ ‎3.(2017•新课标Ⅲ)已知函数有唯一零点,则  ‎ A. B. C. D.1‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,‎ 所以函数有唯一零点等价于方程有唯一解,‎ 等价于函数的图象与的图象只有一个交点.‎ ‎①当时,,此时有两个零点,矛盾;‎ ‎②当时,由于在上递增、在上递减,‎ 且在上递增、在上递减,‎ 所以函数的图象的最高点为,的图象的最高点为,‎ 由于,此时函数的图象与的图象有两个交点,矛盾;‎ ‎③当时,由于在上递增、在上递减,‎ 且在上递减、在上递增,‎ 所以函数的图象的最高点为,的图象的最低点为,‎ 由题可知点与点重合时满足条件,即,即,符合条件;‎ 综上所述,,‎ 方法二:,‎ 令,则为偶函数,图象关于对称,‎ 若有唯一零点,则根据偶函数的性质可知当时,,‎ 所以.‎ 故选.‎ ‎4.(2020•上海)设,若存在定义域为的函数同时满足下列两个条件:‎ ‎(1)对任意的,的值为或;‎ ‎(2)关于的方程无实数解,‎ 则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】,,,‎ ‎【解析】根据条件(1)可得或(1),‎ 又因为关于的方程无实数解,所以或1,‎ 故,,,,‎ 故答案为:,,,.‎ ‎5.(2018•新课标Ⅲ)函数在,的零点个数为__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ 当时,,‎ 当时,,‎ 当时,,‎ 当时,,‎ ‎,,‎ ‎,或,或,‎ 故零点的个数为3,‎ 故答案为:3.‎ ‎6.(2018•浙江)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为,,,则,当时,__________,__________.‎ ‎【答案】8;11‎ ‎【解析】,当时,化为:,‎ 解得,.‎ 故答案为:8;11.‎ ‎7.(2018•新课标Ⅰ)已知函数,若(3),则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数,若(3),‎ 可得:,可得.‎ 故答案为:.‎ ‎8.(2018•上海)设,函数,,若函数与的图象有且仅有两个不同的公共点,则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数与的图象有且仅有两个不同的公共点,‎ 即方程有两不同根,‎ 也就是有两不同根,‎ ‎,在上有两不同根.‎ ‎,或,.‎ 又,且,‎ ‎,仅有两解时,应有,‎ 则.‎ 的取值范围是.‎ 故答案为:.‎ ‎9.(2017•江苏)设是定义在上且周期为1的函数,在区间,上,,其中集合,,则方程的解的个数是__________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】在区间,上,,‎ 第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数,‎ 又是定义在上且周期为1的函数,‎ 在区间,上,,此时的图象与有且只有一个交点;‎ 同理:‎ 区间,上,的图象与有且只有一个交点;‎ 区间,上,的图象与有且只有一个交点;‎ 区间,上,的图象与有且只有一个交点;‎ 区间,上,的图象与有且只有一个交点;‎ 区间,上,的图象与有且只有一个交点;‎ 区间,上,的图象与有且只有一个交点;‎ 区间,上,的图象与有且只有一个交点;‎ 在区间,上,的图象与无交点;‎ 故的图象与有8个交点,且除了,其他交点横坐标均为无理数;‎ 即方程的解的个数是8,‎ 故答案为:8.‎ ‎10.(2017•上海)若关于、的方程组无解,则实数__________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】若关于、的方程组无解,‎ 说明两直线与无交点.‎ 则,解得:.‎ 故答案为:6.‎ ‎11.(2017•上海)设、,若函数在区间上有两个不同的零点,则(1)的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数在区间上有两个不同的零点,‎ 即方程在区间上两个不相等的实根,‎ ‎,‎ 如图画出数对所表示的区域,目标函数(1)‎ 的最小值为过点时,的最大值为过点时 ‎(1)的取值范围为 故答案为:.‎ ‎1.(2020•马鞍山三模)已知,若关于的方程有5个不同的实根,则实数的取值范围为  ‎ A., B. C., D.,‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时,,则,‎ 令得:,‎ 当时,,单调递减;当时,,单调递增,且(1),,‎ 当时,,则,显然,‎ 当时,,单调递增;当时,,单调递减,且,‎ 故函数的大致图象如图所示,‎ 令,则关于的方程化为关于的方程,‎ ‎△,‎ 方程有两个不相等的实根,设为,,‎ 由韦达定理得:,,‎ 不妨设,,‎ 关于的方程恰好有5个不相等的实根,‎ 由函数的图象可知: 且,‎ 设,则,解得.‎ 故选.‎ ‎2.(2020•龙凤区校级模拟)若关于的方程恰有4个不相等实根,则实数的取值范围是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】方程恰有4个不相等实根,‎ 转化为恰有4个不相等实根,‎ 令,可得.‎ 由,得,‎ 当时,,当,时,,‎ 可得在上单调递减,在,上单调递增.