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  • 2021-05-13 发布

高考数学二轮考点专题三数列突破检测

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专题达标检测三 一、选择题 ‎1.在等差数列{an}中,若a2+2a6+a10=120,则a3+a9等于 (  )‎ A.30 B.40 C.60 D.80‎ 解析:由等差数列性质:若m+n=p+q,则am+an=ap+aq,故a2+2a6+a10=4a6‎ ‎=120,故a6=30,a3+a9=2a6=2×30=60.‎ 答案:C ‎2.(2009·宁夏、海南理)等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列,若 a1=1,则S4等于 (  )‎ A.7 B.8 C.15 D.16‎ 解析:设等比数列的公比为q,则由4a1,2a2,a3成等差数列.得4a2=4a1+a3.∴4a1q ‎=4a1+a1q2.∴q2-4q+4=0‎ ‎∴q=2,∴S4==15.‎ 答案:C ‎3.等比数列{an}中,a1=512,公比q=-,用Πn表示它的前n项之积:Πn=a1·a2·…·an,‎ 则Πn中最大的是 (  )‎ A.Π11 B.Π10 C.Π9 D.Π8‎ 解析:Πn=a1a2…an=a·q1+2+…+n-1=29n=(-1)2,∴当 n=9时,Πn最大.故选C 答案:C ‎4.设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1,则数列(n∈N*)的前n项和是(  )‎ A. B. C. D. 解析:∵f′(x)=mxm-1+a=2x+1,‎ ‎∴m=2,a=1,‎ ‎∴f(x)=x2+x=x(x+1),‎ ‎∴==-,‎ ‎∴Sn=1-+-+…+-=1-=.‎ 答案:A ‎5.如果数列{an}满足a1=2,a2=1,且=(n≥2,n∈N*),则这个数列的 第10项等于 (  )‎ A. B. C. D. 解析:∵1-=-1,∴+=2,=+,∴是首项为,公 差为的等差数列,‎ ‎∴=n,∴a10=,故选D.‎ 答案:D ‎6.数列{an}中,a1=1,an、an+1是方程x2-(2n+1)x+=0的两个根,则数列{bn}的前 n项和Sn= (  )‎ A. B. C. D. 解析:由题意得an+an+1=2n+1,‎ 又∵an-n=-[an+1-(n+1)],a1=1‎ ‎∴an=n,‎ 又an·an+1=,∴bn=.‎ ‎∴Sn=b1+b2+…+bn=1-=.‎ 答案:D 二、填空题 ‎7.数列{an}的构成法则如下:a1=1,如果an-2为自然数且该自然数之前未出现过,则 用递推公式an+1=an-2,否则用递推公式an+1=3an,则a6=________.‎ 解析:∵a1-2=-1∉N,∴a2=3a1=3.∵a2-2=1=a1,‎ ‎∴a3=3a2=9,∵a3-2=7,∴a4=7,∵a4-2=5,∴a5=5,∵a5-2=3=a2,∴a6=3a5=15.‎ 答案:15‎ ‎8.已知数列{an}满足=(n∈N*),且a1=1,则an=________.‎ 解析:由已知得=,‎ =,‎ ‎…‎ =,‎ a1=1,‎ 左右两边分别相乘得 an=1·····…···=.‎ 答案: ‎ ‎9.如图,它满足:(1)第n行首尾两数均为n;(2)图 中的递推关系类似杨辉三角,则第n(n≥2)行的第2‎ 个数是________.‎ 解析:设第n(n≥2)行的第2个数构成数列{an},则 有a3-a2=2,a4-a3=3,a5-a4=4,…,an-an-1=n-1,‎ 相加得an-a2=2+3+…+(n-1)=×(n-2)=,‎ an=2+=.‎ 答案: ‎10.对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列 的前n项和的公式是________.