2016年天津市高考数学试卷(文科) 24页

‎2016年天津市高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 ‎1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（　　）‎ A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}‎ ‎2．（5分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（5分）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣y2=1 B．x2﹣=1‎ C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎5．（5分）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的 （　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，） B．（﹣∞，）∪（，+∞）‎ C．（，） D．（，+∞）‎ ‎7．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（　　）‎ A．﹣ B． C． D．‎ ‎8．（5分）已知函数f（x）=sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．（0，]∪[，1） C．（0，] D．（0，]∪[，]‎ ‎　‎ 二、填空题本大题6小题，每题5分，共30分 ‎9．（5分）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为　 　．‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=（2x+1）ex，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为　 　．‎ ‎11．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为　 　．‎ ‎12．（5分）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点M（0，）在圆C上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为，则圆C的方程为　 　．‎ ‎13．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为　 　．‎ ‎14．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，80分 ‎15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=‎ bsinA．‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）已知cosA=，求sinC的值．‎ ‎16．（13分）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：‎ 肥料 原料 A B C 甲 ‎4‎ ‎8‎ ‎3‎ 乙 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ 现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．‎ ‎（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎（Ⅱ）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．‎ ‎17．（13分）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=，∠BAD=60°，G为BC的中点．‎ ‎（1）求证：FG∥平面BED；‎ ‎（2）求证：平面BED⊥平面AED；‎ ‎（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．‎ ‎18．（13分）已知{an}是等比数列，前n项和为Sn（n∈N*），且﹣=，S6=63．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中项，求数列{（﹣1）nb}的前2n项和．‎ ‎19．（14分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A，已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．‎ ‎20．（14分）设函数f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=0；‎ ‎（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于．‎ ‎　‎ ‎2016年天津市高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 ‎1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，则A∩B=（　　）‎ A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}‎ ‎【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 ‎【分析】根据题意，将集合B用列举法表示出来，可得B={1，3，5}，由交集的定义计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，集合A={1，2，3}，而B={y|y=2x﹣1，x∈A}，‎ 则B={1，3，5}，‎ 则A∩B={1，3}，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查集合的运算，注意集合B的表示方法．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 ‎【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件．‎ ‎∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P=+=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择合适的概率公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】L7：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有 ‎【分析】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出答案．