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- 2021-05-13 发布
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2007-2013广东高考文科数学真题分类汇总-圆锥曲线
7(2013广东文).垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是( A)
A. B. C. D.
9(2013广东文).已知中心在原点的椭圆C的右焦点为,离心率等于,则C的方程是( D)
A. B. C. D.
20(2013广东文).(本小题满分14分)
已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.
(1) 求抛物线的方程;
(2) 当点为直线上的定点时,求直线的方程;
(3) 当点在直线上移动时,求的最小值.
20. 解:(1)依题意,解得(负根舍去)
抛物线的方程为;
(2)设点,,,
由,即得.
∴抛物线在点处的切线的方程为,
即.
∵, ∴ .
∵点在切线上, ∴. ①
同理, . ②
综合①、②得,点的坐标都满足方程 .
∵经过两点的直线是唯一的,
∴直线 的方程为,即;
(3)由抛物线的定义可知,
所以
联立,消去得,
当时,取得最小值为
8(2012广东文).在平面直角坐标系中,直线与圆相交
于、两点,则弦的长等于 (B)
A. B. C. D.
20(2012广东文). (本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,已知椭圆的左焦点为,且点在上.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 设直线与椭圆和抛物线相切,求直线的方程.
解:(1):依题意:c=1,…………………………………………………………………………1分
则:,…………………………………………………………………………2分
设椭圆方程为:………………………………………………………………3分
将点坐标代入,解得:…………………………………………………………4分
所以
故椭圆方程为:…………………………………………………………………………5分
(2)设所求切线的方程为:……………………………………………6分
消除y
………7分
化简得:
①………………………………………………………8分
同理:联立直线方程和抛物线的方程得:
消除y得:
……………………………………………………………………9分
化简得:
② …………………………………………………………………………10分
将②代入①解得:
解得:
………………………………………………………12分
故切线方程为:…………………………………………………14分
8(2011广东文).设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y =0相切,则C的圆心轨迹为(D)
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆
21(2011广东文).(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,直线交轴于点A,设是上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP
(1)当点P在上运动时,求点M的轨迹E的方程;
(2)已知T(1,-1),设H是E 上动点,求+的最小值,并给出此时点H的坐标;
(3)过点T(1,-1)且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点,求直线的斜率k的取值范围。
解:(1)如图1,设MQ为线段OP的垂直平分线,交OP于点Q,
因此即
①
另一种情况,见图2(即点M和A位于直线OP的同侧)。
MQ为线段OP的垂直平分线,
又
因此M在轴上,此时,记M的坐标为
为分析的变化范围,设为上任意点
由
(即)得,
故的轨迹方程为
②
综合①和②得,点M轨迹E的方程为
(2)由(1)知,轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成(见图3):
;
当时,过T作垂直于的直线,垂足为,交E1于。
再过H作垂直于的直线,交
因此,(抛物线的性质)。
(该等号仅当重合(或H与D重合)时取得)。
当时,则
综合可得,|HO|+|HT|的最小值为3,且此时点H的坐标为
(3)由图3知,直线的斜率不可能为零。
设
故的方程得:
因判别式
所以与E中的E1有且仅有两个不同的交点。
又由E2和的方程可知,若与E2有交点,
则此交点的坐标为有唯一交点,从而表三个不同的交点。
因此,直线的取值范围是
6(2010广东文).若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧,且与直线相切,则圆的方程是( D ) o*m
A. B.
C. D.
7(2010广东文).若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 ( B )
A. B. C. D.
21(2010广东文).(本小题满分14分)w_w w. k#s5_u.c o*m
已知曲线,点是曲线上的点(n=1,2,…).
(1)试写出曲线在点处的切线的方程,并求出与轴的交点的坐标;
(2)若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值,试求点的坐标;w_w*w.k_s_5 u.c*o*m
(3)设与为两个给定的不同的正整数,与是满足(2)中条件的点的坐标,
证明:
21.解:(1),设切线的斜率为,则
∴曲线在点处的切线的方程为:
又∵点在曲线上, ∴
∴曲线在点处的切线的方程为:即
令得,∴曲线在轴上的交点的坐标为
(2)原点到直线的距离与线段的长度之比为:
当且仅当即时,取等号。此时,
故点的坐标为
(3)证法一:要证
只要证
只要证
,又
所以:
证法二:由上知,只需证,
又,故只需证,可用数学归纳法证明之(略).
13(2009广东文).以点(2,)为圆心且与直线相切的圆的方程是 .
19(2009广东文).(本小题满分14分)
已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.
(1)求椭圆G的方程
(2)求的面积
(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.
19.【解析】(1)设椭圆G的方程为: ()半焦距为c;
则 , 解得 ,
所求椭圆G的方程为:.
(2 )点的坐标为
(3)若,由可知点(6,0)在圆外,
若,由可知点(-6,0)在圆外;
不论K为何值圆都不能包围椭圆G.
6(2008广东文).经过圆的圆心,且与直线垂直的直线方程是( C )
A. B. C. D.
20(2008广东文).(本小题满分14分)
设,椭圆方程为,抛物线方程为.如图6所示,过点作轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为,已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点.
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
(2)设分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点,使得为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).
A
y
x
O
B
G
F
F1
图6
20.解:(1)由得
当时,,点的坐标为
,
过点的切线方程为,即,
令得,点的坐标为;
由椭圆方程得点的坐标为, ,即,
因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为和.
(2)过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,
以为直角的只有一个,
同理以为直角的只有一个;
若以为直角,设点的坐标为,则坐标分别为
由得,
关于的一元二次方程有一解,有二解,即以为直角的有二个;
因此抛物线上共存在4个点使为直角三角形.
11(2007广东文).在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O,且过点P(2,4),则该抛物线的方程是 .
【解析】设所求抛物线方程为,依题意,故所求为.
19(2007广东文)(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy巾,已知圆心在第二象限、半径为的圆C与直线相切于坐标原点0.椭圆与圆c的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程; (2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设圆的方程为………………………2分
依题意,,…………5分
解得,故所求圆的方程为……………………7分
(注:此问若结合图形加以分析会大大降低运算量!)
(2)由椭圆的第一定义可得,故椭圆方程为,焦点……9分
设,依题意, …………………11分
解得或(舍去) ……………………13分 存在……14分