‎ 解析:∵y=xn(1-x),‎ ‎∴y′=(xn)′(1-x)+(1-x)′·xn ‎=n·xn-1(1-x)+(-xn).‎ f′(2)=-n·2n-1-2n=(-n-2)·2n-1.‎ ‎∵函数在点x=2处点的纵坐标为y=-2n.‎ ‎∴切线方程为y+2n=(-n-2)·2n-1(x-2),与y轴交点纵坐标为y=(n+1)·2n=an ‎∴=2n,∴数列成等比数列,首项为2,公比为2,‎ ‎∴前n项和为=2(2n-1)=2n+1-2.‎ 答案:2n+1-2‎ 三、解答题 ‎11.等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前n项和为Sn,{bn}为等比数列, b1=1,‎ 且b2S2=64,b3S3=960.‎ ‎(1)求an与bn;‎ ‎(2)求++…+的值.‎ 解:(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则d为正数,‎ an=3+(n-1)d,bn=qn-1,‎ 依题意有,‎ 解得 或(舍去),‎ 故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.‎ ‎(2)由(1)知Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),所以++…+=+++…+ ‎= ‎==-.‎ ‎12.已知数列{an}满足a1=2,an+1=22an.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=(An2+Bn+C)·2n,试推断是否存在常数A、B、C,使得对一切n∈N*,an=bn+1-bn恒成立?若存在,求出A、B、C的值;若不存在,说明理由;‎ ‎(3)求证:i<(n2-2n+2)·2n+2.‎ ‎(1)解:由已知得=2·,∴是公比为2的等比数列,且首项为2,∴=2·2n-1,an=2n·n2‎ ‎(2)解:∵bn=(An2+Bn+C)·2n,∴bn+1-bn=[A(n+1)2+B(n+1)+C]·2n+1-(An2+Bn+C)·2n=[An2+(4A+B)n+2A+2B+C]·2n.‎ 若an=bn+1-bn恒成立,则An2+(4A+B)n+2A+2B+C=n2恒成立,‎ ‎∴,解得A=1,B=-4,C=6,‎ 故存在常数A=1,B=-4,C=6满足条件.‎ ‎(3)证明:由(2)得,bn=(n2-4n+6)·2n,‎ ‎∴i=(b2-b1)+(b3-b2)+(b4-b3)+…+(bn+1-bn)‎ ‎=bn+1-b1=[(n+1)2-4(n+1)+6]·2n+1-6=(n2-2n+3)·2n+1-6<(n2-2n+3)·2n+1‎ ‎=· 2n+2=·2n+2‎ ‎=·2n+2≤(n2-2n+2)·2n+2,‎ ‎∴原不等式成立.‎ ‎13.(2010·四川)已知数列{an}满足a1=0,a2=2,且对任意m,n∈N*都有a2m-1+a2n-1‎ ‎=2am+n-1+2(m-n)2.‎ ‎(1)求a3,a5;‎ ‎(2)设bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*),证明:{bn}是等差数列;‎ ‎(3)设cn=(an+1-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{cn}的前n项和Sn.‎ ‎(1)解:由题意,令m=2,n=1可得a3=2a2-a1+2=6.‎ 再令m=3,n=1可得a5=2a3-a1+8=20.‎ ‎(2)证明:当n∈N*时,由已知(以n+2代替m)可得a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8.