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- 2021-05-13 发布
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2005年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学(理工农医类)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷 1至2页,第II卷3至9页,共150分。考试时间120分钟。考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷(选择题共40分)
注意事项:
1.答第I卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
一、本大题共8小题.每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
(1)设全集U=R,集合M={x| x>1,P={x| x2>1},则下列关系中正确的是
(A)M=P (B)PM (C)MP ( D)
(2)“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的
(A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件
(C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
(3)若,且,则向量与的夹角为
(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°
(4)从原点向圆 x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为
(A)π (B)2π (C)4π (D)6π
(5)对任意的锐角α,β,下列不等关系中正确的是
(A)sin(α+β)>sinα+sinβ (B)sin(α+β)>cosα+cosβ
(C)cos(α+β)0;④.
当f(x)=lgx时,上述结论中正确结论的序号是 .
(14)已知n次多项式,
如果在一种算法中,计算(k=2,3,4,…,n)的值需要k-1次乘法,计算的值共需要9次运算(6次乘法,3次加法),那么计算的值共需要 次运算.
下面给出一种减少运算次数的算法:(k=0, 1,2,…,n-1).利用该算法,计算的值共需要6次运算,计算的
值共需要 次运算.
三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(15)(本小题共13分)
已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,
(I)求f(x)的单调递减区间;
(II)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
(16)(本小题共14分)
如图, 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,DC=2,AA1=,AD⊥DC,AC⊥BD, 垂足未E,
(I)求证:BD⊥A1C;
(II)求二面角A 1-BD-C 1的大小;
(III)求异面直线 AD与 BC 1所成角的大小.
(17)(本小题共13分)
甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率,
(I)记甲击中目标的次数为ξ,求ξ的概率分布及数学期望Eξ;
(II)求乙至多击中目标2次的概率;
(III)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.
(18)(本小题共14分)
如图,直线 l1:y=kx(k>0)与直线l2:y=-kx之间的阴影区域(不含边界)记为W,其左半部分记为W1,右半部分记为W2.
(I)分别用不等式组表示W1和W2;
(II)若区域W中的动点P(x,y)到l1,l2的距离之积等于d2
,求点P的轨迹C的方程;
(III)设不过原点O的直线l与(II)中的曲线C相交于M1,M2两点,且与l1,l2分别交于M3,M4两点.求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合.
(19)(本小题共12分)
设数列{an}的首项a1=a≠,且,
记,n==l,2,3,…·.
(I)求a2,a3;
(II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;
(III)求.
(20)(本小题共14分)
设f(x)是定义在[0, 1]上的函数,若存在x*∈(0,1),使得f(x)在[0, x*]上单调递增,在[x*,1]上单调递减,则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数,x*为峰点,包含峰点的区间为含峰区间.
对任意的[0,l]上的单峰函数f(x),下面研究缩短其含峰区间长度的方法.
(I)证明:对任意的x1,x2∈(0,1),x1<x2,若f(x1)≥f(x2),则(0,x2)为含峰区间;若f(x1)≤f(x2),则(x*,1)为含峰区间;
(II)对给定的r(0<r<0.5),证明:存在x1,x2∈(0,1),满足x2-x1≥2r,使得由(I)所确定的含峰区间的长度不大于 0.5+r;
(III)选取x1,x2∈(0, 1),x1<x2,由(I)可确定含峰区间为(0,x2)或(x1,1),在所得的含峰区间内选取x3,由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间.在第一次确定的含峰区间为(0,x2)的情况下,试确定x1,x2,x3的值,满足两两之差的绝对值不小于0.02,且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.
(区间长度等于区间的右端点与左端点之差)
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学
(理工农医类)(北京卷)参考答案
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
(1) C (2)B (3)C (4)B (5)D (6)C (7)A (8)A
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
(9) (10)-;- (11)15 (12)(1, e);e
(13)②③ (14)n(n+3);2n
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
(15)(共13分)
解:(I) f ’(x)=-3x2+6x+9.令f ‘(x)<0,解得x<-1或x>3,
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).
(II)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,
所以f(2)>f(-2).因为在(-1,3)上f ‘(x)>0,所以f(x)在[-1, 2]上单调递增,又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,于是有 22+a=20,解得 a=-2.
故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此f(-1)=1+3-9-2=-7,
即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.
(16)(共14分)
(I)在直四棱柱ABCD-AB1C1D1中,
∵AA1⊥底面ABCD.∴ AC是A1C在平面ABCD上的射影.
