高考新课标ii卷理科数学试题及答案 18页

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一.选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）已知集合M = {x | (x -1)2 < 4, x∈R}，N =｛-1, 0, 1, 2, 3｝，则M ∩ N =‎ ‎ （A）{0, 1, 2｝ （B）{-1, 0, 1, 2} （C）{-1, 0, 2, 3} （D）{0, 1, 2, 3}‎ ‎ 答案：A ‎【解】将N中的元素代入不等式：(x -1)2 < 4进行检验即可.‎ ‎（2）设复数z满足(1-i )z = 2 i ，则z =‎ ‎（A）-1+ i （B）-1- i （C）1+ i （D）1- i ‎ 答案：A ‎【解法一】将原式化为z = ,再分母实数化即可. 【解法二】将各选项一一检验即可.‎ ‎（3）等比数列{an}的的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1 =‎ ‎（A） 错误！未找到引用源。（B）- （C） （D）- ‎ 答案：C ‎【解】由S3 = a2 +10a1 ⇒ a3 = 9a1 ⇒ q2 = 9 ⇒ a1 = = ‎（4）已知m, n为异面直线，m⊥平面a，n⊥平面b . 直线l满足l⊥m，l⊥n，la，lb, 则：‎ ‎（A）a∥b且l∥a （B）a⊥b且l⊥b ‎ ‎（C）a与b 相交，且交线垂直于l （D）a与b 相交，且交线平行于l ‎ 答案：D ‎【解】显然a与b 相交，不然a∥b 时⇒ m∥n与m, n为异面矛盾. a与b 相交时，易知交线平行于l.‎ S = S+T 否 开始 k =1, S = 0,T =1‎ T= k > N 是 输出S 结束 输入N k= k +1‎ ‎（5）已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则a =‎ ‎（A）- 4 （B）- 3 ‎ ‎（C）- 2 （D）- 1‎ ‎ 答案：D ‎ ‎【解】x2的系数为5 ⇒C+ aC= 5 ⇒ a = - 1‎ ‎（6）执行右面的程序框图，如果输入的N =10，那么输出的S =‎ ‎（A）1+ + + … + 错误！未找到引用源。‎ ‎（B）1+ + + … + ‎（C）1+ + + … + 错误！未找到引用源。‎ ‎（D）1+ + + … + 答案：B ‎ ‎【解】变量T, S, k的赋值关系分别是：‎ Tn +1 = , Sn +1 = Sn + Tn +1, kn +1 = kn + 1.( k0 =1, T0 = 1, S0 = 0)‎ ‎⇒ kn = n + 1, Tn = ×× …××T0 = ××…× = ,‎ Sn = (Sn - Sn -1) + (Sn -1- Sn -2) + … + (S1- S0) + S0 = Tn + Tn -1 + … + T0 = 1+ + + … + 满足kn > N的最小值为k10 = 11，此时输出的S为S10 ‎ ‎（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1, 0, 1)，(1, 1, 0），(0, 1, 1），(0, 0, 0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为 ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎ 答案：A ‎【解】‎ ‎（8）设a = log 36，b = log 510，c = log 714，则 ‎（A）c > b > a （B）b > c > a （C）a > c > b （D）a > b > c 答案：D ‎ ‎【解】a = 1 + log 32，b = 1 + log 52，c = 1 + log 72‎ log 23 < log 25 < log 27 ⇒ log 32 > log 52 > log 72 ⇒ a > b > c ‎（9）已知a > 0，x, y满足约束条件 , 若z =2x + y的最小值为1，则a =‎ ‎（A） 错误！未找到引用源。（B） ‎ ‎（C）1 （D）2 答案：B ‎ ‎【解】如图所示，当z =1时，直线2x + y = 1与x = 1的交点C (1, -1) 即为最优解，此时a = kBC = ‎（10）已知函数f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + c，下列结论中错误的是 ‎ （A）$x0∈R, f (x0)= 0‎ ‎ （B）函数y = f (x )的图像是中心对称图形 ‎ （C）若x0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(-∞, x0)单调递减 ‎ （D）若x0是f (x )的极值点，则f '(x0 ) = 0‎ 答案：C ‎ ‎【解】f (x ) 的值域为(-∞, +∞), 所以（A）正确；‎ ‎ f (x ) = [x 3 + 3x 2• + 3x•( )2 + ( )3 ]+ bx - 3x•( )2 + c- ( )3 ‎ ‎ = (x + )3 + (b - )(x + ) + c- - 因为g (x ) = x 3 + (b - )x是奇函数，图像关于原点对称，‎ 所以f (x ) 的图像关于点(- , c- - )对称.‎ 所以（B）正确；‎ 显然（C）不正确；（D）正确.