高考数学试题分类汇编概率与统计 35页

‎2009年高考数学试题分类汇编——概率与统计 一、选择题 ‎1.(2009山东卷理)某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 ‎ 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品‎96 98 100 102 104 106 ‎ ‎0.150 ‎ ‎0.125 ‎ ‎0.100 ‎ ‎0.075 ‎ ‎0.050 ‎ 克 ‎ 频率/组距 ‎ 第8题图 ‎ 净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),‎ ‎[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于 ‎100克的个数是36，则样本中净重大于或等于‎98克并且 小于104克的产品的个数是( ).‎ A.90 B‎.75 C. 60 D.45‎ ‎【解析】:产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300, ‎ 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为,‎ 则,所以,净重大于或等于98克并且小于 ‎104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本 中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 ‎120×0.75=90.故选A.‎ 答案:A ‎【命题立意】:本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有关的数据.‎ ‎2.(2009山东卷理)在区间[-1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或∴或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A.‎ 答案:A ‎【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值 的范围,再由长度型几何概型求得.‎ ‎3.(2009山东卷文)在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】:在区间 上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到之间,需使或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A. ‎ 答案:A ‎【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值的范围,再由长度型几何概型求得.‎ ‎4.（2009安徽卷理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ A B C D E F ‎[解析] 如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 ‎6个点中任意选两个点连成直线，共有 种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有 ‎ ‎ 共12对，所以所求概率为，选D ‎5.（2009安徽卷文）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于 ‎ ‎ A.1 B. C. D. 0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有个.由正方体各中心的对称性可得任取三个点必构成等边三角形,故概率为1，选A。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】A ‎6.（2009江西卷文）甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 A． B． C． D．‎ 答案：D ‎【解析】所有可能的比赛分组情况共有种，甲乙相遇的分组情况恰好有6种，故选. ‎ ‎7.（2009江西卷理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐种卡片可获奖，现购买该种食品袋，能获奖的概率为 A． B． C． D． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 答案：D ‎【解析】故选D ‎8.（2009四川卷文）设矩形的长为，宽为，其比满足∶＝，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：‎ 甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639‎ 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620‎ 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是 ‎ A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近 ‎ B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近 ‎ C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 ‎ D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613‎ ‎9.（2009宁夏海南卷理）对变量x, y 有观测数据理力争（，）（i=1,2,…‎ ‎，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。‎ ‎（A）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 ‎（C）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 解析：由这两个散点图可以判断,变量x 与y 负相关，u 与v 正相关,选C ‎10.（2009辽宁卷文）ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【解析】长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为 ‎ 因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2＝‎ ‎ 取到的点到O的距离大于1的概率为 ‎【答案】B ‎11.（2009四川卷文）设矩形的长为，宽为，其比满足∶＝，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：‎ 甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639‎ 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620‎ 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是 ‎ A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近 ‎ B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近 ‎ C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 ‎ D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613‎ ‎【备考提示】用以上各数据与0.618（或0.6）的差进行计算，以减少 ‎ 计算量，说明多思则少算。‎ ‎12.（2009陕西卷文）某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 ‎（A）9 （B）18 （C）27 (D) 36‎ 答案B. ‎ ‎ 解析:由比例可得该单位老年职工共有90人，用分层抽样的比例应抽取18人.‎ ‎13.（2009福建卷文）一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表 组别 ‎ ‎ 频数 ‎12‎ ‎13‎ ‎24‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎13‎ ‎7‎ 则样本数据落在上的频率为 A. 0.13‎‎ B. ‎0.39 ‎‎ C. 0.52 D. 0.64‎ 解析 由题意可知频数在的有：13+24+15=52，由频率=频数总数可得0.52.故选C.‎ ‎14.（2009年上海卷理）若事件与相互独立，且，则的值等于 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】＝＝‎ ‎15.