高考线性规划题型归纳 6页

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  • 2021-05-13 发布

高考线性规划题型归纳

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线性规划常见题型及解法 一、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题 例1、设变量x、y满足约束条件,则的最大值为   。 ‎ 解析:如图1,画出可行域,得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处,目标函数z最大值为18‎ 点评:本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.,是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。‎ 习题1、若x、y满足约束条件,则z=x+2y的取值范围是 ( )‎ x y O ‎2‎ ‎2‎ x=2‎ y =2‎ x + y =2‎ B A A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、(3,5]‎ 解:如图,作出可行域,作直线l:x+2y=0,将 l向右上方平移,过点A(2,0)时,有最小值 ‎2,过点B(2,2)时,有最大值6,故选A 二、已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题 图2‎ 例2、已知则的最小值是 .‎ 解析:如图2,只要画出满足约束条件的可行域,而表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A(1,2)是满足条件的最优解。的最小值是为5。‎ 点评:本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下,作出可行域,寻求最优解。‎ 习题2、已知x、y满足以下约束条件 ,则z=x2+y2的最大值和最小值分别是( )‎ ‎2x + y - 2= 0 = 5‎ x – 2y + 4 = 0‎ ‎3x – y – 3 = 0‎ O y x A ‎  A、13,1  B、13,2 ‎ C、13,  D、,‎ 解:如图,作出可行域,x2+y2是点(x,y)到原点的距离的平方,故最大值为点A(2,3)到原点的距离的平方,即|AO|2=13,最小值为原点到直线2x+y-2=0的距离的平方,即为,选C 练习2、已知x,y满足,则的最大值为___________,最小值为____________. ‎ ‎ 2,0‎ 三、设计线性规划,探求平面区域的面积问题 例3、在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是()(A) (B)4 (C) (D)2 ‎ 解析:如图6,作出可行域,易知不等式组表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为A(0,2),B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为:从而选B。‎ 点评:有关平面区域的面积问题,首先作出可行域,探求平面区域图形的性质;其次利用面积公式整体或部分求解是关键。‎ ‎2x + y – 6= 0 = 5‎ x+y – 3 = 0‎ O y x A B C M y =2‎ 习题3、不等式组表示的平面区域的面积为  ( )‎ ‎   A、4 B、‎1 ‎C、5 D、无穷大 解:如图,作出可行域,△ABC的面积即为所求,由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可,选B 四、已知平面区域,逆向考查约束条件。‎ 例4、已知双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是()‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 解析:双曲线的两条渐近线方程为,与直线围成一个三角形区域(如图4所示)时有。‎ 点评:本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。‎ 习题4、如图所示,表示阴影部分的二元一次不等式组是 ( )‎ A. B. C. D.‎ C 五、约束条件设计参数形式,考查目标函数最值范围问题。 ‎ 例5、在约束条件下,当时,目标函数C 的最大值的变化范围是()‎ A. B. C. D. ‎ 解析:画出可行域如图3所示,当时, 目标函数在处取得最大值, 即;当时, 目标函数在点处取得最大值,即,故,从而选D;‎ 点评:本题设计有新意,作出可行域,寻求最优解条件,然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。‎ 六、求约束条件中参数的取值范围 O ‎2x – y = 0‎ y ‎2x – y + 3 = 0‎ 例6、已知|2x-y+m|<3表示的平面区域包含点(0,0)和(-1,1),则m的取值范围是  ( )‎ ‎ A、(-3,6) B、(0,6) C、(0,3) D、(-3,3)‎ 解:|2x-y+m|<3等价于 由右图可知 ,故0<m<3,选C 习题6、不等式表示的平面区域包含点和点则的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D.‎ A 七、已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题。‎ 例7、已知变量,满足约束条件。若目标函数(其中)仅在点处取得最大值,则的取值范围为 。‎ 解析:如图5作出可行域,由其表示为斜率为,纵截距为z的平行直线系, 要使目标函数(其中)仅在点处取得最大值。则直线过A点且在直线(不含界线)之间。即则的取值范围为。‎ 点评:本题通过作出可行域,在挖掘的几何意义的条件下,借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系,建立满足题设条件的的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功,同时对几何动态问题的能力要求较高。‎ x + y = 5‎ x – y + 5 = 0‎ O y x x=3‎ 习题7、已知x、y满足以下约束条件,使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则a的值为   ( )‎ ‎   A、-3 B、‎3 ‎C、-1 D、1‎ 解:如图,作出可行域,作直线l:x+ay=0,要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,则将l向右上方平移后与直线x+y=5重合,故a=1,选D 八、研究线性规划中的整点最优解问题 例8、某公司招收男职员x名,女职员y名,x和y须满足约束条件则的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95‎ 解析:如图7,作出可行域,由,它表示为斜率为,纵截距为的平行直线系,要使最得最大值。当直线通过 取得最大值。因为,故A点不是最优整数解。于是考虑可行域内A点附近整点B(5,4),C(4,4),经检验直线经过B点时,‎ 点评:在解决简单线性规划中的最优整数解时,可在去掉限制条件求得的最优解的基础上,调整优解法,通过分类讨论获得最优整数解。‎ 九、求可行域中整点个数 例9、满足|x|+|y|≤2的点(x,y)中整点(横纵坐标都是整数)有( )‎ ‎  A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 x y O 解:|x|+|y|≤2等价于 作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界),容易得到整点个数为13个,选C 习题9、不等式表示的平面区域内的整点个数为 ( )‎ A. 13个 B. 10个 C. 14个 D. 17个 A