‎ ‎【解答】解：由主视图和俯视图可知切去的棱锥为D﹣AD1C，‎ 棱CD1在左侧面的投影为BA1，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了棱锥，棱柱的结构特征，三视图，考查空间想象能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣y2=1 B．x2﹣=1‎ C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，求出几何量a，b，c，即可求出双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，‎ ‎∴c=，‎ ‎∵双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，‎ ‎∴=，‎ ‎∴a=2b，‎ ‎∵c2=a2+b2，‎ ‎∴a=2，b=1，‎ ‎∴双曲线的方程为=1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的 （　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有 ‎【分析】直接根据必要性和充分判断即可．‎ ‎【解答】解：设x＞0，y∈R，当x＞0，y=﹣1时，满足x＞y但不满足x＞|y|，故由x＞0，y∈R，则“x＞y”推不出“x＞|y|”，‎ 而“x＞|y|”⇒“x＞y”，‎ 故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，） B．（﹣∞，）∪（，+∞）‎ C．（，） D．（，+∞）‎ ‎【考点】3E：函数单调性的性质与判断．菁优网版权所有 ‎【分析】根据函数的对称性可知f（x）在（0，+∞）递减，故只需令2|a﹣1|＜即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．‎ ‎∵2|a﹣1|＞0，f（﹣）=f（），‎ ‎∴2|a﹣1|＜=2．‎ ‎∴|a﹣1|，‎ 解得．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知△‎ ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（　　）‎ A．﹣ B． C． D．‎ ‎【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 ‎【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，‎ ‎∴•==‎ ‎==‎ ‎===‎ ‎=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知函数f（x）=sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．（0，]∪[，1） C．（0，] D．（0，]∪[，]‎ ‎【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有 ‎【分析】函数f（x）=，由f（x）=0，可得=0，解得x=∉（π，2π），因此ω∉∪∪∪…=∪，即可得出．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=+sinωx﹣=+sinωx=，‎ 由f（x）=0，可得=0，‎ 解得x=∉（π，2π），‎ ‎∴ω∉∪∪∪…=∪，‎ ‎∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，‎ ‎∴ω∈∪．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题本大题6小题，每题5分，共30分 ‎9．（5分）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为　1　．‎ ‎【考点】A1：虚数单位i、复数．菁优网版权所有 ‎【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解：由（1+i）z=2，‎ 得，‎ ‎∴z的实部为1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=（2x+1）ex，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为　3　．‎ ‎【考点】63：导数的运算．菁优网版权所有 ‎【分析】先求导，再带值计算．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=（2x+1）ex，‎ ‎∴f′（x）=2ex+（2x+1）ex，‎ ‎∴f′（0）=2e0+（2×0+1）e0=2+1=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为　4　．‎ ‎【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 ‎【分析】根据循环结构，结合循环的条件，求出最后输出S的值．‎ ‎【解答】解：第一次循环：S=8，n=2；‎ 第二次循环：S=2，n=3；‎ 第三次循环：S=4，n=4，‎ 结束循环，输出S=4，‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题主要考查程序框图，循环结构，注意循环的条件，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点M（0，）在圆C上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为，则圆C的方程为　（x﹣2）2+y2=9　．‎ ‎【考点】J1：圆的标准方程．菁优网版权所有 ‎【分析】由题意设出圆的方程，把点M的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线的距离列式求解．‎ ‎【解答】解：由题意设圆的方程为（x﹣a）2+y2=r2（a＞0），‎ 由点M（0，）在圆上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为，‎ 得，解得a=2，r=3．‎ ‎∴圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=9．‎ 故答案为：（x﹣2）2+y2=9．‎ ‎【点评】本题考查圆的标准方程，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为　　．‎ ‎【考点】NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 ‎【分析】由BD=ED，可得△BDE为等腰三角形，过D作DH⊥‎ AB于H，由相交弦定理求得DH，在Rt△DHE中求出DE，再由相交弦定理求得CE．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 过D作DH⊥AB于H，‎ ‎∵BE=2AE=2，BD=ED，‎ ‎∴BH=HE=1，则AH=2，BH=1，‎ ‎∴DH2=AH•BH=2，则DH=，‎ 在Rt△DHE中，则，‎ 由相交弦定理可得：CE•DE=AE•EB，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应用，是中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是　[，）　．