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- 2021-05-13 发布
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2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数 学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:
1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时,必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。
4.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么 球的表面积公式
P(A+B)=PA.+PB. S=4лR2
如果事件A、B相互独立,那么 其中R表示球的半径
P(A·B)=PA.+PB. 球的体积公式
1+2+…+n V=
12+22+…+n2= 其中R表示球的半径
13+23++n3=
第Ⅰ卷(选择题 共55分)
一、选择题:本大题共11小题,每小题5分,共55分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中,反函数是其自身的函数为
A.
B.
C.
D.
2.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面内,“l”是lm且“ln”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.若对任意R,不等式≥ax恒成立,则实数a的取值范围是
A.a<-1
B.≤1
C. <1
D.a≥1
4.若a为实数,=-i,则a等于
A.
B.—
C.2
D.—2
5.若,,则的元素个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
6.函数的图象为C,
①图象关于直线对称;
②函灶在区间内是增函数;
③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.
以上三个论断中,正确论断的个数是
A.0
B.1
C.2
D.3
7.如果点在平面区域上,点在曲线上,那么 的最小值为
A.
B.
C.
D.
8.半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点,则与两点间的球面距离为
A.
B.
C.
D.
9.如图,和分别是双曲线的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△是等边三角形,则双曲线的离心率为
A.
B.
C.
D.
10.以表示标准正态总体在区间()内取值的概率,若随机变量服从正态分布,则概率等于
A.-
B.
C.
D.
11.定义在R上的函数既是奇函数,又是周期函数,是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为,则可能为
A.0
B.1
C.3
D.5
第Ⅱ卷(非选择题 共95分)
注意事项:
请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效.
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。把答案填在答题卡的相应位置。
12.若(2x3+)n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于 。
13.在四面体O-ABC中,为BC的中点,E为AD的中点,则= (用a,b,c表示)。
14.如图,抛物线y=--x2+1与x轴的正半轴交于点A,将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线,与抛物线的交点依次为Q1,Q2,…,Qn-1,从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时,这些三角形的面积之和的极限为 。
15.在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是 (写出所有正确结论的编号)。
①矩形;
②不是矩形的平行四边形;
③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;
④每个面都是等边三角形的四面体;
⑤每个面都是直角三角形的四面体。
三、解答题:本大题共6小题,共79分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.(本小题满分12分)
已知0<a<的最小正周期,b=(cos a,2),且a·b=m。求的值。
17.(本小题满分14分)
如图,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形,DD1⊥平面A1B1C1D1,DD1⊥平面ABCD,DD1=2。
(Ⅰ)求证:A1C1与AC共面,B1D1与BD共面;
(Ⅱ)求证:平面A1ACC1⊥平面B1BDD1;
(Ⅲ)求二面角A-BB1-C的大小(用反三角函数值圾示)。
18.(本小题满分14分)
设a≥0,f (x)=x-1-ln2 x+2a ln x(x>0)。
(Ⅰ)令F(x)=xf'(x),讨论F(x)在(0,+∞)内的单调性并求极值;
(Ⅱ)求证:当x>1时,恒有x>ln2x-2a ln x+1。
19.(本小题满分12分)
如图,曲线G的方程为y2=2x(y≥0)。以原点为圆心,以t(t >0)为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B。直线AB与x轴相交于点C。
(Ⅰ)求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式;
(Ⅱ)设曲线G上点D的横坐标为a+2,求证:直线CD的斜率为定值。
20.(本小题满分13分)
在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔。以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数。
(Ⅰ)写出ξ的分布列(不要求写出计算过程);
(Ⅱ)求数学期望Eξ;
(Ⅲ)求概率P(ξ≥Eξ)。
21.(本小题满分14分)
某国采用养老储备金制度。公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此,历年所交纳的储务金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列,与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利。这就是说,如果固定年利率为r(r>0),那么,在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,……,以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额。
(Ⅰ)写出Tn与Tn-1(n≥2)的递推关系式;
(Ⅱ)求证:Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列,{Bn}是一个等差数列。
2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数 学(理科)
参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分55分。
1.D 2.A 3.B 4.B 5.C 6.C
7.A 8.C 9.D 10.B 11.D
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分。
12.7
13.
14.
15.①③④⑤
三、解答题
16.(本小题满分12分)
本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式,考查运算能力和推理能力.本小题满分12分。
解:因为为的最小正周期,故
因a·b=m,又a·b=,
故
由于,所以
=
=
17.(本小题满分14分)
本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识,考查空间想象能力和思维能力,应用向量知识解决立体几何问题的能力.本小题满分14分。
解法1(向量法):
以D为原点,以DA,DC,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图,则有
A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),
(Ⅰ)证明:
于是与AC共面,与BD共面.
(Ⅱ)证明:
内的两条相交直线,
又平面
(Ⅲ)解:
设
于是
设
于是
解法2(综合法):
(Ⅰ)证明:
∥平面ABCD.
于是∥CD,∥DA.
设E,F分别为DA,DC的中点,连结EF,
有∥∥
∴∥
于是∥
由DE=DF=1,得EF∥AC,
故∥
与AC共面.
过点
于是
所以点O在BD上,故
(Ⅱ)证明:
又BD⊥AC(正方形的对角线互相垂直),
内的两条相交直线,
又平面
(Ⅲ)解:∵直线DB是直线
根据三垂线定理,有AC⊥
过点A在平面
则
于是
所以,∠AMC是二面角
根据勾股定理,有
二面角
18.(本小题满分14分)
本小题主要考查函数导数的概念与计算,利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法,考查综合运用有关知识解决问题的能力,本小题满分14分.
(Ⅰ)解:根据求导法则得
故
于是
列表如下:
x
(0,2)
2
(2,+∞)
F′(x)
-
0
+
F(x)
↓
极小值F(2)
↑
故知F(x)在(0,2)内是减函数,在(2,+∞)内是增函数,所以,在x=2处取得极小值F(2)=2-2In2+2a.
(Ⅱ)证明:由
于是由上表知,对一切
从而当
所以当
故当
19.(本小题满分12分)
本小题综合考查平面解析几何知识,主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系,考查运算能力与思维能力,综合分析问题的能力.本小题满分12分.
解:
(Ⅰ)由题意知,A()
因为
由于
由点B(0,t)C(c,0)的坐标知,直线BC的方程为
又因点A在直线BC上,故有
将(1)代入上式,得
解得
(Ⅱ)因为
所以直线CD的斜率为定值.
20.(本小题满分13分)
本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算,考查分析问题及解决实际问题的能力.本小题满分13分.
解:
(1)的分布列为
(Ⅱ)数学期望为E=
(Ⅲ)所求的概率
21.(本小题满分14分)
本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法,考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力,考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.本小题满分14分.