‎ ‎（11）设抛物线C：y2 =2px ( p > 0)的焦点为F，点M在C上，| MF |=5，若以MF为直径的圆过点(0, 2)，则C的方程为 ‎（A）y2 = 4x或y2 = 8x （B）y2 = 2x或y2 = 8x ‎（C）y2 = 4x或y2 = 16x （D）y2 = 2x或y2 = 16x 答案：C ‎ ‎【解】设M(x0, y0)，由| MF |=5 ⇒ x0 + = 5 ⇒ x0 = 5 - 圆心N(+ , )到y轴的距离| NK | = + = | MF |，则 圆N与y轴相切，切点即为K(0, 2)，且NK与y轴垂直⇒ y0 = 4‎ ‎⇒2p(5 - ) = 16 ⇒ p = 2或8 .‎ ‎（12）已知点A(-1, 0)，B(1, 0)，C(0, 1)，直线y = ax +b (a > 0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是：‎ ‎（A）(0, 1) （B）(1- 错误！未找到引用源。, ) （C）(1- 错误！未找到引用源。, ] (D) [ , )‎ 答案：B ‎ ‎【解】情形1：直线y = ax +b与AC、BC相交时，如图所示，设MC = m, NC = n, ‎ 由条件知S△MNC = ⇒ mn = 1‎ 显然0 < n ≤ ⇒ m = ≥ 错误！未找到引用源。又知0 < m ≤, m ≠ n 所以错误！未找到引用源。≤ m ≤ 且m ≠ 1‎ D到AC、BC的距离为t, 则+ = + = 1‎ ‎⇒ t = ⇒= m + f (m ) = m + (错误！未找到引用源。≤ m ≤ 且m ≠ 1)的值域为(2, ] ⇒ 2 < ≤⇒ ≤ t < ‎ 因为b =1- CD =1- t ，所以1- 错误！未找到引用源。< b ≤ 情形2：直线y = ax +b与AB、BC相交时，如图所示，‎ 易求得xM = - , yN = ,由条件知(1+ ) = 1‎ ‎⇒ = a M在线段OA上⇒0< <1 ⇒0 < a < b N在线段BC上⇒0< <1 ⇒b < 1‎ 解不等式：0 < < b得 < b < 综上：1- 错误！未找到引用源。< b < 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则• = .‎ 答案：2 ‎ ‎【解】建立如图所示的坐标系，则= (1, 2)，= (-2, 2)，则 • = 2‎ ‎（14）从n个正整数1, 2, …, n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为 错误！未找到引用源。，则n = .‎ 答案：8 ‎ ‎【解】事件A：取出的两数之和等于5，‎ ① n = 3 时, n(A) =1由P(A) = ⇒n(W) = 14 ⇒ C= 14 ⇒n(n - 1) =28(无解)‎ ② n > 3时, n(A) = 2由P(A) = ⇒n(W) = 28 ⇒ C= 28 ⇒n(n - 1) = 56 ⇒n = 8‎ ‎（15）设q 为第二象限角，若tan(q + ) = ，则sinq + cosq = .‎ 答案：- ‎【解法一】由q 为第二象限角及tan(q + ) = > 0⇒q + 为第三象限角，在q + 的终边上取一点P(-2, -1)，易得sin(q + ) = - ⇒ sinq + cosq = sin(q + ) = - ‎（16）等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10 = 0，S15 = 25，则nSn 的最小值为 .‎ 答案：- 49‎ ‎【解法一】由S10 = 0，S15 = 25 ⇒ a1 = -3，公差d = ，‎ ‎⇒ Sn = n(n - 10)‎ 将Sn是关于n的函数，其图像关于n = 5对称，n < 10时，Sn < 0，n > 10时，Sn > 0，‎ 所以nSn的最小值应在n = 5, 6, 7, 8, 9中产生，代入计算得n = 7时nSn最小，最小值为- 49.‎ ‎【解法二】同解法一得：Sn = n(n - 10)‎ 设f (n ) = nSn = (n3- 10n)‎ f '(n ) = n(n - )，靠近极小值点n = 的整数为6和7，代入f (n )计算得n = 7时f (n )最小，最小值为- 49.‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ ‎△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a = bcosC + csinB.‎ ‎（Ⅰ）求B；‎ ‎（Ⅱ）若b =2，求△ABC面积的最大值.‎ ‎【解】（Ⅰ）由a = bcosC + csinB ⇒ sin A = sinBcosC + sinCsinB ⇒ sin (B+C) = sinBcosC + sinCsinB ‎ ⇒ cosB = sinB ‎ ⇒ B = ‎（Ⅱ）由余弦定理得：a2 +c2 - ac = 4 ⇒ 4+ac = a2 +c2 ≥ 2ac ⇒ ac ≤ = = 2(2 + )‎ ‎△ABC面积S = ac ≤ 1 + .‎ 所以△ABC面积的最大值为1 + .‎ ‎（18）如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1 = AC = CB = AB.‎ ‎（Ⅰ）证明：BC1 //平面A1CD ‎（Ⅱ）求二面角D-A1C-E的正弦值 ‎【解】（Ⅰ）设AC1 ∩ A1C = F ⇒ BC1 //DF，DF⊆平面A1CD，BC1平面A1CD ‎⇒ BC1 //平面A1CD.‎ ‎（Ⅱ）解法一：由AA1 = AC = CB = AB ⇒ AA1∶BD = AD∶BE ‎⇒Rt△A1AD∽Rt△BDE ⇒ ∠A1DA = ∠BED ⇒∠A1DA +∠BDE = 90o ⇒ED⊥A1D ⇒ CD⊥平面ABB1A1 ⇒ CD⊥DE ‎⇒ED⊥平面A1CD 作DG⊥A1C交A1C于G, 则EG⊥A1C，所以∠DGE为所求二面角的平面角.