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- 2021-05-13 发布
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学科:数学
教学内容:数列、极限、数学归纳法综合能力训练
【综合能力训练】
一、选择题
1.数列{an}是等比数列,下列结论中正确的是( )
A. an·an+1 >0 B. an·an+1·an+2>0
C. an·an+2>0 D. an·an+2·an+4>0
2.在等比数列{an}中,a1=secθ (θ为锐角),且前n项和Sn满足 Sn=
,那么θ的取值范围是( )
A.(0, ) B.(0, ) C.(0, )
D.(0, )
3.已知数列{an}中,an= (n∈N),则数列{an}的最大项是( )
A.第12项 B.第13项 C.第12项或13项
D.不存在
4.三个数成等差数列,如果将最小数乘2,最大数加上7,所得三数之积为1000,且成
等比数列,则原等差数列的公差一定是( )
A.8 B.8或-15 C.± 8
D.±15
5.已知数列{an}: , + , + + ,…, + +…+ ,…,那么数列{
}的所有项的和为( )
A.2 B.4 C.3
D.5
6.已知a、b∈R,|a|>|b|,又 > ,则a的取值范围是()
A.a>1 B.-11
D.a>1或-10,且|a10|<|a11|,Sn为其前n项之和,则( )
A. S1,S2,…,S10都小于零,S11,S12,…都大于零
B. S1,S2,…,S5都小于零,S6,S7,…都大于零
C. S1,S2,…,S19都小于零,S20,S21,…都大于零
D. S1,S2,…,S20都小于零,S21,S22,…都大于零
9.将自然数1,2,3,…,n,…按第k组含k个数的规则分组:(1),(2,3),(4
,5,6),…,那么1996所在的组是( )
A.第62组 B.第63组 C.第64组 D.第65组
10.在等差数列中,前n项的和为Sn,若Sm=2n,Sn=2m,(m、n∈N且m≠n),则公差d的值为
( )
A.- B.- C.- D. -
11.设数列{an}、{bn}都是公差不为0的等差数列,且 =2,则
等于()
A.1 B. C.
D.
12.a、b∈R,且|a|<1,|b|<1,则无穷数列:1,(1+b)a,(1+b+b2)a2,…,(1+b+b2+…+bn-1)an-1
…的和为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.设zn=( )n(n∈ N),记Sn=|z2-z1|+|z3-z2|+…+|zn+1-zn|,则 Sn=。
14.在等比数列{an}中,a1=1,|q|≠1,若am=a1·a2·a3·…·a10,则m=。
15.数列{an}是公差为d≠0的等差数列,若a1,a2是方程x2-a3x+a4=0的二根,则通项公式
an=。
16.f(x-1)=x+x2+x3+…+xn(x≠0,1),设f(x)中x的系数为Sn,x3的系数为Tn,
=。
三、解答题
17.一个含有7项的数列,它的奇数位置的项顺次成等差数列,偶数位置的项顺次成等
比数列,所有奇数位置的项之和减去第2项与第6项之积所得的差是42,又首项、末项、中
间项之和为27,求第4项。
24
11
mn
nm )(4 +
)(4 nm
mn
+ mn
nm )(2 +
)(2 nm
mn
+
∞→n
lim
n
n
b
a
∞→n
lim
n
n
na
bbb
3
221 +++
2
1
3
1
4
1
)1)(1(
1
ba −− ab−1
1
)1)(1(
2
aba −− )1)(1(
1
aba −−
2
1 i−
∞→n
lim
∞→n
lim 4
2
n
ST nn −
18.设fn(x)=f{[f…f(x)]…}(n个f),
(1)求f2(x),f3(x);
(2)猜想fn(x),并证明你的结论。
19.已知a>0且a≠1,数列{an}是首项、公比都为a的等比数列,令bn=anlgan(n∈N)。
(1)当a=2时,求数列{bn}的前n项之和;
(2)当a= 时,数列{bn}中从第几项开始每一项总小于它后面的项。
20.已知函数f(x)= (n∈N)的最小值为an,最大值为bn,且cn= (1+3anbn)。
(1)求数列{cn}的通项公式;
(2)求证: - < <2- (n≥2)。
21.曲线C:xy=1(x>0)与直线l:y=x相交于A1,作A1B1⊥l交x轴于B1,作B1A2∥l交曲线C于
A2…依此类推。
(1)求点A1,A2,A3和B1,B2,B3的坐标;
(2)猜想An的坐标,并加以证明;
(3) 。
21
)(
x
xxf −
=
7
6
12
2
++
+−
xx
nxx
4
n
2
3
1
1
+n
n
k 1=
Σ
kc
1
n
1
∞→n
lim
nn
nn
BB
BB
1
1 ||
−
+
22.设Tn为数列{an}前n项的和,Tn=