解:
(Ⅰ)我们有
(Ⅱ)
= ①
在①式两端同乘1+r,得
②
②-①,得
=
即
如果记
则
其中
。
2007年普通高等学招生全国统一考试(安徽卷)
数 学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:
1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答
题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时,必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。
4.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式:
如果事件、互斥,那么 球的表面积公式
如果事件、相互独立,那么 其中表示球的半径
球的体积公式
1+2…+n=
…+ 其中表示球的半径
…+
第Ⅰ卷(选择题共55分)
一、选择题:本大题共11小题,每小题5分,共55分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)若,则=
(A) (B) (C) (D)
(2)椭圆的离心率为
(A) (B) (C) (D)
(3)等差数列的前项和为若
(A)12 (B)10 (C)8 (D)6
(4)下列函数中,反函数是其自身的函数为
(A) (B)
(C) (D)
(5)若圆的圆心到直线的距离为,则a的值为
(A)-2或2 (B) (C)2或0 (D)-2或0
(6)设均为直线,其中在平面的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(7)图中的图象所表示的函数的解析式为
(A) (0≤x≤2)
(B) (0≤x≤2)
(C) (0≤x≤2)
(D) (0≤x≤2)
(8)设a>1,且,则的大小关系为
(A) n>m>p (B) m>p>n (C) m>n>p (D) p>m>n
(9)如果点P在平面区域上,点O在曲线最小值为
(A) (B) (C) (D)
(10)把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角, 折成直二面角后,在A,B,C,D四点所在的球面上,B与D两点之间的球面距离为
(A) (B) (C) (D)
(11)定义在R上的函数f (x)既是奇函数, 又是周期函数, T是它的一个正周期.若将方程f (x)=0在闭区[-T,T]上的根的个数记为n,则n可能为
(A)0 (B)1 (C)3 (D)5
(在此卷上答题无效)
绝密★启用前
2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数 学(理科)
第Ⅱ卷(非选择题 共95分)
注意事项:
请用0.5毫米黑色水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效.
二、填空题:本大共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.
(12)已知,则( 的值等于 .
(13)在四面体O-ABC中,D为BC的中点,E为AD的中点,则= (用a,b,c表示).
(14)在正方体上任意选择两条棱, 则这两条棱相互平行的概率为 .
(15)函数的图象为C, 如下结论中正确的是 (写出所有正确结论的编号).
①图象C关于直线对称;
②图象C关于点对称;
③函数)内是增函数;
④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
三、解答题:本大题共6小题,共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(16)(本小题满分10分)
解不等式>0.
(17) (本小题满分14分)
如图,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形,DD1⊥平面A1B1C1D1,DD1⊥平面ABCD,DD1=2.
(Ⅰ)求证:A1C1与AC共面,B1D1与BD共面;
(Ⅱ)求证:平面A1ACC1⊥平面B1BDD1;
(Ⅲ)求二面角A-BB1-C的大小(用反三角函数值表示)
(18)(本小题满分14分)
设F是抛物线G:x2=4y的焦点.
(Ⅰ)过点P(0,-4)作抛物线G的切线,求切线方程:
(Ⅱ)设A、B为势物线G上异于原点的两点,且满足,延长AF、BF
分别交抛物线G于点C,D,求四边形ABCD面积的最小值.
(19)(本小题满分13分)
在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔.
(Ⅰ)求笼内恰好剩下1只果蝇的概率;
(Ⅱ)求笼内至少剩下5只果蝇的概率.
(20)(本小题满分14分)
设函数
f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4,x∈R,
其中≤1,将f(x)的最小值记为g(t).
(Ⅰ)求g(t)的表达式;
(Ⅱ)讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.
(21)(本小题满分14分)
某国采用养老储备金制度,公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后第年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此,历年所交纳的储备金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列,与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利,这就是说,如果固定年利率为r(r>0),那么,在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为n(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,……,以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.
(Ⅰ)写出Tn与Tn-1(n≥2)的递推关系式;
(Ⅱ)求证:Tn=An+Bn,其中是一个等比数列,是一个等差数列.
2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(文史)参考答案
一、选择题:本题考查基本知识的基本运算.每小题5分,满分55分.
1.D 2.A 3.C 4.D 5.C 6.A
7.B 8.B 9.A 10.C 11.D
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
12. 13. 14. 15.①②③
三、解答题
16.本小题主要考查三角函数的基本性质,含绝对值不等式的解法,考查基本运算能力.本小题满分10分.
解:因为对任意,,所以原不等式等价于.
即,,,故解为.
所以原不等式的解集为.
17.本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识,考查空间想象能力和思维能力,应用向量知识解决立体几何问题的能力.本小题满分14分.
解法1(向量法):
A
B
C
D
以为原点,以所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系如图,
则有.
(Ⅰ)证明:.
.
与平行,与平行,
于是与共面,与共面.
(Ⅱ)证明:,,
,.
与是平面内的两条相交直线.
平面.
又平面过.
平面平面.
(Ⅲ)解:.
设为平面的法向量,
,.
于是,取,则,.
设为平面的法向量,
,.
于是,取,则,.
A
B
C
D
.
二面角的大小为.
解法2(综合法):
(Ⅰ)证明:平面,平面.
,,平面平面.
于是,.
设分别为的中点,连结,
有.
,
于是.
由,得,
故,与共面.
过点作平面于点,
则,连结,
于是,,.
,.
,.
所以点在上,故与共面.
(Ⅱ)证明:平面,,
又(正方形的对角线互相垂直),
与是平面内的两条相交直线,
平面.
又平面过,平面平面.
(Ⅲ)解:直线是直线在平面上的射影,,
根据三垂线定理,有.
过点在平面内作于,连结,
则平面,
于是,
所以,是二面角的一个平面角.
根据勾股定理,有.
,有,,,.
,,
二面角的大小为.
18.本小题主要考查抛物线的方程与性质,抛物线的切点与焦点,向量的数量积,直线与抛物线的位置关系,平均不等式等基础知识,考查综合分析问题、解决问题的能力.本小题满分14分.
解:(I)设切点.由,知抛物线在点处的切线斜率为
,故所求切线方程为.
即.
因为点在切线上.
所以,,.
所求切线方程为.
(II)设,.
由题意知,直线的斜率存在,由对称性,不妨设.
因直线过焦点,所以直线的方程为.
点的坐标满足方程组
得,
由根与系数的关系知
.
因为,所以的斜率为,从而的方程为.
同理可求得.
.
当时,等号成立.所以,四边形面积的最小值为.
19.本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算,运用概率知识分析问题及解决实际问题的能力.本小题满分13分.
解:以表示恰剩下只果蝇的事件.
以表示至少剩下只果蝇的事件.
可以有多种不同的计算的方法.
方法1(组合模式):当事件发生时,第只飞出的蝇子是苍蝇,且在前只飞出的蝇子中有1只是苍蝇,所以.
方法2(排列模式):当事件发生时,共飞走只蝇子,其中第只飞出的蝇子是苍蝇,哪一只?有两种不同可能.在前只飞出的蝇子中有只是果蝇,有种不同的选择可能,还需考虑这只蝇子的排列顺序.所以.
由上式立得;
.
20.本小题主要考查同角三角函数的基本关系,倍角的正弦公式,正弦函数的值域,多项式函数的导数,函数的单调性,考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间,极值与最值等问题的综合能力.本小题满分14分.
解:(I)我们有
.
由于,,故当时,达到其最小值,即
.
(II)我们有.
列表如下:
极大值
极小值
由此可见,在区间和单调增加,在区间单调减小,极小值为,极大值为.
21.本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法,考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.本小题满分14分.
解:(Ⅰ)我们有.
(Ⅱ),对反复使用上述关系式,得
, ①
在①式两端同乘,得
②
②①,得
.
