五年高考真题数学理 二项分布与正态分布 9页

第五节 二项分布与正态分布 考点一 条件概率与相互独立事件的概率 1．(2015·新课标全国Ⅰ，4)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测 试．已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立， 则该同学通过测试的概率为( ) A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 解析 该同学通过测试的概率为 p＝0.6×0.6＋C12×0.4×0.62＝0.648. 答案 A 2．(2014·新课标全国Ⅱ，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优 良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良， 则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 解析 由条件概率可得所求概率为 0.6 0.75 ＝0.8，故选 A. 答案 A 3.(2011·湖南，15)如图，EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内 接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子 落在正方形 EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影 部分)内”，则 (1)P(A)＝________. (2)P(B|A)＝________. 解析 圆的半径为 1，正方形的边长为 2，∴圆的面积为π，正方形面积为 2， 扇形面积为π 4 .故 P(A)＝ 2 π， P(B|A)＝P（A∩B） P（A） ＝ 1 2 π 2 π ＝1 4. 答案 (1) 2 π (2)1 4 4．(2014·陕西，19)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1 000 元，此 作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如 下表： 作物产量(kg) 300 500 概率 0.5 0.5 作物市场价格(元/kg) 6 10 概率 0.4 0.6 (1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列； (2)若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率． 解 (1)设 A 表示事件“作物产量为 300 kg”，B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg”，由题设知 P(A)＝0.5，P(B)＝0.4， 因为利润＝产量×市场价格－成本， 所以 X 所有可能的取值为 500×10－1 000＝4 000，500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000，300×6－1 000＝800. P(X＝4 000)＝P( A)P( B )＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3， P(X＝2 000)＝P( A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2， 所以 X 的分布列为 X 4 000 2 000 800 P 0.3 0.5 0.2 (2)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2 000 元”(i＝1，2，3)， 由题意知 C1，C2，C3 相互独立，由(1)知， P(Ci)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2，3)， 3 季的利润均不少于 2 000 元的概率为 P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512； 3 季中有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率为 P(C 1C2C3)＋P(C1 C 2C3)＋ P(C1C2 C 3)＝3×0.82×0.2＝0.384， 所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896. 5．(2013·辽宁，19)现有 10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，张同学从中任 取 3 道题解答． (1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率； (2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题，1 道乙类题．设张同学答对每道甲类题 的概率都是3 5 ，答对每道乙类题的概率都是4 5 ，且各题答对与否相互独立．用 X 表示张同学答对题的个数，求 X 的分布列和数学期望． 解 (1)设事件 A＝“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题”，则有 A＝“张 同学所取的 3 道题都是甲类题”． 因为 P( A)＝ C36 C310 ＝1 6 ， 所以 P(A)＝1－P( A)＝5 6. (2)X 所有的可能取值为 0，1，2，3. P(X＝0)＝C02· 3 5 0 · 2 5 2 ·1 5 ＝ 4 125 ； P(X＝1)＝C12· 3 5 1 · 2 5 1 ·1 5 ＋C02 3 5 0 · 2 5 2 ·4 5 ＝ 28 125 ； P(X＝2)＝C22· 3 5 2 · 2 5 0 ·1 5 ＋C12 3 5 1 · 2 5 1 ·4 5 ＝ 57 125 ； P(X＝3)＝C22· 3 5 2 · 2 5 0 ·4 5 ＝ 36 125. 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 4 125 28 125 57 125 36 125 所以 E(X)＝0× 4 125 ＋1× 28 125 ＋2× 57 125 ＋3× 36 125 ＝2. 6．(2012·山东，19)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为3 4 ， 命中得 1 分，没有命中得 0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为2 3 ，每命 中一次得 2 分，没有命中得 0 分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射 手完成以上三次射击． (1)求该射手恰好命中一次的概率； (2)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 E(X)． 解 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件 A，“该射手射击甲靶命中”为事 件 B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件 C，“该射手第二次射击乙靶命 中”为事件 D，由题意知 P(B)＝3 4 ，P(C)＝P(D)＝2 3 ，由于 A＝BC D ＋ B C D ＋ B C D，根据事件的独立性和互斥性得 P(A)＝P(BC D ＋ B C D ＋ B C D)＝ P(B C D )＋P( B C D )＋P( B C D) ＝P(B)P(C )P( D )＋P( B )P(C)P( D )＋P( B )P(C )P(D)＝3 4 × 1－2 3 × 1－2 3 ＋ 1－3 4 ×2 3 × 1－2 3 ＋ 1－3 4 × 1－2 3 ×2 3 ＝ 7 36. (2)根据题意，X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5. 根据事件的独立性和互斥性得 P(X＝0)＝P( B C D ) ＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)] ＝(1－3 4)× 1－2 3 × 1－2 3 ＝ 1 36 ， P(X＝1)＝P(B C D) ＝P(B)P(C )P( D ) ＝3 4 × 1－2 3 × 1－2 3 ＝ 1 12 ， P(X＝2)＝P(B C D＋B C D) ＝P( B C D )＋P( B C D) ＝ 1－3 4 ×2 3 × 1－2 3 ＋ 1－3 4 × 1－2 3 ×2 3 ＝1 9 ， P(X＝3)＝P(BC D ＋B C D) ＝P(BC D )＋P(BC D) ＝3 4 ×2 3 × 1－2 3 ＋3 4 × 1－2 3 ×2 3 ＝1 3 ， P(X＝4)＝P(BCD)＝ 1－3 4 ×2 3 ×2 3 ＝1 9 ， P(X＝5)＝P(BCD)＝3 4 ×2 3 ×2 3 ＝1 3. 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 1 36 1 12 1 9 1 3 1 9 1 3 所以 E(X)＝0× 1 36 ＋1× 1 12 ＋2×1 9 ＋3×1 3 ＋4×1 9 ＋5×1 3 ＝41 12. 7．(2011·大纲全国，18)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5， 购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立． (1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率； (2)X 表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求 X 的期 望． 解 设 A 表示事件：该地的 1 位车主购买甲种保险； B 表示事件：该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C 表示事件：该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种； D 表示事件：该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买． (1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B， P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8. (2)D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，X～B(100，0.2)，即 X 服从二项分布， 所以期望 E(X)＝100×0.2＝20. 考点二 正态分布 1．(2015·湖南，7)在如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个 点，则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布 N(0，1)的密度曲 线)的点的个数的估计值为( ) 附：若 X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6， P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4. A．2 386 B．2 718 C．3 413 D．4 772 解析 由 X～N(0，1)知，P(－1＜X≤1)＝0.682 6， ∴P(0≤X≤1)＝1 2 ×0.682 6＝0.341 3，故 S≈0.341 3. ∴落在阴影部分中点的个数 x 估计值为 x 10 000 ＝S 1(古典概型)， ∴x＝10 000×0.341 3＝3 413，故选 C. 答案 C 2．(2015·山东，8)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布 N(0，32)， 从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( ) (附：若随机变量ξ服从正态分布 N(μ，σ2)，则 P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ －2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.) A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74% 解析 由题意，知 P(3＜ξ＜6)＝P（－6＜ξ＜6）－P（－3＜ξ＜3） 2 ＝ 95.44%－68.26% 2 ＝13.59%. 答案 B 3．(2014·新课标全国Ⅰ，18)从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些 产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： (1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2(同一组中的数据 用该组区间的中点值作代表)； (2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(μ，σ2)，其 中μ近似为样本平均数 x，σ2 近似为样本方差 s2. (ⅰ)利用该正态分布，求 P(187.8