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  • 2021-05-13 发布

高考数学考点归纳之两直线的位置关系

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高考数学考点归纳之两直线的位置关系 一、基础知识 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 ①对于两条不重合的直线 l1,l2,若其斜率分别为 k1,k2,则有 l1∥l2⇔k1=k2. ②当直线 l1,l2 不重合且斜率都不存在时,l1∥l2. (2)两条直线垂直 ①如果两条直线 l1,l2 的斜率存在, 设为 k1,k2,则有 l1⊥l2⇔k1·k2=-1. ②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为 0 时,l1⊥l2. 2.两条直线的交点的求法 直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组 A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 的解. 3.三种距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|= x2-x12+y2-y12. (2)点到直线的距离公式 点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d=|Ax0+By0+C| A2+B2 . (3)两平行直线间的距离公式 两条平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离 d=|C1-C2| A2+B2 . 二、常用结论 (1)与直线 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直或平行的直线方程可设为: ①垂直:Bx-Ay+m=0; ②平行:Ax+By+n=0. (2)与对称问题相关的四个结论: ①点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y). ②点(x,y)关于直线 x=a 的对称点为(2a-x,y),关于直线 y=b 的对称点为(x,2b-y). ③点(x,y)关于直线 y=x 的对称点为(y,x),关于直线 y=-x 的对称点为(-y,-x). ④点(x,y)关于直线 x+y=k 的对称点为(k-y,k-x),关于直线 x-y=k 的对称点为(k +y,x-k). 考点一 两条直线的位置关系 [典例] 已知两直线 l1:mx+8y+n=0 和 l2:2x+my-1=0,试确定 m,n 的值,使 (1)l1 与 l2 相交于点 P(m,-1); (2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1. [解] (1)由题意得 m2-8+n=0, 2m-m-1=0, 解得 m=1, n=7. 即 m=1,n=7 时,l1 与 l2 相交于点 P(m,-1). (2)∵l1∥l2,∴ m2-16=0, -m-2n≠0, 解得 m=4, n≠-2 或 m=-4, n≠2. 即 m=4,n≠-2 或 m=-4,n≠2 时,l1∥l2. (3)当且仅当 2m+8m=0, 即 m=0 时,l1⊥l2. 又-n 8 =-1,∴n=8. 即 m=0,n=8 时,l1⊥l2,且 l1 在 y 轴上的截距为-1. [解题技法] 1..由一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1:A1x+B1y+C1=0(A21+B21≠0) l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0) l1 与 l2 垂直的充要条件 A1A2+B1B2=0 l1 与 l2 平行的充分条件 A1 A2 =B1 B2 ≠C1 C2 (A2B2C2≠0) l1 与 l2 相交的充分条件 A1 A2 ≠B1 B2 (A2B2≠0) l1 与 l2 重合的充分条件 A1 A2 =B1 B2 =C1 C2 (A2B2C2≠0) [题组训练] 1.已知直线 4x+my-6=0 与直线 5x-2y+n=0 垂直,垂足为(t,1),则 n 的值为( ) A.7 B.9 C.11 D.-7 解析:选 A 由直线 4x+my-6=0 与直线 5x-2y+n=0 垂直得,20-2m=0,m=10. 直线 4x+10y-6=0 过点(t,1),所以 4t+10-6=0,t=-1.点(-1,1)又在直线 5x-2y+n=0 上,所以-5-2+n=0,n=7. 2.