即.
如果记,,
则.
其中是以为首项,以为公比的等比数列;是以为首项,为公差的等差数列.
2008年普通高等学校招生一考试(安徽卷)数 学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.
考生注意事项:答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致.
1. 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答第Ⅱ卷时,必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写.在试题卷上作答无效.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回.
参考公式:如果事件互斥,那么 球的表面积公式
其中表示球的半径
如果事件相互独立,那么
球的体积公式
如果随机变量 其中表示球的半径
第I卷(选择题共60分)
一、选择题:只有一项是符合题目要求的.
(1).复数 ( )A.2 B.-2 C. D.
(2).集合,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
(3).在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若,,则( )
A. (-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4)
(4).已知是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是( )
A. B.
C. D.
(5).将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称,则向量的坐标可能为( )
A. B. C. D.
(6).设则中奇数的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
(7).是方程至少有一个负数根的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(8).若过点的直线与曲线有公共点,则直线的斜率的取值范围为( )
A. B. C. D.
(9).在同一平面直角坐标系中,函数的图象与的图象关于直线对称。而函数的图象与的图象关于轴对称,若,则的值是( )
A. B. C. D.
10).设两个正态分布和的密度函数图像如图所示。则有( )
A. B.
C. D.
(11).若函数分别是上的奇函数、偶函数,且满足,则有( )
A. B.
C. D.
(12)12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是( )
A. B. C. D.
注意: 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效.
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.
(13).函数的定义域为 .
(14)在数列在中,,,,其中为常数,则的值是
(15)若为不等式组表示的平面区域,则当从-2连续变化到1时,动直线 扫过中的那部分区域的面积为
(16)已知在同一个球面上,若
,则两点间的球面距离是
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17).(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程(Ⅱ)求函数在区间上的值域
(18).(12分如图,在四棱锥中,底面四边长为1的菱形,, , ,为的中点,为的中点(Ⅰ)证明:直线;(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小; (Ⅲ)求点B到平面OCD的距离。
19).( 12分)为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为p,设为成活沙柳的株数,数学期望,标准差为。
(Ⅰ)求n,p的值并写出的分布列;
(Ⅱ)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率
(20).(12分)设函数
(Ⅰ)求函数的单调区间; (Ⅱ)已知对任意成立,求实数
的取值范围。
(21).(13分)设数列满足为实数
(Ⅰ)证明:对任意成立的充分必要条件是;
(Ⅱ)设,证明:;
(Ⅲ)设,证明:
(22).(13分)设椭圆过点,且着焦点为
(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时,在线段上取点,满足,证明:点总在某定直线上
答案1A 2D 3B 4D 5C 6A 7B 8C 9B 10A 11D 12C
13: 14: 1 15: 16:
17解:(1)
由
函数图象的对称轴方程为
(2)
因为在区间上单调递增,在区间上单调递减,
所以 当时,去最大值 1
又 ,当时,取最小值
所以 函数 在区间上的值域为
18 方法一(综合法) (1)取OB中点E,连接ME,NE
又
(2)
为异面直线与所成的角(或其补角)作连接
,
所以 与所成角的大小为
(3)点A和点B到平面OCD的距离相等,连接OP,过点A作
于点Q,
又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
,
,所以点B到平面OCD的距离为
方法二(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为
轴建立坐标系
,
(1)
设平面OCD的法向量为,则
即
取,解得
(2)设与所成的角为,
, 与所成角的大小为
(3)设点B到平面OCD的交流为,则为在向量上的投影的绝对值,
由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为
19 (1)由得,从而
的分布列为
0
1
2
3
4
5
6
(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则 得
或
20 解 (1) 若 则 列表如下
+
0
-
-
单调增
极大值
单调减
单调减
(2)在 两边取对数, 得 ,由于所以 (1)
由(1)的结果可知,当时, ,
为使(1)式对所有成立,当且仅当,即
21解 (1) 必要性 : , 又 ,即
充分性 :设 ,对用数学归纳法证明
当时,.假设
则,且
,由数学归纳法知对所有成立
(2) 设 ,当时,,结论成立
当 时,
,由(1)知,所以 且
(3) 设 ,当时,,结论成立
当时,由(2)知
22解 (1)由题意: ,解得,所求椭圆方程为
(2)方法一 设点Q、A、B的坐标分别为。
由题设知均不为零,记,则且
又A,P,B,Q四点共线,从而
于是 ,
,
从而 ,(1) ,(2)
又点A、B在椭圆C上,即
(1)+(2)×2并结合(3),(4)得
即点总在定直线上
方法二设点,由题设,均不为零。
且 又 四点共线,可设,于是
(1) (2)
由于在椭圆C上,将(1),(2)分别代入C的方程整理得
3)
(4)
(4) -(3) 得
2008年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数 学(文科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.
考生注意事项:
1. 答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致.
2. 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.
3. 答第Ⅱ卷时,必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写.在试题卷上作答无效.
4. 考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回.
参考公式:
如果事件互斥,那么 球的表面积公式
其中表示球的半径
如果事件相互独立,那么 球的体积公式
其中表示球的半径
第I卷(选择题共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1).若为全体实数的集合,则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
(2).若,, 则( )
A.(1,1) B.(-1,-1) C.(3,7) D.(-3,-7)
(3).已知是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是( )
A. B.
C. D.
(4).是方程ax2+1=0有一个负数根的( )
A.必要不充分条件 B.充分必要条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
(5).在三角形中,,则的大小为( )
A. B. C. D.
(6).函数的反函数为
A. B.
C. D.
(7).设则中奇数的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
(8).函数图像的对称轴方程可能是( )
A. B. C. D.
(9).设函数 则( )
A.有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数
(10)若过点的直线与曲线有公共点,则直线的斜率的取值范围为( )
A. B. C. D.
(11) 若为不等式组表示的平面区域,则当从-2连续变化到1时,动直线 扫过中的那部分区域的面积为 ( )
A. B.1 C. D.2
(12)12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.
(13).函数的定义域为 .
(14).已知双曲线的离心率是。则=
(15) 在数列在中,,,,其中为常数,
则
(16)已知点在同一个球面上,若
,则两点间的球面距离是
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17).(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)求函数的最小正周期
(Ⅱ)求函数在区间上的值域
(18).(本小题满分12分)
在某次普通话测试中,为测试汉字发音水平,设置了10张卡片,每张卡片印有一个汉字的拼音,其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.
