高考数学试题分类汇编专题三角函数理 18页

‎2011年高考试题数学（理科）三角函数 一、选择题:‎ ‎1. (2011年高考山东卷理科3)若点（a,9）在函数的图象上，则tan=的值为 ‎（A）0 (B) (C) 1 (D) ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知:9=,解得=2,所以,故选D.‎ ‎2. (2011年高考山东卷理科6)若函数 (ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=‎ ‎（A）3 （B）2 （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知,函数在处取得最大值1,所以1=sin,故选C.‎ ‎3.(2011年高考安徽卷理科9)已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】C.‎ ‎【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题.‎ ‎【解析】若对恒成立，则，所以，.由，（），可知 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ 答案： D 解析：由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos‎2A=sinA，即sinB（sin‎2A+cos‎2A）=sinA，‎ 故sinB=sinA，所以；‎ ‎5.(2011年高考辽宁卷理科7)设sin，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 答案： A 解析：‎ ‎6.(2011年高考浙江卷理科6)若，，，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】 C ‎【解析】：‎ ‎ 故选C ‎7. (2011年高考全国新课标卷理科5)已知角的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线上，则，（ ）‎ A B C D 解析：由题知,选B ‎8.(2011年高考全国新课标理11)设函数 的最小正周期为，且，则 （A）在单调递减 （B）在单调递减 （C）在单调递增 （D）在单调递增 解析：，所以，又f(x)为偶函数，，，选A ‎9. (2011年高考天津卷理科6)如图，在△中，是边上的点，且，则的值为（ ）‎ A．　　　 B． 　 ‎ C． 　　 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设,则由题意可得: ,在中,由余弦定理得：‎ ‎=，所以=，在△中，由正弦定理得，，所以，解得=，故选D.‎ ‎10．(2011年高考湖北卷理科3)已知函数，若，则的取值范围为 A. B. ‎ C. D. ‎ 答案：B ‎ 解析：由，即，解得，‎ 即，所以选B.‎ ‎11．(2011年高考陕西卷理科6)函数在内 ‎ ‎（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点 ‎ ‎（C）有且仅有两一个零点（D）有无穷个零点 ‎【答案】B ‎【解析】：令，，则它们的图像如图故选B ‎12.(2011年高考重庆卷理科6)若的内角所对的边满足，且，则的值为 ‎（A） (B) ‎ ‎(C)1 (D) ‎ 解析：选A。 由得，由得，解得 ‎13. (2011年高考四川卷理科6)在ABC中．.则A的取值范围是( ) ‎ ‎ (A)(0，] (B)[ ，) (c)(0，] (D) [ ，)‎ 答案：C 解析：由题意正弦定理 ‎14． (2011年高考全国卷理科5)（5）设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了是此函数周期的整数倍。‎ ‎【精讲精析】选C. 由题,解得，令，即得 ‎15． (2011年高考福建卷理科3)若tan=3，则的值等于 ‎ A．2 B．‎3 ‎ C．4 D．6‎ ‎【答案】D ‎16．(2011年高考福建卷理科10)已知函数f（x）=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：‎ ‎ ①△ABC一定是钝角三角形 ‎ ‎ ②△ABC可能是直角三角形 ‎ ③△ABC可能是等腰三角形 ‎ ‎ ④△ABC不可能是等腰三角形 ‎ 其中，正确的判断是 ‎ A．①③ B．①④ C． ②③ D．②④‎ ‎【答案】B 二、填空题:‎ ‎1.(2011年高考辽宁卷理科16)已知函数f（x）=Atan（x+）（＞0，），y=f（x）的部分图像如下图，则f（）=____________.‎ 答案：‎ 解析：函数f(x)的周期是，故，由得.所以，故.‎ ‎2.(2011年高考安徽卷理科14)已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查等差数列的概念，考查余弦定理的应用，考查利用公式求三角形面积.‎ ‎【解析】设三角形的三边长分别为，最大角为，由余弦定理得，则，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为.‎ ‎3. (2011年高考全国新课标卷理科16)在中，，则的最大值为 。‎ 解析：,,‎ ‎；‎ ‎，故最大值是 ‎4.(2011年高考重庆卷理科14)已知，且，则的值为 ‎ 解析：。 由题设条件易得：，故，，所以 ‎5.(2011年高考全国卷理科14)已知a∈(，)，sinα=，则tan2α=‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 a∈(，)，sinα= ‎ 则tanα= 故tan2α=‎ ‎6.(2011年高考安徽卷江苏7)已知 则的值为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,而=-cot2x,所以,‎ 又因为,所以解得,所以的值为.‎ ‎7.(2011年高考安徽卷江苏9)函数是常数，的部分图象如图所示，则 ‎【答案】‎ ‎【解析】由图象知：函数的周期为，而周期，所以，‎ 由五点作图法知：，解得，又A=，所以函数，所以 ‎.‎ ‎8．(2011年高考北京卷理科9)在中。若b=5，，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由 ，正弦定理可得。‎ ‎9. (2011年高考福建卷理科14)如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______。‎ ‎【命题意图】本题考查运用正余弦定理解三角形，是中档题.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（法1）过A作AE⊥BC,垂足为E，∵AB=AC=2，BC=,∴E是BC的中点，且EC=，在中，AE==1,又∵∠ADE=45°，∴DE=1，∴AD=;‎ ‎(法2) ∵AB=AC=2，BC=,由余弦定理知，‎ ‎===, ∴C=30°， ‎ 在△ADC中，∠ADE=45°，由正弦定理得，，‎ ‎∴AD===.‎ ‎10．(2011年高考上海卷理科6)在相距‎2千米的．两点处测量目标，若，则．两点之间的距离是 千米。‎ ‎【命题意图】本题考查正弦定理及其应用，是简单题.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，∠C=45°，由正弦定理得，∴AC==.‎ ‎11．