高考真题——文科数学全国Ⅰ卷解析版 15页

‎2017年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合A=，B=，则（ ）‎ A．AB= B．AB C．AB D．AB=R ‎2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）‎ A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数 ‎3．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）‎ A．i(1+i)2 B．i2(1-i) C．(1+i)2 D．i(1+i)‎ ‎4．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知F是双曲线C：x2-=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3).则△APF的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（ ）‎ ‎7．设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎8．函数的部分图像大致为（ ）‎ ‎9．已知函数，则（ ）‎ A．在（0,2）单调递增 B．在（0,2）单调递减 C．y=的图像关于直线x=1对称 D．y=的图像关于点（1,0）对称 ‎10．如图是为了求出满足的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）‎ A．A>1000和n=n+1 B．A>1000和n=n+2‎ C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2‎ ‎11．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知，a=2，c=，则C=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设A、B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知向量a=（–1，2），b=（m，1）.若向量a+b与a垂直，则m=______________.‎ ‎14．曲线在点（1，2）处的切线方程为_________________________.‎ ‎15．已知,tan α=2，则=__________.‎ ‎16．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径。若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：60分。‎ ‎17．（12分）‎ 记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列。‎ ‎18．（12分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且 ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC,,且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积.‎ ‎19．（12分）‎ 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：‎ 抽取次序 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 零件尺寸 ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ 抽取次序 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 零件尺寸 ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得，，，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．‎ ‎（1）求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．‎ ‎（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？‎ ‎（ⅱ）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）‎ 附：样本的相关系数，．‎ ‎20．（12分）‎ 设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4.‎ ‎（1）求直线AB的斜率；‎ ‎（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程.‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数=ex(ex﹣a)﹣a2x．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，求a的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.‎ ‎（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数f（x）=–x2+ax+4，g（x）=│x+1│+│x–1│.‎ ‎（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.‎ ‎【参考答案】‎ ‎1． A ‎【解析】由得，所以，选A.‎ ‎2． B ‎【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B ‎3． C ‎【解析】由为纯虚数知选C.‎ ‎4． B ‎5． D ‎【解析】由得，所以，将代入，得，所以，又A的坐标是(1,3)，故APF的面积为，选D.‎ ‎6．A ‎【解析】由B，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由C，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由D，AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ.故A不满足，选A.‎ ‎7． D ‎【解析】如图，目标函数经过时最大，故，故选D.‎ ‎8． C ‎【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，，排除D；当时，，排除A.故选C.‎ ‎9． C ‎10． D ‎【解析】由题意选择，则判定框内填，由因为选择偶数，所以矩形框内填，故选D.‎ ‎11． B ‎【解析】由题意得 ‎，‎ 即，所以.‎ 由正弦定理得，即，得，故选B.‎ ‎12． A ‎【解析】当，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得；当，焦点在轴上，要使C上存在点M满足，则，即，得，故m的取值范围为，选A.‎ ‎13． 7‎ ‎【解析】由题得 因为 所以 解得 ‎14. ‎ ‎【解析】设 则 所以 所以在处的切线方程为，即 ‎15. ‎ ‎16. ‎ ‎【解析】取的中点，连接 因为 所以 因为平面平面 所以平面 设 所以 所以球的表面积为 ‎17． ‎ ‎18．解：①∵‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎②由①知 ‎∵ ‎ ‎ ‎ 取AD中点O，‎ 所以 ‎∴ ‎ ‎∴AO=2‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎= ‎ ‎19． ‎ ‎（ii） 剔除9.22，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为 ，‎ 标准差为 ‎20．解：（1）设，‎ 则 ‎ ‎（2）设 ，则C在M处的切线斜率 ‎ ‎∴ ‎ 则 ，又AM⊥BM，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 又设AB：y=x＋m 代入 ‎ 得 ‎ ‎∴，‎ ‎－4m＋8＋20=0‎ ‎∴m=7‎ 故AB：x＋y=7‎ ‎21． ‎ ‎22． 解：（1）当时， （t为参数）‎ L消参后的方程为，‎ 曲线C消参后为，与直线联方方程 ‎ 解得 或 .‎ ‎（2）L的普通方程为，‎ 设曲线C上任一点为，‎ 点到直线的距离公式，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时最大，‎ 即，‎ ‎，‎ 当时最大，‎ 即， ‎ ‎，‎ 综上：或.‎ ‎23．‎