(Ⅰ)现对三位被测试者先后进行测试,第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张,测试后放回,余下2位的测试,也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上,拼音都带有后鼻音“g”的概率。
(Ⅱ)若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张,求这三张卡片上,拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率。
(19).(本小题满分12分
如图,在四棱锥中,底面是边长为1的菱形,, , ,为的中点。
(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(Ⅱ)求点B到平面OCD的距离。
(20).(本小题满分12分)
设函数为实数。
(Ⅰ)已知函数在处取得极值,求的值;
(Ⅱ)已知不等式对任意都成立,求实数的取值范围。
(21).(本小题满分12分)
设数列满足其中a , c为实数,且
(Ⅰ)求数列的通项公式
(Ⅱ)设,,求数列的前项和;
(Ⅲ)若对任意成立,证明
(22).(本小题满分14分)
设椭圆其相应于焦点的准线方程为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两点,求证:
;
(Ⅲ)过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A , B和D , E ,求 的最小值
数学(文科)试题参考答案
一. 选择题
1D 2B 3B 4B 5A 6C 7A 8D 9A 10D 11C 12C
二. 13: 14: 4 15: -1 16:
三. 解答题
17解:
(1)
(2)
因为在区间上单调递增,在区间上单调递减,
所以 当时,取得最大值 1
又 ,
当时,取得最小值
所以 函数 在区间上的值域为
18 本题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算,运用概率知识分析问题和解决实际问题的能力,本小题满分12分。
解:
(1)每次测试中,被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上,拼音带有后鼻音“g”
的概率为,因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的,因而所求的概率为
(2)设表示所抽取的三张卡片中,恰有张卡片带有后鼻音“g”的事件,且其相应的概率为则
,
因而所求概率为
19 本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、异面直线所成角即点到平面的距离等知识,考查空间想象能力和思维能力,用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分12分。
解:方法一(综合法)
(1)
为异面直线与所成的角(或其补角)
作AP⊥CD于点P ,连接MP
,
所以 与所成角的大小为
(2)点B和点A到平面OCD的距离相等,
连接OP,过点A作 于点Q,
又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
,
,所以点B到平面OCD的距离为
方法二(向量法)
作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系
,
(1)设与所成的角为,
,
与所成角的大小为
(2)
设平面OCD的法向量为,则
即
取,解得
设点B到平面OCD的距离为,则为在向量n上的投影的绝对值,
, .
所以点B到平面OCD的距离为
20 本题主要考查函数倒数的概念与计算,倒数于函数极值的关系,不等式的性质和综合运用有关知识解决问题的能力。本小题满分12分。
解:
(1) ,由于函数在时取得极值,所以
即
(2) 方法一
由题设知:对任意都成立
即对任意都成立
设 , 则对任意,为单调递增函数
所以对任意,恒成立的充分必要条件是
即 ,
于是的取值范围是
方法二
由题设知:对任意都成立
即对任意都成立
于是对任意都成立,即
于是的取值范围是
21本题主要考查数列的概念,数列通项公式的求法以及不等式的证明等;考查运算能力,综合运用知识解决问题的能力。本小题满分12分。
解 (1) 方法一:
当时,是首项为,公比为的等比数列。
,即 。当时,仍满足上式。
数列的通项公式为 。
方法二
由题设得:当时,
时,也满足上式。
数列的通项公式为 。
(2) 由(1)得
(3) 证明:由(1)知
若,则
由对任意成立,知。
下证,用反证法
方法一:假设,由函数的函数图象知,当趋于无穷大时,趋于无穷大
不能对恒成立,导致矛盾。
。
方法二:假设,,
即 恒成立 (*)
为常数, (*)式对不能恒成立,导致矛盾,
22本题主要考查直线的方程、椭圆的方程和性质、直线与椭圆的位置关系等知识,考试数形结合的数学思想以及运算能力和综合解题能力。本小题满分14分。
解 :(1)由题意得:
椭圆的方程为
(2)方法一:
由(1)知是椭圆的左焦点,离心率
设为椭圆的左准线。则
作,与轴交于点H(如图)
点A在椭圆上
同理
。
方法二:
当时,记,则
将其代入方程
得
设 ,则是此二次方程的两个根.
................(1)
代入(1)式得 ........................(2)
当时, 仍满足(2)式。
(3)设直线的倾斜角为,由于由(2)可得
,
当时,取得最小值
2009年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(理)试题
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷1至2页。第II卷3
至4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:
1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名,座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2.答第I卷时、每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮檫干净后,在选涂其他答案标号。
3.答第II卷时,必须用直径0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后在用0.5毫米的黑色墨色签字笔清楚。必须在标号所指示的答题区域作答,超出答题卡区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式:
S表示底面积,h表示底面的高
如果事件A、B互斥,那么 棱柱体积
P(A+B)=P(A)+P (B) 棱锥体积
第I卷 (选择题 共50分)
一.选择题:本大题10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)i是虚数单位,若,则乘积的值是(B)
(A)-15 (B)-3 (C)3 (D)15
(2)若集合则A∩B是(D)
(A) (B)
(C) (D)
(3)下列曲线中离心率为的是(B)
(A) (B) (C) (D)
(4)下列选项中,p是q的必要不充分条件的是(A)
(A)p:>b+d , q:>b且c>d
(B)p:a>1,b>1, q:的图像不过第二象限
(C)p: x=1, q:
(D)p:a>1, q: 在上为增函数
(5)已知为等差数列,++=105,=99.以表示的前项和,则使得达到最大值的是(B)
(A)21 (B)20 (C)19 (D) 18
(6)设<b,函数的图像可能是(C)
(7)若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分,则的值是(A) (A) (B) (C) (D)
(8)已知函数,的图像与直线的两个相邻交点的距离等于,则的单调区间是(C)
(A) (B)
(C) (D)
(9)已知函数在R上满足,则曲线在点处的切线方程是(A)
(A) (B) (C) (D)
(10)考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于(D)
(A) (B) (C) (D)
二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置。
(11)若随机变量~,则=________.
解答:
(12)以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为,它与曲线(为参数)相交于两点A和B,则|AB|=_______.
解答:
(13) 程序框图(即算法流程图)如图所示,其输出结果是_______.
解答:127
(14)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为. 如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是=________.
解答:2
(15)对于四面体ABCD,下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)。
相对棱AB与CD所在的直线异面;
由顶点A作四面体的高,其垂足是BCD的三条高线的交点;
若分别作ABC和ABD的边AB上的高,则这两条高所在的直线异面;
分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点;
最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。
解答:
三.解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡的指定区域内。
(16)(本小题满分12分)
在ABC中,sin(C-A)=1, sinB=。
(I)求sinA的值;
(II)设AC=,求ABC的面积。
(16)本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能力。本小题满分12分
解:(I)由知。
又所以即
故
(II)由(I)得:
又由正弦定理,得:
所以
(17)(本小题满分12分)
某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的。对于C,因为难以断定他是受A还是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是。同样也假定D受A、B和C感染的概率都是。在这种假定之下,B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量。写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值(即数学期望).
(17)本小题主要考查古典概型及其概率计算,考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念,通过设置密切贴近现实生活的情境,考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。本小题满分12分。
X
1
2
3
P
解:随机变量X的分布列是
X的均值。
附:X的分布列的一种求法
共有如下6种不同的可能情形,每种情形发生的概率都是:
①
②
③
④
⑤
⑥
A-B-C-D
A—B—C
└D
A—B—C
└D
A—B—D
└C
A—C—D
└B
在情形①和②之下,A直接感染了一个人;在情形③、④、⑤之下,A直接感染了两个人;在情形⑥之下,A直接感染了三个人。
(18)(本小题满分13分)
如图,四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形,其对角线AC=2,
BD=,AE、CF都与平面ABCD垂直,AE=1,CF=2。
(I)求二面角B-AF-D的大小;
(II)求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积。
(18) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识,考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。本小题满分13分。
解:(I)(综合法)连接AC、BD交于菱形的中心O,过O作OG⊥AF,G为垂足。
连接BG、DG。
由BD⊥AC,BD⊥CF,得:BD⊥平面ACF,故BD⊥AF.