‎ 作出的图象如图,‎ 由图可知,要使恰有4个不相等实根,‎ 则,,且关于的方程在,上有两个不相等的实数根,‎ 即在,上有两个不同的零点,‎ 则,解得.‎ 故选.‎ ‎3.(2020•香坊区校级一模)已知为定义在上的奇函数,且,当,时,,则函数的零点个数为  ‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎,‎ 可得周期,‎ 又是奇函数,可得,‎ ‎,‎ 可得函数关于对称,‎ 当,时,,‎ 作出的图象如与之间的交点,‎ 结合函数的图象可知,图象的交点有4个.‎ 即函数的零点个数为4个.‎ 故选.‎ ‎4.(2020•唐山二模)函数的零点个数是  ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时,函数,‎ ‎,故在,上单调递增.‎ ‎,,,‎ 在,有一个零点;‎ 当时,令得,即,‎ 此时原函数的零点即为:,的零点.‎ 令得.‎ 当时,,此时单调递减;当时,,此时单调递增.‎ 因为(1),(3),(6),‎ 故在和上各有一个零点,‎ 即在上有两个零点.‎ 综上,共有3个零点.‎ 故选.‎ ‎5.(2020•湖北模拟)已知函数,,则函数在区间,内有  个零点 A.4038 B.4039 C.4040 D.4041‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 令得,‎ 在,上单调递减,在,上单调递增,在,上单调递减,在,上单调递增,且是上的奇函数且,,,,‎ 如图所示在同一坐标系下作出与的图象可知:‎ 与的图象在,上有2020个交点,在,上有2019个交点 函数有4039个交点;‎ 故选.‎ ‎6.(2020•九龙坡区模拟)已知函数,若方程有四个不同的解,,,且,则的取值范围是  ‎ A. B., C. D.,‎ ‎【答案】D ‎【解析】作函数函数,的图象如下,‎ 由图可知,,,,‎ 则,其在上是减函数,‎ 令,‎ 函数和函数在,是减函数,‎ 在,上是减函数,‎ 由单调性可得:(1),‎ 即.‎ 故选.‎ ‎7.(2020•杜集区校级模拟)已知函数对任意的,都有,函数是奇函数,当时,,则函数在区间,内的零点个数为  ‎ A.8 B.7 C.6 D.5‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意,,可知关于对称,‎ 那么 函数是奇函数,即图象过,且,‎ 可得 即,‎ 可得周期,‎ 作出,的图象,可得函数在区间,内的零点个数为8.‎ 故选.‎ ‎8.(2020•武侯区校级模拟)定义在上的函数有  个零点?(其中表示不大于实数的最大整数)‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意,函数的零点问题转化为求的根的个数,‎ 根据和的图象,求两函数图象的交点,‎ 则有,,,,‎ 一共有3个零点.‎ 故选.‎ ‎9.(2020•杜集区校级模拟)已知函数有唯一的零点,则常数  ‎ A. B.1 C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意,函数有唯一的零点,‎ 即函数与,只有一个交点,‎ 当时,函数的最小值为1,其顶点坐标为,‎ 那么函数的最大值的坐标为,‎ 所以,所以.‎ 故选.‎ ‎10.(2020•西安三模)定义域和值域均为,(常数的函数和的图象如图所示,方程解得个数不可能的是  ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】D ‎【解析】方程对应的有一个解,‎ 从图中可知,,‎ 可能有1,2,3个解;‎ 从而可知方程解得个数不可能为4个;‎ 故选.‎ ‎11.(2020•武侯区校级模拟)定义在区间,的函数有  个零点?(其中表示不大于实数的最大整数)‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【答案】D ‎【解析】令,则,,,‎ 则原问题转化为求的根的个数,‎ 根据和的图象,求两函数图象的交点,‎ 则有,,,,‎ 即当,则;,则和;‎ ‎,,亦有两解,‎ 一共有5个零点.‎ 故选.‎ ‎12.(2020•东湖区校级模拟)若函数在其定义域上有两个零点,则的取值范围是  ‎ A., B., ‎ C., D.,‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数定义域为,由有两个根,而(1),所以不是方程的根,‎ 即直线与函数有两个交点,,‎ 因为在上恒成立,所以当时,,当时,,当时,.‎ ‎.‎ 作出函数的图象,如图所示:‎ 由图可知,的取值范围是,.‎ 故选.‎ ‎13.(2020•青羊区校级模拟)设函数,若关于的不等式有且只有一个整数解,则实数的取值范围为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】只有一个整数解,即只有一个整数解,‎ 令,则的图象在直线的上方只有一个整数解.‎ 作出的图象,‎ 由图象可知的取值范围为(3)(2)‎ 即,‎ 故选.‎ ‎14.(2020•梅河口市校级模拟)已知函数在区间上为单调函数,若函数有两个不同的零点,则实数的取值范围是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意,当时,与函数恒有一个交点,‎ 的最大值的端点坐标为.