（2009年上海卷理）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”‎ ‎。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 ‎（A）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 ‎ ‎（C）丙地：中位数为2，众数为3 （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故答案选D.‎ 二、填空题 ‎1.(2009年广东卷文)某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人. ‎ ‎ 图 2‎ ‎【答案】37, 20‎ ‎【解析】由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.‎ ‎ 40岁以下年龄段的职工数为,则应抽取的人数为人.‎ ‎2.（2009广东卷理）已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则 ， ．‎ ‎【解析】由题知，，，解得，.‎ ‎3.（2009浙江卷文）某个容量为的样本的频率分布直方图如下，则在区间上的数据的频数为 ．‎ ‎30【命题意图】此题考查了频率分布直方图，通过设问既考查了设图能力，也考查了运用图表解决实际问题的水平和能力 ‎【解析】对于在区间的频率/组距的数值为，而总数为100，因此频数为30 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎4.（2009安徽卷理）若随机变量，则=________.‎ ‎[解析] ‎ ‎5.（2009安徽卷文）从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________。‎ ‎【解析】依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况:‎ ‎2、3、4或3、4、5或2、4、5，故=0.75. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【答案】0.75‎ ‎6.（2009江苏卷）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差‎0.3m的概率为 . ‎ ‎【解析】 考查等可能事件的概率知识。 ‎ 从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差‎0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2。‎ ‎7.（2009江苏卷）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表： ‎ 学生 ‎1号 ‎2号 ‎3号 ‎4号 ‎5号 甲班 ‎6‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎7‎ 乙班 ‎6‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ 则以上两组数据的方差中较小的一个为= . ‎ ‎【解析】 考查统计中的平均值与方差的运算。‎ 甲班的方差较小，数据的平均值为7，‎ 故方差 ‎ ‎8.（2009辽宁卷理）‎ 某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 h.‎ ‎【解析】＝1013‎ ‎【答案】1013‎ ‎9.（2009湖北卷文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 。‎ ‎【答案】0.24 0.76‎ ‎【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标为1-0.24=0.76‎ ‎10.（2009湖北卷文）下图是样本容量为200的频率分布直方图。 ‎ 根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在【6，10】内的频数为 ，数据落在（2，10）内的概率约为 。 ‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】观察直方图易得频数为,频率为 ‎11.（2009湖南卷文） 一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为 120 .‎ 解: 设总体中的个体数为，则 ‎12.(2009湖南卷理)一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个数数位 50 。‎ ‎【答案】：40‎ ‎【解析】由条件易知层中抽取的样本数是2，设层总体数是，则又由层中甲、乙都被抽到的概率是=，可得，所以总体中的个数是 ‎13.（2009天津卷理）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生。‎ ‎【考点定位】本小题考查分层抽样，基础题。‎ 解析：C专业的学生有，由分层抽样原理，应抽取名。‎ ‎14.（2009福建卷文）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为 。‎ 解析解析：如图可设,则,根据几何概率可知其整体事件是其周长，则其概率是。w。w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎ ‎15.（2009上海卷文）若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】因为只有2名女生，所以选出3人中至少有一名男生，当选出的学生全是男生时有：，概率为:：，所以，均不少于1名的概率为：1－。‎ ‎16.（2009重庆卷文）5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 种（用数字作答）．‎ ‎【答案】72‎ 解析可恩两个步骤完成，第一步骤先排除甲乙外的其他三人，有种，第二步将甲乙二人插入前人形成的四个空隙中，有种，则甲、乙两不相邻的排法有种。‎ ‎17．（2009重庆卷文）从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127则该样本标准差 （克）（用数字作答）．‎ ‎【答案】2‎ 解析因为样本平均数，则样本方差所以 ‎18.(2009湖北卷理)样本容量为200的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在内的频数为 ，数据落在内的概率约为 .‎ ‎【答案】64 0.4‎ ‎【解析】由于在范围内频数、组距是0.08，所以频率是0.08*组距=0.32，而频数=频率*样本容量，所以频数=（0.08*4）*200=64‎ 同样在范围内的频数为16，所以在范围内的频数和为80，概率为80/200=0.4‎ 三、解答题 ‎1.(2009年广东卷文)（本小题满分13分）‎ 随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.‎ ‎(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;‎ ‎(2)计算甲班的样本方差 ‎(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于‎173cm的同学,求身高为‎176cm的同学被抽中的概率.‎ ‎【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于 之间。因此乙班平均身高高于甲班;‎ ‎ (2) ‎ ‎ 甲班的样本方差为 ‎ ＝57‎ ‎ （3）设身高为‎176cm的同学被抽中的事件为A；‎ ‎ 从乙班10名同学中抽中两名身高不低于‎173cm的同学有：（181，173） （181，176）‎ ‎ （181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173）‎ ‎ (178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；‎ ‎ ；‎ ‎2.（2009广东卷理）（本小题满分12分）‎ 根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：‎ 对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间，，，，，进行分组，得到频率分布直方图如图5. ‎ ‎（1）求直方图中的值； ‎ ‎（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；‎ ‎（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.‎ ‎（结果用分数表示．已知，， ，）‎ 解：（1）由图可知，解得；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为.