于是AF⊥平面BGD,所以BG⊥AF,DG⊥AF,∠BGD为二面角B-AF-D的平面角。
由FC⊥AC,FC=AC=2,得∠FAC=,OG=.
由OB⊥OG,OB=OD=,得∠BGD=2∠BGO=.
(向量法)以A为坐标原点,、、方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).于是
设平面ABF的法向量,则由得。
令得,
同理,可求得平面ADF的法向量。
由知,平面ABF与平面ADF垂直,
二面角B-AF-D的大小等于。
(II)连EB、EC、ED,设直线AF与直线CE相交于点H,则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。
过H作HP⊥平面ABCD,P为垂足。
因为EA⊥平面ABCD,FC⊥平面ABCD,,所以平面ACFE⊥平面ABCD,
从而
由得。
又因为
故四棱锥H-ABCD的体积
(19)(本小题满分12分)
已知函数,讨论的单调性.
(19)本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性,考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。
解:的定义域是(0,+),
设,二次方程的判别式.
① 当,即时,对一切都有.
此时在上是增函数。
② 当,即时,仅对有,对其余的都有, 此时在上也是增函数。
③ 当,即时,
方程有两个不同的实根,,.
+
0
_
0
+
单调递增↑
极大
单调递减↓
极小
单调递增↑
此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.
(20)(本小题满分13分)
点在椭圆上,直线与直线垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为,直线的倾斜角为.
(I)证明: 点是椭圆与直线的唯一交点;
(II)证明:构成等比数列。
(20)本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程,直线和曲线的几何性质,等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。
解:(I)(方法一)由得代入椭圆,
得.
将代入上式,得从而
因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P.
(方法二)显然P是椭圆与的交点,若Q是椭圆与
的交点,代入的方程,得
即故P与Q重合。
(方法三)在第一象限内,由可得
椭圆在点P处的切线斜率
切线方程为即。
因此,就是椭圆在点P处的切线。
根据椭圆切线的性质,P是椭圆与直线的唯一交点。
(II)的斜率为的斜率为
由此得构成等比数列。
(21)(本小题满分13分)
首项为正数的数列满足
(I)证明:若为奇数,则对一切都是奇数;
(II)若对一切都有,求的取值范围。
(21)本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识,考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力,考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。
解:(I)已知是奇数,假设是奇数,其中为正整数,
则由递推关系得是奇数。
根据数学归纳法,对任何,都是奇数。
(II)(方法一)由知,当且仅当或。
另一方面,若则;若,则
根据数学归纳法,
综合所述,对一切都有的充要条件是或。
(方法二)由得于是或。
因为所以所有的均大于0,因此与同号。
根据数学归纳法,,与同号。
因此,对一切都有的充要条件是或。
2009年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(文科)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第II卷3至页。全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:
1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2.答第I卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选题其他答案标号。
3.答第II卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置给出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效。在试题卷、草稿纸上答题无效。
4. 考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式:
如果事件互斥,那么 S表示底面积,h表示底面上的高
棱柱体积 V=Sh
棱锥体积
第I卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. i是虚数单位,i(1+i)等于
A.1+i B. -1-i C.1-i D. -1+i
2. 若集合,则是
A.{1,2,3} B. {1,2}
C. {4,5} D. {1,2,3,4,5}
3.不等式组所表示的平面区域的面积等于
A. B. C. D.
4.“”是“且”的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知为等差数列,,则等于
A. -1 B. 1 C. 3 D.7
6.下列曲线中离心率为的是
A. B. C. D.
7. 直线过点(-1,2)且与直线垂直,则的方程是
A. B.
C. D.
8.设,函数的图像可能是
9.设函数,其中,则导数的取值范围是
A. B. C. D.
10.考察正方体6个面的中心,从中任意选3个点连成三角形,再把剩下的3个点也连成三角形,则所得的两个三角形全等的概率等于
A.1 B. C. D. 0
2009年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(文科)
第II卷(非选择题 共100分)
考生注意事项:
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置。
11.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是________。
12.程序框图(即算法流程图)如图所示,其输入结果是_______。
13.从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________。
14.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,或=+
,其中,R ,则+= _________。
15.对于四面体ABCD,下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)。
○11相对棱AB与CD所在的直线是异面直线;
○22由顶点A作四面体的高,其垂足是BCD的三条高线的交点;
○33若分别作ABC和ABD的边AB上的高,则这两条高的垂足重合;
○44任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积;
○55分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点。
三.解答题;本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。
16.(本小题满分12分)
在ABC中,C-A=, sinB=。
(I)求sinA的值;
(II)设AC=,求ABC的面积。
17.(本小题满分12分)
某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A,将其与原有的一个优良品种B进行对照
试验,两种小麦各种植了25亩,所得亩产数据(单位:千克)如下:
品种A:357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,414,
415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,451,454
品种B:363,371,374,383,385,386,391,392,394,395,397
397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430
(Ⅰ)完成所附的茎叶图
(Ⅱ)用茎叶图处理现有的数据,有什么优点?
(Ⅲ)通过观察茎叶图,对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较,写出统计结论。
18.(本小题满分12分)
已知椭圆(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心。椭圆短半轴长半径的
圆与直线y=x+2相切,
(Ⅰ)求a与b;
(Ⅱ)设该椭圆的左,右焦点分别为和,直线过且与x轴垂直,动直线与y轴垂直,交与点p..求线段P垂直平分线与的交点M的轨迹方程,并指明曲线类型。
19.(本小题满分12分)
已知数列{} 的前n项和,数列{}的前n项和
(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式;
(Ⅱ)设,证明:当且仅当n≥3时,<
20.(本小题满分13分)
如图,ABCD的边长为2的正方形,直线l与平面ABCD平行,g和F式l上的两个不同点,且EA=ED,FB=FC, 和是平面ABCD内的两点,和都与平面ABCD垂直,
(Ⅰ)证明:直线垂直且平分线段AD:
(Ⅱ)若∠EAD=∠EAB=60°,EF=2,求多面体ABCDEF的体积。
21.(本小题满分14分)
已知函数,
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)设a=3,求在区间{1,}上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。
2009年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(文科)参考答案
一、选择题
1- 10 D B C A B B A C D A
二、填空题
11.【解析】设由可得故
【答案】(0,-1,0)
12. 【解析】根据流程图可得的取值依次为1、3、7、15、31、63……
【答案】127
13. 【解析】依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况:
2、3、4或3、4、5或2、4、5,故=0.75.
【答案】0.75
14.【解析】设、则 , ,
代入条件得
【答案】4/3
15. 【解析】由空间四面体棱,面关系可判断①④⑤正确,可举例说明②③错误.
【答案】①④⑤
解答题
16. 【思路】(1)依据三角函数恒等变形可得关于的式子,这之中要运用到倍角公式;
(2)应用正弦定理可得出边长,进而用面积公式可求出.
【解析】(1)∵∴
∴
∴
又 ∴
(2)如图,由正弦定理得∴
∴.