于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8,即bn+1-bn=8.‎ 所以,数列{bn}是公差为8的等差数列.‎ ‎(3)由(1)、(2)的解答可知{bn}是首项b1=a3-a1=6,公差为8的等差数列.‎ 则bn=8n-2,即a2n+1-a2n-1=8n-2.‎ 另由已知(令m=1)可得,an=-(n-1)2.‎ 那么,an+1-an=-2n+1=-2n+1=2n.‎ 于是,cn=2nqn-1.‎ 当q=1时,Sn=2+4+6+…+2n=n(n+1).‎ 当q≠1时,Sn=2·q0+4·q1+6·q2+…+2n·qn-1.‎ 两边同乘q可得 qSn=2·q1+4·q2+6·q3+…+2(n-1)·qn-1+2n·qn.‎ 上述两式相减即得 ‎(1-q)Sn=2(1+q1+q2+…+qn-1)-2nqn=2·-2nqn ‎=2·,‎ 所以Sn=2·.‎ 综上所述,‎ Sn= 高二数学 上学期直线的斜率与倾斜角例题(三)‎ ‎[例1]求经过两点P1(2,1)和P2(m,2)(m∈R)的直线l的斜率,并且求出l的倾斜角α及其取值范围.‎ 选题意图:考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.‎ 解:(1)当m=2时,x1=x2=2,∴直线l垂直于x轴,因此直线的斜率不存在,倾斜角α= ‎ ‎(2)当m≠2时,直线l的斜率k=∵m>2时,k>0.‎ ‎∴α=arctan,α∈(0,),‎ ‎∵当m<2时,k<0‎ ‎∴α=π+arctan,α∈(,π).‎ 说明:利用斜率公式时,应注意斜率公式的应用范围.‎ ‎[例2]若三点A(-2,3),B(3,-2),C(,m)共线,求m的值.‎ 选题意图:考查利用斜率相等求点的坐标的方法.‎ 解:∵A、B、C三点共线,‎ ‎∴kAB=kAC,‎ 解得m=.‎ 说明:若三点共线,则任意两点的斜率都相等,此题也可用距离公式来解.‎ ‎[例3]已知两点A(-1,-5),B(3,-2),直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半,求直线l的斜率.‎ 选题意图:强化斜率公式.‎ 解:设直线l的倾斜角α,则由题得直线AB的倾斜角为2α.‎ ‎∵tan2α=kAB=‎ 即3tan2α+8tanα-3=0,‎ 解得tanα=或tanα=-3.‎ ‎∵tan2α=>0,∴0°<2α<90°,‎ ‎0°<α<45°,‎ ‎∴tanα=.‎ 因此,直线l的斜率是 说明:由2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.‎ 命题否定的典型错误及制作 在教材的第一章安排了《常用逻辑用语》的内容.从课本内容安排上看,显得较容易,但是由于对逻辑联结词不能做到正确理解,在解决这部分内容涉及的问题时容易出错.下面仅对命题的否定中典型错误及常见制作方法加以叙述.‎ 一、典型错误剖析 错误1——认为命题的否定就是否定原命题的结论 在命题的否定中,有许多是把原命题中的结论加以否定.如命题:是无理数,其否定是:不是无理数.但据此就认为命题的否定就是否定原命题的结论就错了.‎ 例1 写出下列命题的否定:‎ ‎⑴ 对于任意实数x,使x2=1;‎ ‎⑵ 存在一个实数x,使x2=1.‎ 错解:它们的否定分别为 ‎⑴ 对于任意实数x,使x2≠1;‎ ‎⑵ 存在一个实数x,使x2≠1.‎ 剖析:对于⑴是全称命题,要否定它只要存在一个实数x,使x2≠1即可;对于⑵是存在命题,要否定它必须是对所有实数x,使x2≠1.‎ 正解:⑴存在一个实数x,使x2≠1;‎ ‎⑵对于任意实数x,使x2≠1.‎ 错误2——认为命题的否定就是原命题中的判断词改和其意义相反的判断词 在命题的否定中,有许多是把原命题中的判断词改为相反意义的词,如“是”改为“不是”、“等”改为“不等”、“大于”改为“小于或等于”等.但对于联言命题及选言命题,还要把逻辑联结词“且”与“或”互换.