‎ ‎3.（2009浙江卷理）（本题满分14分）在这个自然数中，任取个数．‎ ‎ （I）求这个数中恰有个是偶数的概率；‎ ‎ （II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数 和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．‎ 解析：（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（II）随机变量的取值为的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以的数学期望为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎4.（2009北京卷文）（本小题共13分）‎ 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.‎ ‎（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；‎ ‎（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率. ‎ ‎【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.‎ ‎（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.‎ ‎（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min为事件B，这名学生在上学路上遇到次红灯的事件.‎ ‎ 则由题意，得，‎ ‎.‎ 由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，‎ ‎∴事件B的概率为.‎ ‎5.（2009北京卷理）（本小题共13分）‎ 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.‎ ‎（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；‎ ‎（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.‎ ‎【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.‎ ‎（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.‎ ‎（Ⅱ）由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.‎ 事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4），‎ ‎∴，‎ ‎∴即的分布列是 ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎∴的期望是.‎ ‎6.(2009山东卷理)(本小题满分12分)‎ ‎ 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q为0.25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎2 ‎ ‎ 3 ‎ ‎ 4 ‎ ‎ 5 ‎ ‎ p ‎ ‎0.03 ‎ ‎ P1 ‎ ‎ P2 ‎ P3 ‎ P4 ‎ （1） 求q的值； ‎ （2） 求随机变量的数学期望E;‎ （3） 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。‎ 解:（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,, P(B)= q,.‎ 根据分布列知: =0时=0.03,所以，q=0.8.‎ ‎（2）当=2时, P1= ‎ ‎=0.75 q( )×2=1.5 q( )=0.24‎ 当=3时, P2 ==0.01,‎ 当=4时, P3==0.48,‎ 当=5时, P4=‎ ‎=0.24‎ 所以随机变量的分布列为 ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎2 ‎ ‎ 3 ‎ ‎ 4 ‎ ‎ 5 ‎ ‎ p ‎ ‎0.03 ‎ ‎ 0.24 ‎ ‎ 0.01 ‎ ‎0.48 ‎ ‎0.24 ‎ 随机变量的数学期望 ‎（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为 ‎;‎ 该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.‎ 由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.‎ ‎【命题立意】:本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力.‎ ‎7.(2009山东卷文)（本小题满分12分）‎ ‎ 一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):‎ 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 ‎100‎ ‎150‎ z 标准型 ‎300‎ ‎450‎ ‎600‎ 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.‎ （1） 求z的值. ‎ （2） 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;‎ （3） 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.‎ 解: (1).设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,,所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400‎ ‎(2) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为.‎ ‎(3)样本的平均数为,‎ 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为.‎ ‎【命题立意】:本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题.要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答.‎ ‎8.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）‎ 某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。‎ ‎（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；‎ ‎（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；‎ ‎（Ⅲ）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解析：本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第二问注意要用组合公式得出概率，第三问关键是理解清楚题意以及恰有2名男工人的具体含义，从而正确分类求概率。‎ 解：（I）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人。‎ ‎（II）记表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则 ‎ ‎ ‎（III）表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有名男工人，‎ ‎ 表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有名男工人，‎ ‎ 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 与独立， ，且 故 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎9.（2009全国卷Ⅰ理）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎ 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。‎ ‎ （I）求甲获得这次比赛胜利的概率；‎ ‎ （II）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求得分布列及数学期望。‎ 分析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。