∵BD⊥AC.∴ BD⊥A1C;
(II)连结A1E,C1E,A1 C1.
与(I)同理可证BD⊥A1E,BD⊥C1E,
∴ ∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角. ∵ AD⊥DC,∴ ∠A1D1C1=∠ADC=90°,
又A1D1=AD=2,D1C1= DC=2,AA1=且 AC⊥BD,
∴ A1C1=4,AE=1,EC=3,∴ A1E=2,C1E=2,
在△A1EC1中,A1C12=A1E2+C1E2, ∴ ∠A1EC1=90°,
即二面角A1-BD-C1的大小为90°.
(III)过B作 BF//AD交 AC于 F,连结FC1,
则∠C1BF就是AD与BC1所成的角. ∵ AB=AD=2, BD⊥AC,AE=1, ∴ BF=2,EF=1,FC=2,BC=DC,∴ FC1=,BC1=,
在△BFC1 中,,∴ ∠C1BF=
即异面直线AD与BC1所成角的大小为.
(17)(共13分)
解:(I)P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,
ξ
0
1
2
3
P
P(ξ=3)=,
ξ的概率分布如下表:
Eξ=, (或Eξ=3·=1.5);
(II)乙至多击中目标2次的概率为1-=;
(III)设甲恰比乙多击中目标2次为事件A,甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1,甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B2,则A=B1+B2,
B1,B2为互斥事件.
所以,甲恰好比乙多击中目标2次的概率为.
(18)(共14分)
解:(I)W1={(x, y)| kx0},
(II)直线l1:kx-y=0,直线l2:kx+y=0,由题意得
, 即,
由P(x, y)∈W,知k2x2-y2>0,
所以 ,即,
所以动点P的轨迹C的方程为;
(III)当直线l与x轴垂直时,可设直线l的方程为x=a(a≠0).由于直线l,曲线C关于x轴对称,且l1与l2关于x轴对称,于是M1M2,M3M4的中点坐标都为(a,0),所以△OM1M2,△OM3M4的重心坐标都为(a,0),即它们的重心重合,
当直线l1与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=mx+n(n≠0).
由,得
由直线l与曲线C有两个不同交点,可知k2-m2≠0且
△=>0
设M1,M2的坐标分别为(x1, y1),(x2, y2),
则, ,
设M3,M4的坐标分别为(x3, y3),(x4, y4),
由得
从而,
所以y3+y4=m(x3+x4)+2n=m(x1+x2)+2n=y1+y2,
于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合.
(19)(共12分)
解:(I)a2=a1+=a+,a3=a2=a+;
(II)∵ a4=a3+=a+, 所以a5=a4=a+,
所以b1=a1-=a-, b2=a3-=(a-), b3=a5-=(a-),
猜想:{bn}是公比为的等比数列·
证明如下:
因为bn+1=a2n+1-=a2n-=(a2n-1-)=bn, (n∈N*)
所以{bn}是首项为a-, 公比为的等比数列·
(III).
(20)(共14分)
(I)证明:设x*为f(x) 的峰点,则由单峰函数定义可知,f(x)在[0, x*]上单调递增,在[x*, 1]上单调递减.
当f(x1)≥f(x2)时,假设x*(0, x2),则x1f(x1),
这与f(x1)≥f(x2)矛盾,所以x*∈(0, x2),即(0, x2)是含峰区间.
当f(x1)≤f(x2)时,假设x*( x2, 1),则x*<≤x1f(x2),
这与f(x1)≤f(x2)矛盾,所以x*∈(x1, 1),即(x1, 1)是含峰区间.
(II)证明:由(I)的结论可知:
当f(x1)≥f(x2)时,含峰区间的长度为l1=x2;
当f(x1)≤f(x2)时,含峰区间的长度为l2=1-x1;
对于上述两种情况,由题意得
①
由①得 1+x2-x1≤1+2r,即x1-x1≤2r.
又因为x2-x1≥2r,所以x2-x1=2r, ②
将②代入①得
x1≤0.5-r, x2≥0.5-r, ③
由①和③解得 x1=0.5-r, x2=0.5+r.
所以这时含峰区间的长度l1=l1=0.5+r,即存在x1,x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r.
(III)解:对先选择的x1;x2,x1x3时,含峰区间的长度为x1.
由条件x1-x3≥0.02,得x1-(1-2x1)≥0.02,从而x1≥0.34.
因此,为了将含峰区间的长度缩短到0.34,只要取
x1=0.34,x2=0.66,x3=0.32.