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  • 2021-05-13 发布

新课标全国卷五年高考数列汇编附答案

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‎1.[2014·新课标全国卷Ⅰ]‎ 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.‎ ‎(1)证明:an+2-an=λ.‎ ‎(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.‎ ‎2.[2014·新课标全国卷2]‎ 已知数列满足=1,.‎ ‎(Ⅰ)证明是等比数列,并求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)证明:.‎ ‎3.[2013·新课标全国卷1]‎ 设等差数列的前项和为,则()‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎4.[2013·新课标全国卷1]‎ 设的三边长分别为,的面积为,,若,,则( )‎ A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 ‎ C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 ‎ D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 ‎5.[2013·新课标全国卷1]‎ 若数列{}的前n项和为Sn=,则数列{}的通项公式是=______.‎ ‎6.(2013课标全国Ⅱ,理3)‎ 等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=().‎ A.B.C.D.‎ ‎7.(2013课标全国Ⅱ,理16)‎ 等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为__________.‎ 8. ‎[2012新课标全国卷]‎ 已知为等比数列,,,则()‎ 9. ‎[2012新课标全国卷]‎ 数列满足,则的前项和为 ‎10.[2010新课标全国卷]‎ 设数列满足 (1) 求数列的通项公式;‎ (2) 令,求数列的前n项和 ‎11、(2015全国1卷17题)为数列{}的前项和.已知>0,=.‎ ‎(Ⅰ)求{}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设 ,求数列{}的前项和.‎ ‎12、(2015全国2卷4题)已知等比数列满足a1=3, =21,则 ( )‎ A.21 B.42 C.63 D.84‎ ‎.‎ ‎13、(2015全国2卷16题)设是数列的前n项和,且,,则________.‎ ‎14、(2016全国1卷3题)已知等差数列前9项的和为27,,则 ( )‎ ‎(A)100 (B)99 (C)98 (D)97‎ ‎15、(2016全国2卷15题)设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a‎1a2 …an的最大值为 .‎ ‎16、(2016全国2卷17题)为等差数列的前n项和,且,.记,其中表示不超过x的最大整数,如,.‎ ‎(Ⅰ)求,,;‎ ‎(Ⅱ)求数列的前项和.‎ ‎17、(2016全国3卷17题)已知数列的前n项和,其中.‎ ‎(I)证明是等比数列,并求其通项公式; ‎ ‎(II)若 ,求.‎ ‎18、(2017年国1卷4题)记为等差数列的前项和,若,则的公差为()A.1 B.2 C.4 D.8‎ ‎19、(2017全国2卷3题)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )‎ A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 ‎20、(2017全国2卷15题)等差数列的前项和为,,,则 .‎ ‎21、(2017全国3卷9题)等差数列的首项为1,公差不为0.若,,成等比数列,则前6项的和为()‎ A. B. C.3 D.8‎ ‎12、(2017全国3卷14题)设等比数列满足,,则________.‎ ‎.‎ 详细解析 ‎1.解:(1)证明:由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,‎ 两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1.‎ 因为an+1≠0,所以an+2-an=λ.‎ ‎(2)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1,‎ 由(1)知,a3=λ+1.‎ 若{an}为等差数列,则2a2=a1+a3,解得λ=4,故an+2-an=4.‎ 由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,‎ a2n-1=4n-3;‎ ‎{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.‎ 所以an=2n-1,an+1-an=2.‎ 因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.‎ ‎2.解:‎ ‎(2)‎ ‎3.【解析】有题意知==0,∴=-=-(-)=-2,‎ ‎=-=3,∴公差=-=1,∴3==-,∴=5,故选C.‎ ‎4.B ‎5.【解析】当=1时,==,解得=1,‎ 当≥2时,==-()=,即=,‎ ‎∴{}是首项为1,公比为-2的等比数列,∴=.‎ ‎6.答案:C 解析:设数列{an}的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q≠1.‎ ‎∵q≠1时,S3==a1·q+10a1,‎ ‎∴=q+10,整理得q2=9.‎ ‎∵a5=a1·q4=9,即81a1=9,∴a1=.‎ ‎7.答案:-49‎ 解析:设数列{an}的首项为a1,公差为d,则S10==10a1+45d=0,①‎ S15==15a1+105d=25.②‎ 联立①②,得a1=-3,,‎ 所以Sn=.‎ 令f(n)=nSn,则,.‎ 令f′(n)=0,得n=0或.‎ 当时,f′(n)>0,时,f′(n)<0,所以当时,f(n)取最小值,而n∈N+,则f(6)=-48,f(7)=-49,所以当n=7时,f(n)取最小值-49.‎ ‎8.【解析】选 ‎,或 ‎9.【解析】的前项和为 可证明:‎ ‎10.解:(Ⅰ)由已知,当n≥1时,‎ ‎。‎ 而 所以数列{}的通项公式为。‎ ‎(Ⅱ)由知 ‎①‎ 从而 ‎②‎ ‎①-②得 ‎。‎ 即 ‎11,试题解析:(Ⅰ)当时,,因为,所以=3,‎ 当时,==,即,因为,所以=2,‎ 所以数列{}是首项为3,公差为2的等差数列,‎ 所以=;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,=,‎ 所以数列{}前n项和为= =.‎ ‎12【解析】设等比数列公比为,则,又因为,所以,解得,所以,故选B ‎13.【解析】由已知得,两边同时除以,得 ‎,故数列是以为首项,为公差的等差数列,则,所以.‎ ‎14试题分析:由已知,所以 故选C.‎ ‎15,试题分析:设等比数列的公比为,由得,,解得.所以,于是当或时,取得最大值.‎ ‎16【解析】⑴设的公差为,,‎ ‎∴,∴,∴.‎ ‎∴,,.‎ ‎⑵记的前项和为,则 ‎.‎ 当时,;‎ 当时,;‎ ‎ 当时,;‎ 当时,.‎ ‎∴.‎ 由,得,所以.‎ 因此是首项为,公比为的等比数列,于是.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得,由得,即,‎ 解得.‎ ‎18, 联立求得 得选C ‎19,【解析】一座7层塔共挂了381盏灯,即;相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,即,塔的顶层为;由等比前项和可知:,解得.‎ ‎20.【解析】∵ , ,∴ ‎ ‎∵ ,∴ ∴ ‎ ‎∵ ∴ ∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎21.【解析】∵为等差数列,且成等比数列,设公差为.‎ ‎ 则,即 ‎ 又∵,代入上式可得 ‎ 又∵,则 ‎ ∴,故选A.‎ ‎22.【解析】为等比数列,设公比为.‎ ‎,即,‎ 显然,,‎ 得,即,代入式可得,‎