‎ 需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。‎ 另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。‎ ‎10.（2009安徽卷理）（本小题满分12分）‎ ‎ 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值（即数学期望）.‎ 本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。本小题满分12分。‎ 解：随机变量X的分布列是 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的均值为 附：X的分布列的一种求法 共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是：‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎⑤‎ ‎⑥‎ A—B—C—D A—B—C ‎└D A—B—C ‎└D A—B—D ‎└C A—C—D ‎└B 在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人。‎ ‎11.（2009安徽卷文）（本小题满分12分）‎ ‎ 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照 试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 品种A:357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，414，‎ ‎ 415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，451，454‎ 品种B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，395，397‎ ‎ 397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430‎ ‎（Ⅰ）完成所附的茎叶图 ‎（Ⅱ）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅲ）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论。‎ ‎【思路】由统计知识可求出A、B两种品种的小麦稳定性大小并画出茎叶图，用茎叶图处理数据，看其分布就比较明了。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】（1）茎叶图如图所示 A B ‎9 7‎ ‎35‎ ‎8 7‎ ‎36‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎37‎ ‎1 4‎ ‎8‎ ‎38‎ ‎3 5 6‎ ‎9 2‎ ‎39‎ ‎1 2 4 457 7‎ ‎5 0‎ ‎40‎ ‎0 1 1 3 6 7‎ ‎5 4 2‎ ‎41‎ ‎0 2 5 6‎ ‎7 3 3 1‎ ‎42‎ ‎2‎ ‎4 0 0‎ ‎43‎ ‎0‎ ‎5 5 3‎ ‎44‎ ‎4 1‎ ‎45‎ ‎（2）用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况,而且可以看出每组中的具体数据.‎ ‎（3）通过观察茎叶图，可以发现品种A的平均每亩产量为411.1千克，品种B的平均亩产量为397.8千克.由此可知,品种A的平均亩产量比品种B的平均亩产量高.但品种A的亩产量不够稳定，而品种B的亩产量比较集中D平均产量附近.‎ ‎12.（2009江西卷文）（本小题满分12分）‎ 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：‎ ‎(1) 该公司的资助总额为零的概率；‎ ‎（2）该公司的资助总额超过15万元的概率．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解：（1）设表示资助总额为零这个事件，则 ‎（2）设表示资助总额超过15万元这个事件，则 ‎ ‎ ‎13.（2009江西卷理）（本小题满分12分）‎ 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令表示该公司的资助总额．‎ ‎ (1) 写出的分布列； (2) 求数学期望． ‎ 解：（1）的所有取值为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）. ‎ ‎14.（2009天津卷文）（本小题满分12分）‎ 为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B,C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A,B，C区中分别有18，27，18个工厂 ‎（Ⅰ）求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数；‎ ‎（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率。‎ ‎【答案】(1) 2，3，2(2) ‎ ‎【解析】 （1）解： 工厂总数为18+27+18=63，样本容量与总体中的个体数比为，所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2.‎ ‎（2）设为在A区中抽得的2个工厂，为在B区中抽得的3个工厂，为在C区中抽得的2个工厂，这7个工厂中随机的抽取2个，全部的可能结果有：种，随机的抽取的2个工厂至少有一个来自A区的结果有，,同理还能组合5种，一共有11种。所以所求的概率为 ‎【考点定位】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力。‎ ‎15.(2009湖北卷理)（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6。现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量，求的分布列和数学期望。 ‎ ‎16.解析：依题意，可分别取、6、11取，则有 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 的分布列为 ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎16.（2009四川卷文）（本小题满分12分）‎ 为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（I）在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；‎ ‎（II）在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.‎ ‎【解析】I）由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡.‎ 设事件A为“采访该团2人,恰有1人持银卡”,则 ‎ ‎ 所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是. …………………………………6分 ‎（II）设事件B为“采访该团2人,持金卡人数与持银卡人数相等”,可以分为：‎ 事件B1为“采访该团2人,持金卡0人，持银卡0人”,或事件B2为“采访该团2人,持金卡1人，持银卡1人”两种情况，则 所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是. ……………………12分 ‎17.（2009全国卷Ⅱ理）（本小题满分12分）‎ 某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。‎ ‎（I）求从甲、乙两组各抽取的人数； ‎ ‎（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；‎ ‎（III）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。 ‎ 分析：（I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。‎ ‎（II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率 ‎（III）的可能取值为0，1，2，3‎ ‎，，‎ ‎，‎ 分布列及期望略。‎ 评析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。在计算时，采用分类的方法，用直接法也可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力。‎ ‎18.