17. 【思路】由统计知识可求出A、B两种品种的小麦稳定性大小并画出茎叶图,用茎叶图处理数据,看其分布就比较明了。
【解析】(1)茎叶图如图所示
A
B
9 7
35
8 7
36
3
5
37
1 4
8
38
3 5 6
9 2
39
1 2 4 457 7
5 0
40
0 1 1 3 6 7
5 4 2
41
0 2 5 6
7 3 3 1
42
2
4 0 0
43
0
5 5 3
44
4 1
45
(2)用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况,而且可以看出每组中的具体数据.
(3)通过观察茎叶图,可以发现品种A的平均每亩产量为411.1千克,品种B的平均亩产量为397.8千克.由此可知,品种A的平均亩产量比品种B的平均亩产量高.但品种A的亩产量不够稳定,而品种B的亩产量比较集中D平均产量附近.
18. 【思路】(1)由椭圆建立a、b等量关系,再根据直线与椭圆相切求出a、b.
(2)依据几何关系转化为代数方程可求得,这之中的消参就很重要了。
【解析】(1)由于 ∴ ∴ 又 ∴b2=2,a2=3因此,.
(2)由(1)知F1,F2两点分别为(-1,0),(1,0),由题意可设P(1,t).(t≠0).那么线段PF1中点为,设M(x、y)是所求轨迹上的任意点.由于则消去参数t得
,其轨迹为抛物线(除原点)
19. 【思路】由可求出,这是数列中求通项的常用方法之一,在求出后,进而得到,接下来用作差法来比较大小,这也是一常用方法。
【解析】(1)由于
当时,
又当时
数列项与等比数列,其首项为1,公比为
(2)由(1)知
由即即
又时成立,即由于恒成立.
因此,当且仅当时,
20. 【思路】根据空间线面关系可证线线垂直,由分割法可求得多面体体积,体现的是一种部分与整体的基本思想。
【解析】(1)由于EA=ED且
点E在线段AD的垂直平分线上,同理点F在线段BC的垂直平分线上.
又ABCD是四方形
线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线
即点EF都居线段AD的垂直平分线上.
所以,直线EF垂直平分线段AD.
(2)连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥E—ABCD和正四面体E—BCF两部分.设AD中点为M,在Rt△MEE中,由于ME=1, .
—ABCD
又—BCF=VC-BEF=VC-BEA=VE-ABC
多面体ABCDEF的体积为VE—ABCD+VE—BCF=
21. 【思路】由求导可判断得单调性,同时要注意对参数的讨论,即不能漏掉,也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数在上的值域。
【解析】(1)由于
令
①当,即时, 恒成立.
在(-∞,0)及(0,+∞)上都是增函数.
②当,即时
由得或
或或
又由得
综上①当时, 在上都是增函数.
②当时, 在上是减函数,
在上都是增函数.
(2)当时,由(1)知在上是减函数.
在上是增函数.
又
函数在上的值域为
2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
理科数学测试
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.
2.答第I卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.
3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色签际笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效.
4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交.
参考公式:
如果事件A与B互斥,那么
如果A与B是两个任意事件,,那么
如果事件A与B相互独立,那么
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)是虚数单位,
(A) (B) (C) (D)
(2)若集合,则
(A) (B)
(C) (D)
(3)设向量,则下列结论中正确的是
(A) (B) (C)垂直 (D)
(4)若是R上周期为5的奇函数,且满足则=
(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2
(5)双曲线方程为,则它的右焦点坐标为
(A) (B) (C) (D)
(6)设,二次函数的图象可能是
(7)设曲线C的参数方程为(为参数),
直线的方程为,则曲线C到直线的距
离为的点的个数为
(A)1 (B)2
(C)3 (D)4
(8)一个几何全体的三视图如图,该几何体的表面积为
(A)280 (B)292
(C)360 (D)372
(9)动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知定时t=0时,点A的坐标是,则当时,动点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是
(A)[0,1] (B)[1,7] (C)[7,12] (D)[0,1]和[7,12]、
(10)设是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)
(在此卷上答题无效)
绝密★启用并使用完毕前
2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数 学(理科)
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
考生注意事项:
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.
(11)命题“对任何”的否定是 .
(12)的展开式中,的系数等于 .
(13)设满足约束条件若目标函数的最大值为8,则的最小值为 .
(14)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值 .
(15)甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红
球,3个白球和3个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,
分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球
的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球
是红球的事件,则下列结论中正确的是 (写出所有正确结
论的编号).
①;
②;
③事件B与事件A1相互独立;
④A1,A2,A3是两两互斥的事件;
⑤的值不能确定,因为它与A1,A2,A3中究竟哪一个发生有关.
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答写在答题卡上的指定区域内.
(16)(本小题满分12分)
设是锐角三角形,分别是内角A,B,C所对边长,并且
(Ⅰ)求角A的值;
(Ⅱ)若,求(其中).
(17)(本小题满分12分)
设a为实数,函数
(I)求的单调区间与极值;
(II)求证:当时,
(18)(本小题满分13分)
如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF//AB,EF⊥FB,AB=2EF,
BF=FC,H为BC的中点.
(I)求证:FH//平面EDB;
(II)求证:AC⊥平面EDB;
(III)求二面角B—DE—C的大小.
(19)(本小题满分13分)
已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率
(I)求椭圆E的方程;
(II)求的角平分线所在直线的方程;
(III)在椭圆E上是否存在关于直线对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.
(20)(本小题满分12分)
设数列中的每一项都不为0.
证明,为等差数列的充分必要条件是:对任何,都有
(21)(本小题满分13分)
品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试,一种通常采用的测试方法如下:拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝,要求其按品质优劣为它们排序,经过一段时间,等其记忆淡忘之后,再让其品尝这n瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序,这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.
现设n=4,分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号,并令
则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.
(I)写出X的可能值集合;
(II)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列,求X的分布列;
(III)某品酒师在相继进行的三轮测试中,都有,
(i)试按(II)中的结果,计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立);
(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何?说明理由.
参考答案
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)B (2)A (3)C (4)A (5)C
(6)D (7)B (8)C (9)D (10)D
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.
(11)存在
(12)15(若只写,也可)
(13)4 (14)12 (15)②④
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答写在答题卡上的指定区域内.
(16)(本小题满分12分)
本题考查两角和的正弦公式,同角三角函数的基本关系,特殊角的三角函数值,向量的数量积,利用余弦定理解三角形等有关知识,考查综合运算求解能力.
解:(I)因为
(II)由可得
①
由(I)知所以
②
由余弦定理知及①代入,得
③+②×2,得,所以
因此,c,b是一元二次方程的两个根.
解此方程并由
(17)(本小题满分12分)
本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和证明函数不等式,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.
(I)解:由
令的变化情况如下表:
—
0
+
单调递减
单调递增
故的单调递减区间是,单调递增区间是,
处取得极小值,
极小值为
(II)证:设
于是
由(I)知当
于是当
而
即
(18)(本小题满分13分)
本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明,考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力,同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.
[综合法](1)证:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,连EG,GH,
又H为BC的中点,
∴四边形EFHG为平行四边形,
∴EG//FH,而EG平面EDB,∴FH//平面EDB.
(II)证:由四边形ABCD为正方形,有AB⊥BC,又EF//AB,
∴EF⊥BC.
而EF⊥FB,∵EF⊥平面BFC,∴EF⊥FH,∴AB⊥FH.
又BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC.
∴FH⊥平面ABCD,∴FH⊥AC,
又FH//BC,∴AC=EG.