‎ CD⊥平面ABB1A1 ⇒ CD⊥A1D ⇒A1C•DG = CD•A1D 设AA1 = 2a ⇒A1C = 2a，CD = a，A1D = a，‎ ‎⇒DG = = a，DE = a ⇒EG = a ‎⇒sin∠DGE = = ‎（Ⅱ）解法二：由AC = CB = AB ⇒AC2 + CB2 = AB2 ⇒AC⊥BC，建立如图所示的坐标系，设AA1 = 2，则 = (2, 0, 2)， = (1, 1, 0)， = (0, 2, 1)，‎ 设m = (x1, y1, z1)是平面A1DC的法向量，则⇒ 可取m = (-1, 1, 1)‎ 同理设n = (x2, y2, z2)是平面A1EC的法向量，则⇒ 可取n = (2, 1, -2)，‎ cos< m, n> = = ⇒ sin< m, n> = 所以二面角D-A1C-E的正弦值为 ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎ 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品。以X（单位：t，100 ≤ X ≤ 150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.‎ ‎（Ⅰ）将T表示为X的函数；‎ ‎（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；‎ ‎（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个需求量，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若X∈[100,110),则取X = 105，且X = 105的概率等于需求量落入[100，110)的概率，求T的数学期望.‎ ‎【解】（Ⅰ）当X ∈[100,130)时，T = 500X - 300(130 - X ) = 800X - 39000‎ 当X ∈[130,150]时，T = 500×130 = 65000‎ 所以T = ‎（Ⅱ）与由（Ⅰ）知T ≥ 57000 Û 120 ≤ X ≤150‎ 由直方图知：120 ≤ X ≤150的概率为10(0.030+0.025+0.015) = 0.7‎ 所以利润T不少于57000元的概率为0.7‎ ‎（Ⅲ）T可能的取值有T1 = 800×105 - 39000 = 45000, T2 = 800×115 - 39000 = 53000,‎ T3 = 800×125 - 39000 = 61000, T4 = 65000‎ T的分布列如下：‎ T ‎45000‎ ‎53000‎ ‎61000‎ ‎65000‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ 所以ET = 45000×0.1 + 53000×0.2 + 61000×0.3 + 65000×0.4 = 59400‎ 所以T的数学期望为59400‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ 平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： =1(a > b > 0)的右焦点的直线x + y - = 0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 .‎ ‎（Ι）求M的方程 ‎（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD的面积最大值.‎ ‎【解】（Ⅰ）设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2)，P (x 0, y 0) ‎ ‎⇒⇒ = - ⇒ kAB = - OP的斜率为 ⇒ = 2，直线x + y - = 0的斜率为-1 ⇒ kAB =-1‎ ‎⇒-1= - ⇒ a2 = 2b2 ……①‎ 由题意知直线x + y - = 0与x轴的交点F(，0)是椭圆的右焦点，则才c = ‎⇒a2 - b2 = 3 ……②‎ 联立解得①、②解得a2 = 6，b2 = 3‎ 所以M的方程为：+ = 1‎ ‎（Ⅱ）联立方程组，解得A(, - )、B(0, )，求得| AB | = 依题意可设直线CD的方程为：y = x + m CD与线段AB相交⇒ - < m < 联立方程组 消去x得：3x 2 + 4mx +2m2 - 6 = 0 …… (*)‎ 设C (x 3, y 3)，D (x 4, y 4)，则| CD |2 = 2(x 3 - x 4)2 = 2[(x 3 + x 4)2 - 4x 3x 4]= (9 - m2)‎ 四边形ACBD的面积S = | AB |• | CD | = 当n = 0时，S最大，最大值为.‎ 所以四边形ACBD的面积最大值为.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数f (x ) = - ln(x + m)‎ ‎（Ι）设x = 0是f (x )的极值点，求m，并讨论f (x )的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当m ≤2时，证明f (x ) > 0 .‎ ‎【解】（Ⅰ）f '(x ) = - x = 0是f (x )的极值点 ⇒ f '(0) = 0 ⇒ m = 1.‎ 此时，f '(x ) = - 在(-1, +∞)上是增函数，又知f '(0) = 0，‎ 所以x ∈(-1, 0)时, f '(x ) < 0；x ∈(0, +∞)时, f '(x ) > 0.‎ 所以f (x )在(-1, 0)上是减函数，在(0, +∞) 上是增函数.