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）‎ 某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。‎ ‎（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；‎ ‎（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A） ‎ 解：（Ⅰ）依题意X的分列为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.‎ ‎ B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.‎ 依题意知P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，‎ ‎,‎ 所求的概率为 ‎ ‎ ‎ ………12分 ‎19.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）‎ 某工厂有工人1000名，‎ ‎ 其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。‎ ‎（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人； ‎ ‎（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.‎ 表1：‎ 生产能力分组 人数 ‎4‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎3‎ 表2：‎ 生产能力分组 人数 ‎ 6‎ ‎ y ‎ 36‎ ‎ 18‎ ‎（i）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论） ‎ ‎（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ‎ 解：（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均为，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为 ‎ ‎　　　 .‎ ‎ （Ⅱ）（i）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名.‎ ‎ 故 ，得，‎ ‎　　　 ，得 . ‎ ‎ 频率分布直方图如下 ‎ 从直方图可以判断：B类工人中个体间的关异程度更小 .‎ ‎ （ii） ，‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的会计值分别为123，133.8和131.1 .‎ ‎20.（2009湖南卷文）（本小题满分12分）‎ 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：‎ ‎（I）他们选择的项目所属类别互不相同的概率； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（II）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.‎ 解: 记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，‎ 相互独立，（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，‎ 且 ‎ ‎（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率 ‎ P= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅱ）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率 ‎ ‎ P=‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ ‎ 某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：‎ ‎ 甲厂 （1） 试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；‎ （2） 由于以上统计数据填下面列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。‎ 甲 厂 ‎ 乙 厂 ‎ 合计 优质品 ‎ 非优质品 ‎ 合计 附： ‎ 解：（Ⅰ）甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为； ……6分 乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为 ‎（Ⅱ）‎ ‎ ‎ 甲厂 乙厂 合计 优质品 ‎360‎ ‎320‎ ‎680‎ 非优质品 ‎140‎ ‎180‎ ‎320‎ 合计 ‎500‎ ‎500‎ ‎1000‎ ‎ ……8分 ‎ ‎ 所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。 ……12分 ‎22.（2009全国卷Ⅰ文）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。‎ ‎（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；‎ ‎（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。‎ ‎【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，综合题。‎ 解：记“第局甲获胜”为事件，“第局甲获胜”为事件。‎ ‎（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则 ‎，由于各局比赛结果相互独立，故 ‎。‎ ‎（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而 ‎，由于各局比赛结果相互独立，故 ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎23.（2009四川卷文）（本小题满分12分）‎ 为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（I）在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；‎ ‎（II）在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.‎ ‎【解析】I）由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡.‎ 设事件A为“采访该团2人,恰有1人持银卡”,则 ‎ ‎ 所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是. …………………………………6分 ‎（II）设事件B为“采访该团2人,持金卡人数与持银卡人数相等”,可以分为：‎ 事件B1为“采访该团2人,持金卡0人，持银卡0人”,或事件B2为“采访该团2人,持金卡1人，持银卡1人”两种情况，则 所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是. ……………………12分 ‎24.(本小题满分12分) 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 椐统计，随机变量的概率分布如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎2a a ‎(Ⅰ)求a的值和的数学期望；‎ ‎（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。‎ 解析:(Ⅰ)由概率分布的性质知, 则的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）设事件表示”2个月内共被投诉2次" 事件表示”2个月内有一个月被投诉2次,另一个月被投诉0次" ,事件表示”2个月内每个月均被投诉1次" 则由事件的独立性可得 ‎ 故该企业在这两个月共被投诉2次的概率为0.17. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎25.（2009陕西卷文）（本小题满分12分）‎ 椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1‎ ‎(Ⅰ) 求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率；‎ ‎（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。