又AC⊥BD,EGBD=G,∴AG⊥平面EDB.
(III)解:EF⊥FB,∠BFC=90°,∴BF⊥平面CDEF,
在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线于K,
则∠FKB为二面角B—DE—C的一个平面角.
设EF=1,则AB=2,FC=,DE=
又EF//DC,∴∠KEF=∠EDC,∴sin∠EDC=sin∠KEF=
∴FK=EFsin∠KEF=,tan∠FKB=∴∠FKB=60°
∴二面角B—DE—C为60°.
[向量法]
∵四边形ABCD为正方形,∴AB⊥BC,又EF//AB,∴EF⊥BC.
又EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC.
∴EF⊥FH,∴AB⊥FH.
又BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC,∴FH⊥平面ABC.
以H为坐标原点,轴正向,轴正向,
建立如图所示坐标系.
设BH=1,则A(1,—2,0),B(1,0,0),
C(—1,0,0),D(—1,—2,0),E(0,—1,1),
F(0,0,1).
(I)证:设AC与BD的交点为G,连GE,GH,
则
平面EDB,HF不在平面EDB内,∴FH∥平面EBD,
(II)证:
又AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面EDB.
(III)解:
设平面BDE的法向量为
则
即二面角B—DE—C为60°.
(19)(本小题满分13分)
本题考查椭圆的定义及标准方程,椭圆的简单几何性质,直线的点斜式方程与一般方程,点到直线的距离公式,点关于直线的对称等基础知识;考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识.
解:(I)设椭圆E的方程为
将A(2,3)代入上式,得
∴椭圆E的方程为
(II)解法1:由(I)知,所以
直线AF1的方程为:
直线AF2的方程为:
由点A在椭圆E上的位置知,直线l的斜率为正数.
设上任一点,则
若(因其斜率为负,舍去).
所以直线l的方程为:
解法2:
(III)解法1:
假设存在这样的两个不同的点
由于M在l上,故 ①
又B,C在椭圆上,所以有
两式相减,得
即
将该式写为,
并将直线BC的斜率和线段BC的中点,表示代入该表达式中,
得 ②
①×2—②得,即BC的中点为点A,而这是不可能的.
∴不存在满足题设条件的点B和C.
解法2:
假设存在,
则
得一元二次方程
则是该方程的两个根,
由韦达定理得
于是
∴B,C的中点坐标为
又线段BC的中点在直线
即B,C的中点坐标为(2,3),与点A重合,矛盾.
∴不存在满足题设条件的相异两点.
(20)(本小题满分12分)
本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识,考查推理论证、运算求解能力.
证:先证必要性
设数列则所述等式显然成立,
若,则
再证充分性.
证法1:(数学归纳法)设所述的等式对一切都成立,首先,在等式
①
两端同乘成等差数列,
记公差为
假设时,观察如下二等式
②
, ③
将②代入③,得
在该式两端同乘
将
由数学归纳法原理知,对一切
所以的等差数列.
证法2:[直接证法]依题意有
①
②
②—①得
,
在上式两端同乘
同理可得 ③
③—④得
即是等差数列,
(21)(本小题满分13分)
本题考查离散型随机变量及其分布列,考查在复杂场合下进行计数的能力,能过设置密切贴近生产、生活实际的问题情境,考查概率思想在现实生活中的应用,考查抽象概括能力、应用与创新意识.
解:(I)X的可能值集合为{0,2,4,6,8}.
在1,2,3,4中奇数与偶数各有两个,所以中的奇数个数等于中的偶数个数,因此的奇偶性相同,
从而必为偶数.
X的值非负,且易知其值不大于8.
容易举出使得X的值等于0,2,4,6,8各值的排列的例子.
(II)可用列表或树状图列出1,2,3,4的一共24种排列,计算每种排列下的X值,在等可能的假定下,得到
X
0 2 4 6 8
P
(III)(i)首先,将三轮测试都有的概率记做p,由上述结果和独立性假设,得
(ii)由于是一个很小的概率,这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有的结果的可能性很小,所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能,不是靠随机猜测.
2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学文科测试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页。全卷满分l50分,考试时间l20分钟。
参考公式:
S表示底面积,h表示底面上的高
如果事件A与B互斥,那么 棱柱体积V=Sh
P(A+B)=P(A)+P(B) 棱锥体积V=
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.
(1)若A=,B=,则=
(A)(-1,+∞) (B)(-∞,3) (C)(-1,3) (D)(1,3)
(2)已知,则i()=
(A) (B) (C) (D)
(3)设向量,,则下列结论中正确的是
(A) (B)
(C) (D)与垂直
(4)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是
(A)x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 (D)x+2y-1=0
(5)设数列{}的前n项和=,则的值为
(A) 15 (B) 16 (C) 49 (D)64
(6)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是
(7)设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是
(A)a>c>b (B)a>b>c (C)c>a>b (D)b>c>a
(8)设x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是
(A)3 (B) 4 (C) 6 (D)8
(9)一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积是
(A)372 (C)292
(B)360 (D)280
(10)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是
(A) (B) (C) (D)
数 学(文科)(安徽卷)
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置·
(11)命题“存在x∈R,使得x2+2x+5=0”的否定是
解析:依据“存在”的否定为“任何、任意”,易知.
(12)抛物线y2=8x的焦点坐标是
(13)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值x=
(14)某地有居民100000户,其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户.从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户,从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查,发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房,其中普通家庭50户,高收人家庭70户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识,你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 .
(15)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是 . (写出所有正确命题的编号).
①ab≤1; ②+≤; ③a2+b2≥2; ④a3+b3≥3;
三、解答题:本大题共6小题.共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
(16) △ABC的面积是30,内角A,B,C,所对边长分别为a,b,c,cosA=.
(1) 求
(2) 若c-b=1,求a的值.
(本小题满分12分)本题考查同角三角形函数基本关系,三角形面积公式,向量的数量积,利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.
(17) 椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率.
(1) 求椭圆E的方程;
(2) 求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程.
(本小题满分12分)本题考查椭圆的定义,椭圆的标准方程及简单几何性质,直线的点斜式方程与一般方程,点到直线的距离公式等基础知识,考查解析几何的基本思想和综合运算能力.
18、(本小题满分13分)
某市2010年4月1日—4月30日对空气污染指数的检测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,
77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45,
(Ⅰ) 完成频率分布表;
(Ⅱ)作出频率分布直方图;
(Ⅲ)根据国家标准,污染指数在0~50之间时,空气质量为优:在51~100之间时,为良;在101~150之间时,为轻微污染;在151~200之间时,为轻度污染。
请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价.
(本小题满分13分)本题考查频数,频数及频率分布直方图,考查运用统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力和应用意识.
(19) (本小题满分13分)
如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点,
(Ⅰ)求证:FH∥平面EDB;
(Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB;
(Ⅲ)求四面体B—DEF的体积;
(本小题满分13分)本题考查空间线面平行,线面垂直,面面垂直,体积的计算等基础知识,同时考查空间想象能力与推理论证能力.
(20)(本小题满分12分)
设函数f(x)=sinx-cosx+x+1, 0﹤x﹤2 ,求函数f(x)的单调区间与极值.
(本小题满分12分)本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的方法,考查综合运用数学知识解决问题的能力.