‎ ‎（Ⅱ）如图所示，当m ≤2时，x + 1≥x + m - 1‎ 只需证明≥x + 1，且ln(x + m) ≤x + m - 1‎ 再指出“=”不能成立即可.‎ 设g (x ) = - (x +1)，g '(x ) = - 1‎ x1 = 0是g (x )的极小值点，也是最小值点，即 g (x ) ≥ g (0) = 0 ⇒≥x + 1‎ 设h (x ) = ln(x + m) - (x + m - 1)‎ h '(x ) = - 1‎ x2 = 1- m是h (x )的极大值点，也是最大值点，即 g (x ) ≤ h (1- m) = 0 ⇒ ln(x + m) ≤x + m - 1‎ ‎⇒≥ln(x + m) ⇒f (x ) ≥ 0，“=”成立的条件是：x1 = x2 且x + 1 = x + m - 1‎ 即m =1且m =2（矛盾）‎ 所以f (x ) > 0‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 ‎ 如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD 于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，‎ 且BC•AE = DC•AF，B、E、F、C四点共圆.‎ ‎（Ι）证明：CA是△ABC外接圆的直径；‎ ‎（Ⅱ）若DB =BE = EA，求过B、E、F、C四点的圆 的面积与△ABC外接圆面积的比值。 ‎ ‎【解】（Ⅰ）CD为△ABC外接圆的切线 ⇒∠BCD = ∠A，‎ BC•AE = DC•AF ⇒= ，则△BCD ∽ △AEF ⇒∠CBD =∠AFE B、E、F、C四点共圆 ⇒∠CBD =∠CFE ⇒∠AFE =∠CFE = 90o ‎⇒∠CBD = 90o ⇒∠CBA = 90o ⇒CA是△ABC外接圆的直径.‎ ‎（Ⅱ）连结CE，由∠CBA = 90o知CE为过B、E、F、C四点的圆的直径，设BD = a，在直角三角形ACD中，BC2 = BD•BA = 2a2‎ ‎ BD =BE ⇒CE2 =DC2 = BD2 +BC2 = 3a2 ‎ ‎ AC2 =AD•AB = 6a2‎ 所以两圆的面积之比为 = .‎ ‎ （23）（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程 已知动点P，Q都在曲线C：(t是参数)上，对应参数分别为t =a 与t =2a (0 10时，结束循环，共执行10次．‎ 所以输出S＝1＋＋＋…＋.‎ ‎7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,1,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为(　　)‎ 答案　A 解析　在空间直角坐标系中，先画出四面体O－ABC的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图，所以选A.‎ ‎8．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)‎ A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c 答案　D 解析　设a＝log36＝1＋log32＝1＋，b＝log510＝1＋log52＝1＋，c＝log714＝1＋log72＝1＋，显然a>b>c.‎ ‎9．已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ 答案　B 解析　由有x＝1，y＝－1，代入y＝a(x－3)得a＝.‎ ‎10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(　　)‎ A．∃x0∈R，f(x0)＝0‎ B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形 C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0‎ 答案　C 解析　若c＝0，则有f(0)＝0，所以A正确．由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c得f(x)－c＝x3＋ax2＋bx，因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的对称中心为(0,0)，所以f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的对称中心为(0，c)，所以B正确．由三次函数的图象可知，若x0是f(x)的极小值点，则极大值点在x0的左侧，所以函数在区间(－∞，x0 )单调递减是错误的，D正确．选C.‎ ‎11．设抛物线C：y2＝2px(p≥0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(　　)‎ A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 答案　C 解析　由题意知：F，抛物线的准线方程为x＝－，则由抛物线的定义知，xM＝5－，设以MF为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为2＋2＝，又因为圆过点(0,2)，所以yM＝4，又因为点M在C上，所以16＝2p，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.‎ ‎12．已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(　　)‎ A．(0,1) B. C. D. 