‎ 例2 写出下列命题的否定:‎ ‎⑴ 线段AB与CD平行且相等;‎ ‎⑵ 线段AB与CD平行或相等.‎ 错解:⑴ 线段AB与CD不平行且不相等;‎ ‎⑵ 线段AB与CD不平行或不相等.‎ 剖析:对于⑴是联言命题,其结论的含义为:“平行且相等”,所以对原命题结论的否定除“不平行且不相等”外,还应有“平行且不相等”、“不平行且相等”;而⑵是选言命题,其结论包含“平行但不相等”、“不平行但相等”、“平行且相等”三种情况,故否定就为“不平行且不相等”.‎ 正解:⑴ 线段AB与CD不平行或不相等;‎ ‎⑵ 线段AB与CD不平行且不相等.‎ 错误3——认为“都不是”是“都是”的否定 例3 写出下列命题的否定:‎ ‎⑴ a,b都是零;‎ ‎⑵ 高一(一)班全体同学都是共青团员.‎ 错解:⑴ a,b都不是零;‎ ‎⑵ 高一(一)班全体同学都不是共青团员.‎ 剖析:要注意“都是”、“不都是”、“都不是”三者的关系,其中“都是”的否定是“不都是”,“不都是”包含“都不是”;“至少有一个”的否定是“一个也没有”.‎ 正解:⑴a,b不都是零,即“a,b中至少有一个不是零”.‎ ‎⑵ 高一(一)班全体同学不都是共青团员,或写成:高一(一)班全体同学中至少有一人共青团员.‎ 错误4——认为“命题否定”就是“否命题”‎ 根据逻辑学知识,任一命题p都有它的否定(命题)非p(也叫负命题、反命题);而否命题是就假言命题(若p则q)而言的.如果一个命题不是假言命题,就无所谓否命题,也就是说,我们就不研究它的否命题.我们应清醒地认识到:假言命题“若p则q”的否命题是“若非p则非q”,而“若p则q”的否定(命题)则是“p且非q”,而不是“若p则非q”.‎ 例4 写出命题“满足条件C的点都在直线F上”的否定.‎ 错解:不满足条件C的点不都在直线F上.‎ 剖析:对于原命题可表示为“若A,则B”,其否命题是“若┐A,则┐B”,而其否定形式是“若A,则┐B”,即不需要否定命题的题设部分.‎ 正解:满足条件C的点不都在直线F上.‎ 二、几类命题否定的制作 ‎1.简单的简单命题 命题的形如“A是B”,其否定为“A不是B”.只要把原命题中的判断词改为与其相反意义的判断词即可.‎ 例5 写出下列命题的否定:‎ ‎⑴ 3+4>6;‎ ‎⑵ 2是偶数.‎ 解:所给命题的否定分别是:‎ ‎⑴ 3+4≤6;‎ ‎⑵ 2不是偶数.‎ ‎2.含有全称量词和存在量词的简单命题 全称量词相当于日常语言中“凡”,“所有”,“一切”,“任意一个”等,形如“所有A是B”,其否定为“存在某个A不是B”;存在量词相当于 “存在一个”,“有一个”,“有些”,“至少有一个”,“至多有一个”等,形如“某一个A是B”,其否定是“对于所有的A都不是B”.‎ 全称命题的否定是存在命题,存在命题的否定是全称命题.‎ 例6  写出下列命题的否定:‎ ‎⑴ 不论m取什么实数,x2+x-m=0必有实根.‎ ‎⑵ 存在一个实数x,使得x2+x+1≤0.‎ ‎⑶ 至少有一个整数是自然数.‎ ‎⑷ 至多有两个质数是奇数.‎ 解:⑴ 原命题相当于“对所有的实数m,x2+x-m=0必有实根”,其否定是“存在实数m,使x2+x-m=0没有实根”.‎ ‎⑵ 原命题的否定是“对所有的实数x,x2+x+1>0”.‎ ‎⑶ 原命题的否定是“没有一个整数是自然数”.‎ ‎⑷ 原命题的否定是“至少有三个质数是奇数”.‎ ‎3.复合命题“p且q”,“p或q”的否定 ‎“p且q”是联言命题,其否定为“非p或非q”(也写成┐p或┐q“;“p或q”是选言命题,其否定为“非p且非q”(也写成┐p且┐q“;‎ 例7  写出下列命题的否定:‎ ‎⑴ 他是数学家或物理学家.⑵ 他是数学家又是物理学家.‎ ‎⑶≥0.‎ 解:⑴ 原命题的否定是“他既不是数学家也不是物理学家”.‎ ‎⑵原命题的否定是“他不能同时是数学家和物理学家”,即“他不是数学家或他不是物理学家”.‎ ‎⑶若认为┐p:<0,那就错了.┐p是对p的否定,包括<0或=0.‎ 或∵p:x>1或x<-3,∴┐p:-3≤x≤1.‎