(2019·保定五校联考)直线 l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,则“m=2” 是“l1∥l2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 C 由 l1∥l2 得-m(m-1)=1×(-2),得 m=2 或 m=-1,经验证,当 m=- 1 时,直线 l1 与 l2 重合,舍去,所以“m=2”是“l1∥l2”的充要条件,故选 C. 考点二 距离问题 [典例] (1)过点 P(2,1)且与原点 O 距离最远的直线方程为( ) A.2x+y-5=0 B.2x-y-3=0 C.x+2y-4=0 D.x-2y=0 (2)若两平行直线 l1:x-2y+m=0(m>0)与 l2:2x+ny-6=0 之间的距离是 5,则 m +n=( ) A.0 B.1 C.-2 D.-1 [解析] (1)过点 P(2,1)且与原点 O 距离最远的直线为过点 P(2,1)且与 OP 垂直的直线, 因为直线 OP 的斜率为1-0 2-0 =1 2 ,所以所求直线的斜率为-2,故所求直线方程为 2x+y-5 =0. (2)因为 l1,l2 平行,所以 1×n=2×(-2),1×(-6)≠2×m,解得 n=-4,m≠-3, 所以直线 l2:x-2y-3=0.又 l1,l2 之间的距离是 5,所以|m+3| 1+4 = 5,解得 m=2 或 m= -8(舍去),所以 m+n=-2,故选 C. [答案] (1)A (2)C [解题技法] 1.点到直线的距离的求法 可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式. 2.两平行线间的距离的求法 (1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的 距离. (2)利用两平行线间的距离公式. [题组训练] 1.已知点 P(2,m)到直线 2x-y+3=0 的距离不小于 2 5,则实数 m 的取值范围是 ________________. 解析:由题意得,点 P 到直线的距离为|2×2-m+3| 22+12 ≥2 5,即|m-7|≥10,解得 m≥17 或 m≤-3,所以实数 m 的取值范围是(-∞,-3]∪[17,+∞). 答案:(-∞,-3]∪[17,+∞) 2.如果直线 l1:ax+(1-b)y+5=0 和直线 l2:(1+a)x-y-b=0 都平行于直线 l3:x- 2y+3=0,则 l1,l2 之间的距离为________. 解析:因为 l1∥l3,所以-2a-(1-b)=0,同理-2(1+a)+1=0,解得 a=-1 2 ,b=0, 因此 l1:x-2y-10=0,l2:x-2y=0,d= |-10-0| 12+-22 =2 5. 答案:2 5 考点三 对称问题 [典例] 已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2). (1)求点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)求直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程. [解] (1)设 A′(x,y),再由已知得 y+2 x+1 ×2 3 =-1, 2×x-1 2 -3×y-2 2 +1=0, 解得 x=-33 13 , y= 4 13 , 所以 A′ -33 13 , 4 13 . (2)在直线 m 上取一点,如 M(2,0),则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在 m′上.设 对称点为 M′(a,b),则 2×a+2 2 -3×b+0 2 +1=0, b-0 a-2 ×2 3 =-1, 解得 M′ 6 13 ,30 13 .设 m 与 l 的交 点为 N,则由 2x-3y+1=0, 3x-2y-6=0, 得 N(4,3).又因为 m′经过点 N(4,3),所以由两点式得直线 m′方程为 9x-46y+102=0. [变透练清] 1.变结论在本例条件下,则直线 l 关于点 A(-1,-2)对称的直线 l′的方程为 ________________. 解析:法一:在 l:2x-3y+1=0 上任取两点, 如 M(1,1),N(4,3), 则 M,N 关于点 A 的对称点 M′,N′均在直线 l′上. 易知 M′(-3,-5),N′(-6,-7), 由两点式可得 l′的方程为 2x-3y-9=0. 法二:设 P(x,y)为 l′上任意一点, 则 P(x,y)关于点 A(-1,-2)的对称点为 P′(-2-x,-4-y), ∵P′在直线 l 上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即 2x-3y-9=0. 答案:2x-3y-9=0 2.