‎ 解析:解答1（Ⅰ）设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”‎ 所以 ‎（Ⅱ）设事件表示“第个月被投诉的次数为0”事件表示“第个月被投诉的次数为1”事件表示“第个月被投诉的次数为2”事件D表示“两个月内被投诉2次”‎ 所以 所以两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为 一、二月份均被投诉1次的概率为 所以 由事件的独立性的 解答2（Ⅰ）设事件A表示“一个月内被投诉2次”设事件B表示“一个月内被投诉的次数不超过1次”‎ 所以 ‎(Ⅱ)同解答1（Ⅱ）‎ ‎26.（2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分）‎ ‎ 某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）.‎ ‎（Ⅰ）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅱ）从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2‎ 表1：‎ 生产能力分组 人数 ‎4‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎3‎ 表2：‎ 生产能力分组 人数 ‎ 6‎ ‎ y ‎ 36‎ ‎ 18‎ （1） 先确定，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）‎ ‎(ii)分别估计类工人和类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）。‎ ‎（19）解：‎ ‎（Ⅰ）类工人中和类工人中分别抽查25名和75名。 ．．．．．．4分 ‎（Ⅱ）(ⅰ)由，得，‎ ‎ ，得。 ‎ 频率分布直方图如下 ‎ ．．．．．．8分 从直方图可以判断：类工人中个体间的差异程度更小。 ．．．．．．9分 ‎ （ii） ，‎ ‎ ， ‎ ‎ ‎ A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1.‎ ‎27.(2009湖南卷理)（本小题满分12分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。 ‎ ‎（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；‎ ‎（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望。‎ 解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,,，i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，,,（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（）=，P（）=，P（）=‎ （1） 他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3！P（）=6P（）P（）P（）=6=‎ ‎(2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由己已知，-B（3，），且=3。‎ 所以P（=0）=P（=3）==，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ P（=1）=P（=2）= = ‎ P（=2）=P（=1）==‎ P（=3）=P（=0）= = ‎ 故的分布是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 的数学期望E=0+1+2+3=2‎ 解法2 第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件，‎ i=1,2,3 ，由此已知，·D，相互独立，且 P（）-（，）= P（）+P（）=+= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 所以--,既， ‎ 故的分布列是 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎28.（2009四川卷理）（本小题满分12分）‎ 为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；‎ ‎（II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。‎ 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。‎ ‎ 解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，‎ ‎ 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，‎ ‎ 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。‎ ‎…………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3‎ ‎ , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ，，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 所以， ……………………12分 ‎ ‎29.（2009福建卷文）（本小题满分12分）‎ 袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球 ‎ （I）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果； ‎ ‎ （Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。‎ 解：（I）一共有8种不同的结果，列举如下：‎ ‎ （红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）‎ ‎ （Ⅱ）记“3次摸球所得总分为‎5”‎为事件A ‎ 事件A包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红）事件A包含的基本事件数为3‎ ‎ 由（I）可知，基本事件总数为8，所以事件A的概率为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎30.（2009重庆卷理）（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）‎ 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：‎ ‎（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；‎ ‎（Ⅱ）成活的株数的分布列与期望． ‎ 解：设表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2‎ ‎　　表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2‎ ‎　　则，独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有 ‎ , .‎ ‎ 据此算得 ‎　　 , , . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ , , .‎ ‎ (Ⅰ) 所求概率为 ‎　　　　　.‎ ‎ (Ⅱ) 解法一：‎ ‎　　　　的所有可能值为0，1，2，3，4，且w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ = ,‎ ‎ .‎ ‎ .‎ 综上知有分布列 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎1/36‎ ‎1/6‎ ‎13/36‎ ‎1/3‎ ‎1/9‎ 从而，的期望为 ‎（株）‎ 解法二：‎ 分布列的求法同上 令分别表示甲乙两种树成活的株数，则 故有 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 从而知 ‎31.（2009重庆卷文）（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）‎ 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅰ）至少有1株成活的概率；‎ ‎（Ⅱ）两种大树各成活1株的概率．‎ 解: 设表示第株甲种大树成活, ; 设表示第株乙种大树成活, ‎ 则独立,且 ‎（Ⅰ）至少有1株成活的概率为:‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活1株的概率为:‎ ‎ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