‎ 函数有两个不同的零点,即函数与且有一个交点;‎ 当时,函数的函数值为3,即坐标为,‎ 若,即直线与抛物线相切,则只有一个解,‎ 即△,,‎ 可得,‎ 若,要使函数与且有一个交点,‎ 则,‎ ‎,‎ 综上可得实数的取值范围是.‎ 故选.‎ ‎15.(2020•运城模拟)定义在上的函数满足,且,若函数有5个零点,则实数的取值范围是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得,所以是周期为的周期函数,‎ 作出函数的图象如图所示,‎ 直线经过点,,由图知,当直线夹在直线与直线之间时,与函数的图象有5个交点,‎ 易知,,,‎ 则;‎ 实数的取值范围是.‎ 故选.‎ ‎16.(2020•道里区校级四模)定义:表示的解集中整数的个数.若,,且,则实数的取值范围是  ‎ A., B., C., D.,‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时,由幂函数和对数函数的性质可知,不只有两个整数解,‎ 当时,,若,即,解得,整数解不是两个,‎ 当时,(3),(3),(3)(3),所以3是一个整数解,‎ 若另一个整数解为2时,,解得,‎ 若另一个整数解为4时,无解,‎ 综上所述的取值范围为,‎ 故选.‎ ‎17.(2020•天心区校级模拟)已知函数,若方程有3‎ 个不同实数根,则实数的取值范围是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】当直线与曲线相切时,‎ 设切点为,则切线斜率,‎ 所以,即,解得.‎ 又当时,.‎ 所以(1)当时,有1个实数根,‎ 此时有1个实数根,不满足题意;‎ ‎(2)当时,有2个实数根,‎ 此时有1个实数根,满足题意;‎ ‎(3)当时,无实数根,‎ 此时最多有2个实数根,不满足题意.‎ 综上,,‎ 故选.‎ ‎18.(2020•桃城区校级模拟)已知函数,若函数恰有三个不同的零点,则实数的取值范围是  ‎ A., B. C.,, D.,‎ ‎【答案】D ‎【解析】(1)当时,,‎ 所以是的一个零点;‎ ‎(2)当时,由题知应有两个不为零的不同零点,‎ 即有两个不为零的不同实根,‎ 即与的图象有两个不为零的不同交点,‎ 又,‎ 令,,则,‎ 所以当时,,单调递增;‎ 当时,,单调递减,‎ 令,,则,‎ 所以时,,单调递增;‎ 当时,,单调递减,‎ 所以的大致图象是 数形结合,知当或,时,函数有三个零点.‎ 故选.‎ ‎19.(2020•让胡路区校级三模)已知函数,若方程恰有四个不相等的实数根,则实数的取值范围是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出函数的图象如图中实线部分所示,‎ 方程恰有四个不相等的实数根,‎ 即函数与函数的图象有四个不同的交点,‎ 而是斜率为,过定点的直线,‎ 当直线与相切时,即图中,‎ 设切点坐标为,,,‎ 则切线的方程为,‎ 又点在切线上,代入可解得,‎ 直线的斜率为,‎ 当直线过原点,即图中,‎ 计算可知直线的斜率为,‎ 所以当时,两函数的图象有4个不同的交点.‎ 故选.‎ ‎20.(2020•河南模拟)已知函数函数零点的个数为  ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令B,则,‎ ‎①当时,,即,即,‎ 当时,有一个解,即方程有一个解;‎ 当时,,,;,,且,‎ 所以,当 时,而,‎ 于是方程无解.‎ ‎②当 时,,由 (1)知,即,‎ 当 时, 有一个解;‎ 当 时,,所以 无解,‎ 综上,函数 有两个零点.‎ 故选.‎ ‎21.(2020•邵阳三模)已知函数,若方程有4个不等的实根,则实数的取值范围为  ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】令,方程等价于 ‎,得,‎ 令,则,‎ 故当时,;当时,,‎ 所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,‎ ‎,(1),当时,,‎ 因此作出函数的图象如下图所示 因为方程 实根的个数等价于函数的图象与直线, 的交点个数,‎ 若方程有4个不等的实根,‎ 那么有以下两种情况,‎ 情况一:,此时;‎ 情况二:,解得.‎ 综上所述,的取值范围为.‎ 故选.‎ ‎22.(2020•河南模拟)已知函数,若方程有2不同的实数解,则实数的取值范围是  ‎ A. B. ‎ C.,, D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】方程有2不同的实数解,等价于有2不同的实数解,‎ 记,则方程,‎ 函数,,可得函数在递增,在递减,其图象如下:‎ 当,即是,根据图象可知,故此时无解,‎ 当时,要使方程有2不同的实数解,只需,‎ 故实数的取值范围是,‎ 故选.‎ ‎23.(2020•思明区校级一模)已知函数,若函数的零点有2个或3个,则实数的取值范围为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】令,则,‎ 所以当时,;当时,,‎ 即函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,‎ 当时,,(e),当时,.‎ 令,则,‎ 所以当时,;当时,,‎ 即函数在区间,上单调递减,在区间上单调递减,‎ 当时,,,.‎ 函数的零点有2个或3个,‎ 等价于函数图象与直线的交点有2个或3个,‎ 画出函数的与直线图象如下图所示 数形结合可知,实数的取值范围为.‎ 故选.‎