(2019·合肥四校联考)已知入射光线经过点 M(-3,4),被直线 l:x-y+3=0 反射, 反射光线经过点 N(2,6),则反射光线所在直线的方程为________. 解析:设点 M(-3,4)关于直线 l:x-y+3=0 的对称点为 M′(a,b),则反射光线所在 直线过点 M′,所以 b-4 a--3 =-1, -3+a 2 -b+4 2 +3=0, 解得 a=1,b=0.又反射光线经过点 N(2,6), 所以所求直线的方程为y-0 6-0 =x-1 2-1 ,即 6x-y-6=0. 答案:6x-y-6=0 [解题技法] 1.中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点对称 若点 M(x1,y1)及 N(x,y)关于 P(a,b)对称,则由中点坐标公式得 x=2a-x1, y=2b-y1 进而 求解. (2)直线关于点对称 ①在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由 两点式求出直线方程; ②求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程; ③轨迹法,设对称直线上任一点 M(x,y),其关于已知点的对称点在已知直线上. 2.轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称 若两点 P1(x1,y1)与 P2(x2,y2)关于直线 l:Ax+By+C=0 对称, 由方程组 A×x1+x2 2 +B×y1+y2 2 +C=0, y2-y1 x2-x1 × -A B =-1, 可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标(x2, y2)(其中 B≠0,x1≠x2). (2)直线关于直线的对称 一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是 已知直线与对称轴平行. [课时跟踪检测] 1.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 垂直的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 解析:选 C 因为直线 x-2y-2=0 的斜率为1 2 , 所以所求直线的斜率 k=-2. 所以所求直线的方程为 y-0=-2(x-1), 即 2x+y-2=0. 2.已知直线 l1:2ax+(a+1)y+1=0 和 l2:(a+1)x+(a-1)y=0,若 l1⊥l2,则 a=( ) A.2 或1 2 B.1 3 或-1 C.1 3 D.-1 解析:选 B 因为直线 l1⊥l2,所以 2a(a+1)+(a+1)(a-1)=0,解得 a=1 3 或-1. 3.若点 P 在直线 3x+y-5=0 上,且 P 到直线 x-y-1=0 的距离为 2,则点 P 的坐 标为( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2) 解析:选 C 设 P(x,5-3x),则 d=|x-5+3x-1| 12+-12 = 2,化简得|4x-6|=2,即 4x-6= ±2,解得 x=1 或 x=2,故 P(1,2)或(2,-1). 4.(2018·揭阳一模)若直线 l1:x-3y+2=0 与直线 l2:mx-y+b=0 关于 x 轴对称,则 m+b=( ) A.1 3 B.-1 C.-1 3 D.1 解析:选 B 直线 l1:x-3y+2=0 关于 x 轴对称的直线为 x+3y+2=0.由题意知 m≠0. 因为 mx-y+b=0,即 x-y m +b m =0,且直线 l1 与 l2 关于 x 轴对称, 所以有 -1 m =3, b m =2, 解得 m=-1 3 , b=-2 3 , 则 m+b=-1 3 + -2 3 =-1. 5.点 A(1,3)关于直线 y=kx+b 对称的点是 B(-2,1),则直线 y=kx+b 在 x 轴上的截距 是( ) A.-3 2 B.5 4 C.-6 5 D.5 6 解析:选 D 由题意,知 3-1 1+2 ·k=-1, 2=k· -1 2 +b, 解得 k=-3 2 , b=5 4. ∴直线方程为 y=-3 2x+5 4 ,它在 x 轴上的截距为-5 4 × -2 3 =5 6.故选 D. 6.(2019·成都五校联考)已知 A,B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|, 若直线 PA 的方程为 x-y+1=0,则直线 PB 的方程是( ) A.2x+y-7=0 B.x+y-5=0 C.2y-x-4=0 D.2x-y-1=0 解析:选 B 由|PA|=|PB|得点 P 一定在线段 AB 的垂直平分线上,根据直线 PA 的方程 为 x-y+1=0,可得 A(-1,0),将 x=2 代入直线 x-y+1=0,得 y=3,所以 P(2,3),所 以 B(5,0),所以直线 PB 的方程是 x+y-5=0,选 B. 7.