(an-1)(n∈N)。数列{bn}的通项公式为bn=4n+3(n∈N)。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若c∈{a1,a2,a3,…,an,…}∩{b1,b2,b3,…,bn…},则c称为数列{an},{bn}的公共项,将数
列{an}与{bn}的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{cn}。证明:数列{cn
}的通项公式为cn=32n+1(n∈N);
(3)设数列{cn}中的第n项是数列{bn}中的第m项,Bm为数列{bn}前m项的和;Dn为数
列{cn}前n项的和,且An=Bm-Dn;求: 。
参考答案
【综合能力训练】
1.C 2.D 3.C 4.C 5.B 6.D 7.C 8.C 9.B 10.A 11.C 12.D 13.1+ 14.46 15.an=2n
16.-
17.解 设这7个数为:a1,a2,a3,…,a7,则a1,
a3,a5,a7,成等差数列,a2,a4,a6成等比数列,依题意有:
解①、②得: 或 。
2
3
∞→n
lim 4)( n
n
a
A
2
2
24
5
=++
=−+++
27
42
741
627531
aaa
aaaaaa
②
①
1314 −−=a 1314 +−=a
18.解 (1)f2(x)= ,f3(x)=
(2)fn(x)=
19.解 (1)依题有an=an,∴bn=nanlga。
∴Sn=(1+2a+3a2+…+nan-1)·alga,可求得Sn= [1-(1+n-na)·an]
当a=2时,Sn=2[1+(n-1)·2n]lg2。
(2)令bk+1>bk,(k∈N),则bk+1-bk=(k+1)·( )k-1·lg -k·( )k·lg =(
)k·( - k)·lg ,∵( )k>0,lg <0,而bk+1>bk,∴ -
k<0。∴k>6,故从第七项开始每一项总比它后面的项小。
20.解
(1)整理已知得:(y-1)x2+(y+1)x+(y-n)=0。∴x∈R,∴Δ≥0,即Δ=(y+1)2-4(y-1)(y
-n)≥0(y≠1),∴3y2-(4n+6)y+4n-1≤0.
由此知:an,bn就是方程3y2-(4n+6)y+4n-1=0的两个根,由根与系数的关系得:an·bn
= (4n-1),∴cn=n2。
当y=1时,x= ,∵ ,其中
只是k的一个子集,即不是所有x∈R都满足y=1,∴舍去。
(2)先证: > - (n≥2)
= >1+
=1+ ( - )=1+ -
= - (n≥2)
再用同样方法证: <2- (n≥2)。
21.解 (1)A1(1,1),A2(+1,-1),A3(+,-)
B1(2,0),B2(2,0),B3(2,0)。
(2)An(+ ,- ),证明略。
(3)设An( ,an),Bn(bn,0)
221 x
x
− 231 x
x
−
21 nx
x
−
2)1(
lg
a
aa
−
7
6
7
6
7
6
7
6
7
6
7
6
7
1
7
6
7
6
7
6
7
6
7
1
3
1
2
1−n
2
1−= nx }2
1|{
−= nxx
n
k 1=
Σ
kC
1
2
3
1
1
+n
n
k 1=
Σ
kC
1 n
k 1=
Σ
2
1
k
n
k 2=
Σ
)1(
1
+kk
n
k 2=
Σ
k
1
1
1
+k 2
1
1
1
+n
2
3
1
1
+n
n
k 1=
Σ
kC
1
n
1
1−n 1−n
na
1
由图:A1(1,1),B1(2,0) ∵a1=1,b1=2且
∴ = = ,分子分母同乘以( +)(+
)及 = =1
22.解 (1)a1= (a1-1),∴a1=3。当n≥2时,an=Tn-Tn-1可求得:
=3。∴{an}是以3为首项,3为公比的等比数列,∴an=3n。
(2)设{an}中的第k项与{bn}中的第r项相同,则:3k=4r+3(k,r∈N),又3k+1=3·3k=3·(
4r+3)=4(3r+2)+1,∴ak+1不是{bn}中的项,又∵ ∴ 是
中的项,且又∵
,故知:c1=a3,c2=a5,c3=a7,…,cn=a2n+1∴{cn}的通项公式为:cn=32n+1(n∈N)。
(3)由(2)知:32n+1=4m+3, m= (32n-1)。
而Bm= = ;Dn= = ;
∴An=Bm-Dn=
∴ = =
−=⋅−=
+=
−− )(1
1
11 上在直线 nnn
n
n
n
n
n
bxyAbaa
aab
∞→n
lim ||
||
1
1
nn
nn
BB
BB
−
+
∞→n
lim
n
n
a
a
2
2 1+
∞→n
lim
1
1
−−
−+
nn
nn 1+n
1−n ∞→n
lim
nn
nn
++
−+
1
1
∞→n
lim
111
111
++
−+
n
n
2
3
1−n
n
a
a
3)69(43.93 2 ++==+ rkκ
2+ka }{ nb
rba =3
4
3
2
)( 1 mbb m+
8
)73)(33( 1212 +− ++ nn
91
)91(27
−
− n
8
)13(27 2 −n
8
6353 1224 +⋅− ++ nn
∞→n
lim 4)( n
n
a
A
∞→n
lim n
nn
4
1224
38
6353
⋅
+⋅− ++
8
9