‎ ‎【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有 ‎【分析】由减函数可知f（x）在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出|f（x）|和y=2﹣的图象，根据交点个数判断3a与2的大小关系，列出不等式组解出．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是R上的单调递减函数，‎ ‎∴y=x2+（4a﹣3）x+3a在（﹣∞．，0）上单调递减，y=loga（x+1）+1在（0，+∞）上单调递减，‎ 且f（x）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于f（0）．‎ ‎∴，解得≤a≤．‎ 作出y=|f（x）|和y=2﹣的函数草图如图所示：‎ 由图象可知|f（x）|=2﹣在[0，+∞）上有且只有一解，‎ ‎∵|f（x）|=2﹣恰有两个不相等的实数解，‎ ‎∴x2+（4a﹣3）x+3a=2﹣在（﹣∞，0）上只有1解，‎ 即x2+（4a﹣）x+3a﹣2=0在（﹣∞，0）上只有1解，‎ ‎∴或，‎ 解得a=或a＜，‎ 又≤a≤，∴．‎ 故答案为[，）．‎ ‎【点评】本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，80分 ‎15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=‎ bsinA．‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）已知cosA=，求sinC的值．‎ ‎【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB；‎ ‎（2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算．‎ ‎【解答】解：（1）∵asin2B=bsinA，‎ ‎∴2sinAsinBcosB=sinBsinA，‎ ‎∴cosB=，∴B=．‎ ‎（2）∵cosA=，∴sinA=，‎ ‎∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦函数，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（13分）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：‎ 肥料 原料 A B C 甲 ‎4‎ ‎8‎ ‎3‎ 乙 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ 现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．‎ ‎（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎（Ⅱ）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．‎ ‎【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有 ‎【分析】（Ⅰ）设出变量，建立不等式关系，即可作出可行域．‎ ‎（Ⅱ）设出目标函数，利用平移直线法进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知x，y满足不等式，则不等式对应的平面区域为，‎ ‎（Ⅱ）设年利润为z万元，则目标函数为z=2x+3y，即y=﹣x+，‎ 平移直线y=﹣x+，由图象得当直线经过点M时，直线的截距最大，此时z最大，‎ 由得，即M（20，24），‎ 此时z=40+72=112，‎ 即分别生产甲肥料20车皮，乙肥料24车皮，能够产生最大的利润，最大利润为112万元．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件建立约束条件，作出可行域，利用平移法是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=，∠BAD=60°，G为BC的中点．‎ ‎（1）求证：FG∥平面BED；‎ ‎（2）求证：平面BED⊥平面AED；‎ ‎（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．‎ ‎【考点】LS：直线与平面平行；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）利用中位线定理，和平行公理得到四边形OGEF是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明；‎ ‎（2）根据余弦定理求出BD=，继而得到BD⊥AD，再根据面面垂直的判定定理即可证明；‎ ‎（3）先判断出直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案．‎ ‎【解答】证明：（1）BD的中点为O，连接OE，OG，在△BCD中，‎ ‎∵G是BC的中点，‎ ‎∴OG∥DC，且OG=DC=1，‎ 又∵EF∥AB，AB∥DC，‎ ‎∴EF∥OG，且EF=OG，‎ 即四边形OGEF是平行四边形，‎ ‎∴FG∥OE，‎ ‎∵FG⊄平面BED，OE⊂平面BED，‎ ‎∴FG∥平面BED；‎ ‎（2）证明：在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，‎ 由余弦定理可得BD=，仅而∠ADB=90°，‎ 即BD⊥AD，‎ 又∵平面AED⊥平面ABCD，‎ BD⊂平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，‎ ‎∴BD⊥平面AED，‎ ‎∵BD⊂平面BED，‎ ‎∴平面BED⊥平面AED．‎ ‎（Ⅲ）∵EF∥AB，‎ ‎∴直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，‎ 过点A作AH⊥DE于点H，连接BH，‎ 又平面BED∩平面AED=ED，‎ 由（2）知AH⊥平面BED，‎ ‎∴直线AB与平面BED所成的角为∠ABH，‎ 在△ADE，AD=1，DE=3，AE=，由余弦定理得cos∠ADE=，‎ ‎∴sin∠ADE=，‎ ‎∴AH=AD•，‎ 在Rt△AHB中，sin∠ABH==，‎ ‎∴直线EF与平面BED所成角的正弦值 ‎【点评】本题考查了直线与平面的平行和垂直，平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）已知{an}是等比数列，前n项和为Sn（n∈N*），且﹣=，S6=63．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中项，求数列{（﹣1）‎ nb}的前2n项和．‎ ‎【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比q，利用求和公式解出a1，得出通项公式；‎ ‎（2）利用对数的运算性质求出bn，使用分项求和法和平方差公式计算．‎ ‎【解答】解：（1）设{an}的公比为q，则﹣=，即1﹣=，‎ 解得q=2或q=﹣1．