若动点 A,B 分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动,则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为( ) A.3 2 B.2 2 C.3 3 D.4 2 解析:选 A 依题意知 AB 的中点 M 的集合为与直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 距离都相等的直线,则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点 M 所在直线 的方程为 l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得|m+7| 2 =|m+5| 2 ⇒|m+7|=|m+5|⇒m= -6,即 l:x+y-6=0.根据点到直线的距离公式,得 M 到原点的距离的最小值为|-6| 2 =3 2. 8.已知点 A(1,3),B(5,-2),在 x 轴上有一点 P,若|AP|-|BP|最大,则 P 点坐标为 ( ) A.(3.4,0) B.(13,0) C.(5,0) D.(-13,0) 解析:选 B 作出 A 点关于 x 轴的对称点 A′(1,-3),则 A′B 所在直线方程为 x-4y -13=0.令 y=0 得 x=13,所以点 P 的坐标为(13,0). 9.经过两直线 l1:x-2y+4=0 和 l2:x+y-2=0 的交点 P,且与直线 l3:3x-4y+5 =0 垂直的直线 l 的方程为________. 解析:由方程组 x-2y+4=0, x+y-2=0 得 x=0,y=2,即 P(0,2).因为 l⊥l3,所以直线 l 的 斜率 k=-4 3 ,所以直线 l 的方程为 y-2=-4 3x,即 4x+3y-6=0. 答案:4x+3y-6=0 10.已知点 P1(2,3),P2(-4,5)和 A(-1,2),则过点 A 且与点 P1,P2 距离相等的直线方 程为________. 解析:当直线与点 P1,P2 的连线所在的直线平行时,由直线 P1P2 的斜率 k=3-5 2+4 =-1 3 , 得所求直线的方程为 y-2=-1 3(x+1),即 x+3y-5=0.当直线过线段 P1P2 的中点时,因为 线段 P1P2 的中点坐标为(-1,4),所以直线方程为 x=-1.综上所述,所求直线方程为 x+3y -5=0 或 x=-1. 答案:x+3y-5=0 或 x=-1 11.直线 x-2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线方程是________. 解析:由题意得直线 x-2y+1=0 与直线 x=1 的交点坐标为(1,1).又直线 x-2y+1=0 上的点(-1,0)关于直线 x=1 的对称点为(3,0),所以由直线方程的两点式,得y-0 1-0 =x-3 1-3 , 即 x+2y-3=0. 答案:x+2y-3=0 12.过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1:2x+y-8=0 和 l2:x-3y+10=0 截得的线段被 点 P 平分,则直线 l 的方程为________. 解析:设 l1 与 l 的交点为 A(a,8-2a), 则由题意知,点 A 关于点 P 的对称点 B(-a,2a-6)在 l2 上,把 B 点坐标代入 l2 的方程 得-a-3(2a-6)+10=0, 解得 a=4,即点 A(4,0)在直线 l 上, 所以由两点式得直线 l 的方程为 x+4y-4=0. 答案:x+4y-4=0 13.已知△ABC 的三个顶点是 A(1,1),B(-1,3),C(3,4). (1)求 BC 边的高所在直线 l1 的方程; (2)若直线 l2 过 C 点,且 A,B 到直线 l2 的距离相等,求直线 l2 的方程. 解:(1)因为 kBC=4-3 3+1 =1 4 ,又直线 l1 与 BC 垂直,所以直线 l1 的斜率 k=- 1 kBC =-4, 所以直线 l1 的方程是 y=-4(x-1)+1,即 4x+y-5=0. (2)因为直线 l2 过 C 点且 A,B 到直线 l2 的距离相等, 所以直线 l2 与 AB 平行或过 AB 的中点 M, 因为 kAB= 3-1 -1-1 =-1,所以直线 l2 的方程是 y=-(x-3)+4,即 x+y-7=0. 因为 AB 的中点 M 的坐标为(0,2), 所以 kCM=4-2 3-0 =2 3 ,所以直线 l2 的方程是 y=2 3(x-3)+4,即 2x-3y+6=0. 综上,直线 l2 的方程是 x+y-7=0 或 2x-3y+6=0.