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- 2021-05-13 发布
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导数
(选修2-2P18A7改编)曲线y=在x=处的切线方程为( )
A.y=0 B.y=
C.y=-x+ D.y=x
解析 ∵y′=,∴y′|x==-,
当x=时,y=,
∴切线方程为y-=-,即y=-x+.
(2016·天津卷)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为________.
解析 因为f(x)=(2x+1)ex,
所以f′(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,
所以f′(0)=3e0=3.
(2017·西安月考)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=________.
解析 y′=a-,由题意得y′|x=0=2,即a-1=2,
所以a=3.
(2017·威海质检)已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为( )
A.x+y-1=0 B.x-y-1=0
C.x+y+1=0 D.x-y+1=0
解析 ∵点(0,-1)不在曲线f(x)=xln x上,
∴设切点为(x0,y0).
又∵f′(x)=1+ln x,∴
解得x0=1,y0=0.
∴切点为(1,0),∴f′(1)=1+ln 1=1.
∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.
(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=________.
解析 法一 ∵y=x+ln x,∴y′=1+,y′|x=1=2.
∴曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
∵y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,
∴a≠0(当a=0时曲线变为y=2x+1与已知直线平行).
由消去y,得ax2+ax+2=0.
由Δ=a2-8a=0,解得a=8.
法二 同法一得切线方程为y=2x-1.
设y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切于点(x0,ax+(a+2)x0+1).
∵y′=2ax+(a+2),∴y′|x=x0=2ax0+(a+2).
由解得
答案 8
(2017·西安质测)曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则P点的坐标为( )
A.(1,3) B.(-1,3)
C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3)
解析 f′(x)=3x2-1,令f′(x)=2,则3x2-1=2,解得x=1或x=-1,∴P(1,3)或(-1,3),经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,故选C.
(2015·天津卷)已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数,f′(x)为f(x)的导函数,若f′(1)=3,则a的值为________.
解析 f′(x)=a=a(1+ln x),由于f′(1)=a(1+ln 1)=a,又f′(1)=3,所以a=3.
(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是________.
解析 设x>0,则-x<0,f(-x)=ln x-3x,又f(x)为偶函数,f(x)=ln x-3x,
f′(x)=-3,f′(1)=-2,切线方程为y=-2x-1.
答案 2x+y+1=0
(2015·陕西卷)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为________.
解析 y′=ex,曲线y=ex在点(0,1) 处的切线的斜率k1=e0=1,设P(m,n),y=(x>0)的导数为y′=-(x>0),曲线y=(x>0)在点P处的切线斜率k2=-(m>0),因为两切线垂直,所以k1k2=-1,所以m=1,n=1,则点P的坐标为(1,1).
答案 (1,1)
(2016·北京卷)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的单调区间.
解 (1)∵f(x)=xea-x+bx,∴f′(x)=(1-x)ea-x+b.
由题意得即
解得a=2,b=e.
(2)由(1)得f(x)=xe2-x+ex,
由f′(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知,f′(x)与1-x+ex-1同号.
令g(x)=1-x+ex-1,则g′(x)=-1+ex-1.
当x∈(-∞,1)时,g′(x)<0,g(x)在(-∞,1)上递减;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上递增,
∴g(x)≥g(1)=1在R上恒成立,
∴f′(x)>0在R上恒成立.
∴f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).
(2016·四川卷)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=( )
A.-4 B.-2 C.4 D.2
解析 f′(x)=3x2-12,∴x<-2时,f′(x)>0,-22时,
f′(x)>0,∴x=2是f(x)的极小值点.
答案 D
(2016·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=ln x-x+1.讨论f(x)的单调性;
解 依题意,f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)=-1,令f′(x)=0,得x=1,
∴当00,f(x)单调递增.
当x>1时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
(2015·北京卷)设函数f(x)=-kln x,k>0.求f(x)的单调区间和极值;
解 由f(x)=-kln x(k>0),得x>0且f′(x)=x-=.由f′(x)=0,解得x=(负值舍去).
f(x)与f′(x)在区间(0,+∞)上的变化情况如下表:
x
(0,)
(,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
所以,f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+∞).
f(x)在x=处取得极小值f()=.
(2017·西安调研)定积分(2x+ex)dx的值为( )
A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1
解析 (2x+ex)dx=(x2+ex))=1+e1-1=e.故选C.
(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).讨论f(x)的单调性;
解 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a.
若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈时,f′(x)>0;
当x∈时,f′(x)<0,
所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.
综上,知当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.