(2011年高考上海卷理科8)函数的最大值为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将原函数解析式展开得=,故最大值为 ‎=.‎ 三、解答题:‎ ‎1. (2011年高考山东卷理科17)（本小题满分12分）‎ 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.‎ （I） 求的值；‎ （II） 若cosB=，,求的面积.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由正弦定理得所以 ‎=,即,即有,即,所以=2.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知: =2,即c=‎2a,又因为,所以由余弦定理得：‎ ‎，即,解得,所以c=2,又因为cosB=，所以sinB=，故的面积为=.‎ ‎2.(2011年高考浙江卷理科18)（本题满分14分）在中，角所对的边分别为a,b,c已知且.（Ⅰ）当时，求的值；(Ⅱ)若角为锐角，求p的取值范围；‎ ‎（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理，得 解得或 ‎（Ⅱ）解：由余弦定理，b2=a2+c2‎-2ac cosB ‎ =(a+c)2‎-2ac cosB ‎ =p2b2-即 ‎ 因为得，由题设知，所以 ‎3. (2011年高考天津卷理科15)（本小题满分13分）‎ 已知函数，‎ ‎（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）设，若求的大小．‎ ‎【解析】 本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式、正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.‎ ‎（Ⅰ）由得所以的定义域为 ‎.的最小正周期为.‎ ‎（Ⅱ）由得即,‎ 整理得: ,因为,所以可得 ‎,解得,由得,所以,.‎ ‎4. (2011年高考江西卷理科17)（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1-sin ‎ ‎（1）求sinC的值 ‎（2）若 a2+b2=4(a+b)-8，求边c的值 解析：由，即，‎ 因为，所以，两边平方得．‎ ‎（2）由得，所以，所以，‎ 由得，由余弦定理得，‎ 又，即，所以，‎ 所以，所以．‎ 本题考查三角形、同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及余弦定理．‎ ‎5. (2011年高考湖南卷理科17) （本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足.‎ 求角的大小；‎ 求的最大值，并求取得最大值时角的大小.‎ 解：由正弦定理得 因为，所以.从而.又，所以，‎ 则 由知，，于是=‎ ‎==‎ 因为，所以.从而当，即时，‎ 取最大值2.‎ 综上所述，的最大值2，此时，.‎ 评析：本大题主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的运用，以及运用三角公式进行三角变换的能力以及三角函数的最值、求角问题.‎ ‎6. (2011年高考广东卷理科16)（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设求的值.‎ ‎【解析】解：（1）‎ ‎ ；‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故 ‎7. (2011年高考湖北卷理科16)（本小题满分10分）‎ 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为，已知.‎ ‎(Ⅰ) 求△ABC的周长；‎ ‎(Ⅱ)求cos(A—C.)‎ 本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力.‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）的周长为 ‎（Ⅱ）‎ 故A为锐角.‎ ‎..‎ ‎8．(2011年高考陕西卷理科18)（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理 ‎【解析】：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积。或，，‎ 证法一 ，如图 即 同理可证，‎ 证法二：已知 建立直角坐标系，则 ‎ ‎ 同理可证 ‎9.(2011年高考重庆卷理科16)（本小题满分13分）‎ 设满足，求函数 在上的最大值和最小值 解析：‎ 由得，解得： ‎ 因此 当时，，为增函数，‎ 当时，，为减函数，‎ 所以在上的最大值为 又因为，‎ 所以在上的最小值为 ‎10. (2011年高考四川卷理科17)（本小题共12分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；‎ ‎（Ⅱ）已知，，求证：.‎ 解析：（Ⅰ）∵‎ ‎，‎ ‎∴的最小正周期是，当，‎ 即时，函数取得最小值-2.‎ ‎（Ⅱ），，‎ ‎..‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，结论成立.‎ ‎11.(2011年高考全国卷理科17) (本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ ‎ △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，a+c=b，求C. ‎ ‎【解析】：由正弦定理得，‎ 由，即 A+B+C=1800 ，，‎ 即，由A-C=900 得A=900+C ‎ 即 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎12.(2011年高考安徽卷江苏15)在△ABC中，角A、B、C所对应的边为 ‎（1）若 求A的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【解析】（1）因为 所以解得,即A的值为.‎ ‎（2）因为所以所以在△ABC中，由正弦定理得:,因为,所以 ‎,所以==,解得 又因为,所以,解得的值为.‎ ‎13．(2011年高考北京卷理科15)（本小题共13分）‎ ‎ 已知函数。‎ ‎ （Ⅰ）求的最小正周期：‎ ‎ （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。‎ 解：（Ⅰ）因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以的最小正周期为 ‎ （Ⅱ）因为 ‎ 于是，当时，取得最大值2；‎ ‎ 当取得最小值—1.‎ ‎14．(2011年高考福建卷理科16)（本小题满分13分）‎ 已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=。‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。‎ ‎【命题意图】本题考查等比数列的通项公式、前项和公式以及三角函数的最值问题，考查函数与方程思想和运算求解能力，是简单题.‎ ‎【解析】（I）由=3，=得，=，解得=，‎ ‎∴数列{}的通项公式=.‎ ‎（II）由（I）可知=，∴=3， ∴函数的最大值为3， ∴=3，‎ ‎∵在处取得最大值， ∴=1， 又∵0＜＜，∴=，‎ ‎∴=.‎ ‎【点评】本题题目简单，但将等比数列与三角函数结合给人以耳目一新的感觉. ‎