答案　B 二、填空题 ‎13．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.‎ 答案　2‎ 解析　由题意知：·＝(＋)·(－)＝(＋)·(－)＝2－·－2＝4－0－2＝2.‎ ‎14．从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝________.‎ 答案　8‎ 解析　由题意，取出的两个数只可能是1与4,2与3这两种情况，∴在n个数中任意取出两个不同的数的总情况应该是C＝＝2÷＝28，∴n＝8.‎ ‎15．设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________.‎ 答案　－ 解析　∵tan＝，∴tan θ＝－，‎ 即解得sin θ＝，cos θ＝－.‎ ‎∴sin θ＋cos θ＝－.‎ ‎16．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．‎ 答案　－49‎ 解析　由题意知a1＋a10＝0，a1＋a15＝.‎ 两式相减得a15－a10＝＝5d，‎ ‎∴d＝，a1＝－3.‎ ‎∴nSn＝n·＝＝f(n)，‎ f′(n)＝n(3n－20)．‎ 由函数的单调性知f(6)＝－48，f(7)＝－49.‎ ‎∴nSn的最小值为－49.‎ 三、解答题 ‎17．△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．‎ 解　(1)由已知及正弦定理得 sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B，①‎ 又A＝π－(B＋C)，‎ 故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②‎ 由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.‎ 又B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.‎ 由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos .‎ 又a2＋c2≥2ac，故ac≤，‎ 当且仅当a＝c时，等号成立．‎ 因此△ABC面积的最大值为＋1.‎ ‎18．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.‎ ‎(1)证明：BC1∥平面A1CD；‎ ‎(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．‎ ‎(1)证明　连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．‎ 又D是AB的中点，连结DF，则BC1∥DF.‎ 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，‎ 所以BC1∥平面A1CD.‎ ‎(2)解　由AC＝CB＝AB得，AC⊥BC.‎ 以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.‎ 设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，‎ ＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)．‎ 设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，‎ 则即可取n＝(1，－1，－1)．‎ 同理，设m是平面A1CE的法向量，‎ 则可取m＝(2,1，－2)．‎ 从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.‎ 即二面角D－A1C－E的正弦值为.‎ ‎19．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1‎ ‎ t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位： t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．‎ ‎(1)将T表示为X的函数；‎ ‎(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；‎ ‎(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若x∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的T的数学期望．‎ 解　(1)当X∈[100,130)时，‎ T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000.‎ 当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.‎ 所以T＝ ‎(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.‎ 由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.‎ ‎(3)依题意可得T的分布列为 ‎ ‎ T ‎45 000‎ ‎53 000‎ ‎61 000‎ ‎65 000‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ 所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.‎ ‎20．