‎ 若q=﹣1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意．∴q=2，‎ ‎∴S6==63，∴a1=1．‎ ‎∴an=2n﹣1．‎ ‎（2）∵bn是log2an和log2an+1的等差中项，‎ ‎∴bn=（log2an+log2an+1）=（log22n﹣1+log22n）=n﹣．‎ ‎∴bn+1﹣bn=1．‎ ‎∴{bn}是以为首项，以1为公差的等差数列．‎ 设{（﹣1）nbn2}的前2n项和为Tn，则 Tn=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）‎ ‎=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n ‎==‎ ‎=2n2．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，分项求和的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A，已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．‎ ‎【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+=，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得，整理得到M的坐标与k的关系，由∠MOA=∠MAO，得到x0=1，转化为关于k的等式求得k的值．‎ ‎【解答】解：（1）由+=，‎ 得+=，‎ 即=，‎ ‎∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．‎ ‎∴椭圆方程为；‎ ‎（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），‎ 设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），‎ ‎∵∠MOA=∠MAO，‎ ‎∴x0=1，‎ 再设H（0，yH），‎ 联立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．‎ ‎△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．‎ 由根与系数的关系得，‎ ‎∴，，‎ MH所在直线方程为y﹣k（x0﹣2）=﹣（x﹣x0），‎ 令x=0，得yH=（k+）x0﹣2k，‎ ‎∵BF⊥HF，‎ ‎∴，‎ 即1﹣x1+y1yH=1﹣[（k+）x0﹣2k]=0，‎ 整理得：=1，即8k2=3．‎ ‎∴k=﹣或k=．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）设函数f（x）=x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0=0；‎ ‎（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于．‎ ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有 ‎【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论a≤0时f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；‎ ‎（2）由条件判断出a＞0，且x0≠0，由f′（x0）=0求出x0，分别代入解析式化简f（x0），f（﹣2x0），化简整理后可得证；‎ ‎（3）设g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值M，根据极值点与区间的关系对a分三种情况讨论，运用f（x）单调性和前两问的结论，求出g（x）在区间上的取值范围，利用a的范围化简整理后求出M，再利用不等式的性质证明结论成立．‎ ‎【解答】解：（1）若f（x）=x3﹣ax﹣b，则f′（x）=3x2﹣a，‎ 分两种情况讨论：‎ ‎①、当a≤0时，有f′（x）=3x2﹣a≥0恒成立，‎ 此时f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），‎ ‎②、当a＞0时，令f′（x）=3x2﹣a=0，解得x=或x=，‎ 当x＞或x＜﹣时，f′（x）=3x2﹣a＞0，f（x）为增函数，‎ 当﹣＜x＜时，f′（x）=3x2﹣a＜0，f（x）为减函数，‎ 故f（x）的增区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），减区间为（﹣，）；‎ ‎（2）若f（x）存在极值点x0，则必有a＞0，且x0≠0，‎ 由题意可得，f′（x）=3x2﹣a，则x02=，‎ 进而f（x0）=x03﹣ax0﹣b=﹣x0﹣b，‎ 又f（﹣2x0）=﹣8x03+2ax0﹣b=﹣x0+2ax0﹣b=f（x0），‎ 由题意及（Ⅰ）可得：存在唯一的实数x1，满足f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，‎ 则有x1=﹣2x0，故有x1+2x0=0；‎ ‎（Ⅲ）设g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值M，max{x，y}‎ 表示x、y两个数的最大值，‎ 下面分三种情况讨论：‎ ‎①当a≥3时，﹣≤﹣1＜1≤，‎ 由（I）知f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，‎ 所以f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（1），f（﹣1）]，‎ 因此M=max{|f（1）|，|f（﹣1）|}=max{|1﹣a﹣b|，|﹣1+a﹣b|}‎ ‎=max{|a﹣1+b|，|a﹣1﹣b|}=，‎ 所以M=a﹣1+|b|≥2‎ ‎②当a＜3时，，‎ 由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）≥=f（），f（1）≤=，‎ 所以f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（），f（﹣）]，‎ 因此M=max{|f（）|，|f（﹣）|}=max{||，||}‎ ‎=max{||，||}=，‎ ‎③当0＜a＜时，，‎ 由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）＜=f（），f（1）＞=，‎ 所以f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（﹣1），f（1）]，‎ 因此M=max{|f（﹣1）|，|f（1）|}=max{|﹣1+a﹣b|，|1﹣a﹣b|}‎ ‎=max{|1﹣a+b|，|1﹣a﹣b|}=1﹣a+|b|＞，‎ 综上所述，当a＞0时，g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于．‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查分析法在证明中的应用，以及化简整理、运算能力，属于难题．‎ ‎　‎