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- 2021-05-13 发布
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2015年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页。
注意事项:
1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答,答案无效。
3. 考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合A={x|x=3n+2,n N},B={6,8,12,14},则集合A B中元素的个数为
(A)5 (B)4 (C)3 (D)2
(2)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=
(A)(-7,-4) (B)(7,4) (C)(-1,4) (D)(1,4)
(3)已知复数z满足(z-1)i=i+1,则z=
(A)-2-I (B)-2+I (C)2-I (D)2+i
(4)如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则3个数构成一组勾股数的概率为
(A) (B) (C) (D)
(5)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y²=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个焦点,则|AB|=
(A)3 (B)6 (C)9 (D)12
(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有
A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
(7)已知是公差为1的等差数列,则=4,=
(A) (B) (C)10 (D)12
(8)函数f(x)=的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为
(A)(k-, k-),k
(A)(2k-, 2k-),k
(A)(k-, k-),k
(A)(2k-, 2k-),k
(9)执行右面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
(10)已知函数,且f(a)=-3,则f(6-a)=
(A)- (B)- (C)- (D)-
(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16+20π,则r=
(A)1
(B) 2
(C) 4
(D) 8
(12)设函数y=f(x)的图像关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=
(A)-1 (B)1 (C)2 (D)4
第Ⅱ卷
注意事项:
第Ⅱ卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答,答案无效。
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22题~ 第24题为选考题,考生根据要求做答。
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分
(13)在数列{an}中, a1=2,an+1=2an, Sn为{an}的前n项和。若-Sn=126,则n=.
(14)已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a= .
(15)x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为.
(16)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF周长最小是,该三角形的面积为
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
(17)(本小题满分12分)
已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC
(Ⅰ)若a=b,求cosB;
(Ⅱ)设B=90°,且a=,求△ABC的面积
(18)(本小题满分12分)
如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.
(Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面BED;
(Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥—ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积
(19)(本小题满分12分)
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费和年销售量(i=1,2,···,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值。
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中w1 =1, , =1
(Ⅰ)根据散点图判断,与哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(Ⅲ)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:
(i) 年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
(ii) 年宣传费x为何值时,年利率的预报值最大?
附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…….. (un vn),其回归线v=u的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
(20)(本小题满分12分)
已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1) 求K的取值范围;
(2) 若· =12,其中0为坐标原点,求︱MN︱.
(21).(本小题满分12分)
设函数。
(Ⅰ)讨论的导函数零点的个数;
(Ⅱ)证明:当时,。
请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则安所做的第一题计分。作答时请写清题号。
(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,AB是⊙的直径,AC是⊙的切线,BC交⊙于点E。
(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是⊙的切线;
(Ⅱ)若CA=CE,求∠ACB的大小。
(23)(本小题满分10分)选修4-4;坐标系与参数方程
在直角坐标系中。直线:,圆:,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(I) 求,的极坐标方程;
(II) 若直线的极坐标方程为,设与的交点为, ,求的面积
(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若的图像与轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围
参考答案
一.选择题
(1)D (2)A (3)C (4)C (5)B (6)B
(7)B (8)D (9)C (10)A (11)B (12)C
二.填空题
(13)6 (14)1 (15)4 (16)
三.解答题
(17)解:
(Ⅰ)由题设及正弦定理可得
又,可得
由余弦定理可得…………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
因为,由勾股定理得
故,得
所以的面积为1…………………………………………………………12分
(18)解:
(Ⅰ)因为四边形ABCD为菱形,所以
因为平面,所以,故平面
又平面,所以平面平面…………………………5分
(Ⅱ)设,在菱形中,由,可得
因为,所以在中,可得
由平面,知为直角三角形,可得
由已知得,三棱锥的体积
故…………………………………………………………………………9分
从而可得
所以的面积为3,的面积与的面积均为
故三棱锥的侧面积为……………………………………12分
(19)解:
(Ⅰ)由散点图可以判断,适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型………………2分
(Ⅱ)令,先建立关于的线性回归方程,由于
所以关于的线性回归方程为,因此关于的线性回归方程…………………………………………6分
(Ⅲ)(ⅰ)由(Ⅱ)知,当时,年销售量的预报值
年利润的预报值
…………………………………9分
(ⅱ)根据(Ⅱ)的结果知,年利润的预报值
所以,当,即时,取得最大值,
故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大……………12分
(20)解:
(Ⅰ)由题设,可知直线的方程为
因为与交于两点,所以
解得
所以的取值范围为……………………………………5分
(Ⅱ)设
将代入方程,整理得
所以…………………………………………7分
由题设可得,解得,所以的方程为
故圆心在上,所以…………………………………………………12分
(21)解:
(Ⅰ)的定义域为,
当时,,没有零点;
当时,因为单调递增,单调递增,所以在单调递增,又
,当满足且时,,故当时,存在唯一零点………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ),可设在的唯一零点为,当时,;当时,
故在单调递减,在单调递增,所以当时,取得最小值,最小值为
由于,所以
故当时,……………………………………………12分
(22)解:
(Ⅰ)连结,由已知得,
在中,由已知得,,故
连结,则
又,所以,故,是的切线……………………………………5分
(Ⅱ)设,由已知得
由射影定理可得,,所以,即
可得,所以……………………………10分
(23)解:
(Ⅰ)因为,所以的极坐标方程为,的极坐标方程为……………………………5分
(Ⅱ)将代入,得,解得,故,即
由于的半径为1,所以的面积为………………………10分
(24)解:
(Ⅰ)当时,化为
当时,不等式化为,无解;
当时,不等式化为,解得;
当时,不等式化为,解得
所以的解集为…………………5分
(Ⅱ)由题设可得,
所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为,,,的面积为
由题设得,故
所以的取值范围为………………………………10分