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.‎ ‎(1)求M的方程；‎ ‎(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形的最大值．‎ 解　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＋＝1①‎ ＋＝1②‎ ‎①－②，得＋＝0.‎ 因为＝－1，设P(x0，y0)，‎ 因为P为AB的中点，且OP的斜率为，‎ 所以y0＝x0，即y1＋y2＝(x1＋x2)．‎ 所以可以解得a2＝2b2，即a2＝2(a2－c2)，即a2＝2c2，‎ 又因为c＝，所以a2＝6，‎ 所以M的方程为＋＝1.‎ ‎(2)因为CD⊥AB，直线AB方程为x＋y－＝0，‎ 所以设直线CD方程为y＝x＋m，‎ 将x＋y－＝0代入＋＝1得：‎ ‎3x2－4x＝0，即A(0，)，B，‎ 所以可得|AB|＝；‎ 将y＝x＋m代入＋＝1得：‎ ‎3x2＋4mx＋2m2－6＝0，‎ 设C(x3，y3)，D(x4，y4)，‎ 则|CD|＝＝，‎ 又因为Δ＝16m2－12(2m2－6)>0，即－30.‎ ‎(1)解　f(x)＝ex－ln(x＋m)⇒f′(x)＝ex－⇒f′(0)＝e0－＝0⇒m＝1，‎ 定义域为{x|x>－1}，‎ f′(x)＝ex－＝，‎ 显然f(x)在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．‎ ‎(2)证明　令g(x)＝ex－ln(x＋2)，‎ 则g′(x)＝ex－(x>－2)．‎ h(x)＝g′(x)＝ex－(x>－2)⇒h′(x)＝ex＋>0，‎ 所以h(x)是增函数，h(x)＝0至多只有一个实数根，‎ 又g′(－)＝－<0，g′(0)＝1－>0，‎ 所以h(x)＝g′(x)＝0的唯一实根在区间内，‎ 设g′(x)＝0的根为t，则有g′(t)＝et－＝0，所以，et＝⇒t＋2＝e－t，‎ 当x∈(－2，t)时，g′(x)g′(t)＝0，g(x)单调递增；‎ 所以g(x)min＝g(t)＝et－ln(t＋2)＝＋t＝>0，‎ 当m≤2时，有ln(x＋m)≤ln(x＋2)，‎ 所以f(x)＝ex－ln(x＋m)≥ex－ln(x＋2)＝g(x)≥g(x)min>0.‎ ‎22．[选修4－1]几何证明选讲 如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B、E、F、C四点共圆．‎ ‎(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；‎ ‎(2)若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．‎ ‎(1)证明　因为CD为△ABC外接圆的切线，‎ 所以∠DCB＝∠A，由题设知＝，‎ 故△CDB∽△AEF，‎ 所以∠DBC＝∠EFA.‎ 因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，‎ 故∠EFA＝∠CFE＝90°.‎ 所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．‎ ‎(2)解　连结CE，因为∠CBE＝90°，‎ 所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，‎ 由DB＝BE，有CE＝DC，‎ 又BC2＝DB·BA＝2DB2，‎ 所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.‎ 而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.‎ ‎23．[选修4－4]坐标系与参数方程 已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0<α<2π)，M为PQ的中点．‎ ‎(1)求M的轨迹的参数方程；‎ ‎(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．‎ 解　(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，‎ 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．‎ M的轨迹的参数方程为(α为参数，0<α<2π)．‎ ‎(2)M点到坐标原点的距离d＝＝(0<α<2π)．‎ 当α＝π，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．‎ ‎24．[选修4－5]不等式选讲 设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：‎ ‎(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.‎ 证明　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.‎ 由题设得(a＋b＋c)2＝1，‎ 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.‎ 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.‎ ‎(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，‎ 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，‎ 即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.‎