(21)(本小题满分13分)
设,...,,…是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在x轴的正半轴上,且都与直线y=x相切,对每一个正整数n,圆都与圆相互外切,以表示的半径,已知为递增数列.
(Ⅰ)证明:为等比数列;
(Ⅱ)设=1,求数列的前n项和.
(本小题满分13分)本题考查等比数列的基本知识,利用错位相减法求和等基本方法,考查抽象能力以及推理论证能力.
绝密★启用前
参考答案
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.
(1)C 解析:画数轴易知.
(2)B 解析:直接计算.
(3)D 解析:利用公式计算,采用排除法.
(4)A 解析:利用点斜式方程.
(5)A 解析:利用=S8-S7,即前8项和减去前7项和.
(6)D 解析:利用开口方向a、对称轴的位置、y轴上的截距点c之间关系,结合abc>0产生矛盾,采用排除法易知.
(7)A 解析:利用构造幂函数比较a、c再利用构造指数函数比较b、c.
(8)C 解析:画出可行域易求.
(9)B 解析:可理解为长8、宽10、高2的长方体和长6、宽2、高8的长方体组合而成,注意2×6重合两次,应减去.
(10)C 解析:所有可能有6×6,所得的两条直线相互垂直有5×2.
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
(11)对任何X∈R,都有X2+2X+5≠0
解析:依据“存在”的否定为“任何、任意”,易知.
(12)(2,0) 解析:利用定义易知.
(13)12 解析:运算时X顺序取值为: 1,2,4,5,6,8,9,10,12.
(14)5.7% 解析: ,,易知.
(15)①,③,⑤ 解析:①,⑤化简后相同,令a=b=1排除②、易知④ ,再利用易知③正确
三、解答题:本大题共6小题.共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
(16)解:由cosA=,得sinA= =.
又bc sinA=30,∴bc=156.
(1)=bc cosA=156·=144.
(2)a2=b2+c2-2bc cosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)=1+2·156·(1-)=25,
∴a=5
(17)解:(1)设椭圆E的方程为 由e=,得=,b2=a2-c2 =3c2. ∴ 将A(2,3)代入,有 ,解得:c=2, 椭圆E的方程为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知F1(-2,0),F2(2,0),所以直线AF1的方程为 y=(X+2),
即3x-4y+6=0. 直线AF2的方程为x=2. 由椭圆E的图形知,
∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数.
设P(x,y)为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点,
则有
若3x-4y+6=5x-10,得x+2y-8=0,其斜率为负,不合题意,舍去.
于是3x-4y+6=-5x+10,即2x-y-1=0.
所以∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0.
18、解:(Ⅰ) 频率分布表:
分 组
频 数
频 率
[41,51)
2
[51,61)
1
[61,71)
4
[71,81)
6
[81,91)
10
[91,101)
5
[101,111)
2
空气污染指数
4151 61 71 81 91 101 111
频率
组距
(Ⅱ)频率分布直方图:
(Ⅲ)答对下述两条中的一条即可:
(i)该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平,占当月天数的. 有26天处于良好的水平,占当月天数的. 处于优或良的天数共有28天,占当月天数的. 说明该市空气质量基本良好.
(ii)轻微污染有2天,占当月天数的. 污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天,加上处于轻微污染的天数,共有17天,占当月天数的,超过50%. 说明该市空气质量有待进一步改善.
(19) (Ⅰ) 证:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点. 连EG,GH,由于H为BC的中点,故GH∥AB且 GH=AB 又EF∥AB且 EF=AB
∴EF∥GH. 且 EF=GH ∴四边形EFHG为平行四边形.
∴EG∥FH,而EG 平面EDB,∴FH∥平面EDB.
(Ⅱ)证:由四边形ABCD为正方形,有AB⊥BC.
又EF∥AB,∴ EF⊥BC. 而EF⊥FB,∴ EF⊥平面BFC,∴ EF⊥FH.
∴ AB⊥FH.又BF=FC H为BC的中点,FH⊥BC.∴ FH⊥平面ABCD.
∴ FH⊥AC. 又FH∥EG,∴ AC⊥EG. 又AC⊥BD,EG∩BD=G,
∴ AC⊥平面EDB.
(Ⅲ)解:∵ EF⊥FB,∠BFC=90°,∴ BF⊥平面CDEF.
∴ BF为四面体B-DEF的高. 又BC=AB=2, ∴ BF=FC=
(20)解:由f(x)=sinx-cosx+x+1,0﹤x﹤2,
知=cosx+sinx+1,
于是=1+sin(x+ ).
令=0,从而sin(x+ )=-,得x= ,或x=.
当x变化时,,f(x)变化情况如下表:
X
(0, )
(,)
(,2 )
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增↗
+2
单调递减↘
单调递增↗
因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0, )与(,2 ),单调递减区间是(,),极小值为f()=,极大值为f()= +2.
)
(21)解:(Ⅰ)将直线y=x的倾斜角记为 , 则有tan = ,sin =.
设Cn的圆心为(,0),则由题意知= sin = ,得 = 2 ;同理,题意知将 = 2代入,解得 rn+1=3rn.
故{ rn }为公比q=3的等比数列.
(Ⅱ)由于r1=1,q=3,故rn=3n-1,从而 =n·,
记Sn=, 则有 Sn=1+2·3-1+3·3-2+………+n·. ①
=1·3-1+2·3-2+………+(n-1) ·+n·. ② ①-②,得
=1+3-1 +3-2+………+-n· =- n·= –(n+)·
Sn= – (n+)·.
2011年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3页至第4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:
1. 答题前,务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2. 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3. 答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。
4. 考试结束后,务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式:
如果事件A与B 互斥, 椎体体积,其中S为椎体的底面积,
那么 h为椎体的高.
如果事件A与B 相互独立,那么
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1) 设是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a 为
(A) 2 (B) -2 (C) - (D)
(2) 双曲线的实轴长是
(A)2 (B) (C)4 (D)
(3)设是定义在R上的奇函数,当时,,
(A)-3 (B) -1 (C)1 (D)3
(4)设变量,满足,则的最大值和最小值分别为
(A)1,-1 (B)2,-2 (C)1,-2 (D)2,-1
(5) 在极坐标系中,点 到圆 的圆心的距离为
(A)2 (B) (C) (D)
(6)一个空间几何体得三视图如图所示,则该几何体的表面积为
(A) 48 (B) (C) (D) 80
(7)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是
(A)所有不能被2整除的数都是偶数
(B)所有能被2整除的数都不是偶数
(C)存在一个不能被2整除的数都是偶数
(D)存在一个不能被2整除的数都不是偶数
(8)设集合,则满足且的集合为
(A)57 (B)56 (C)49 (D)8
(9)已知函数,其中为实数,若对恒成立,且,则的单调递增区间是
(A) (B)
(C) (D)
(10)函数 在区间上的图像如图所示,则m,n的值可能是
(A)m=1, n=1 (B)m=1, n=2
(C)m=2, n=1 (D)m=3, n=1
第II卷(非选择题 共100分)
考生注意事项:
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.
(11)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 .
(12)设,则=_________ .
(13)已知向量,满足,,,则与的夹角为________.
(14)已知 的一个内角为120o,并且三边长构成公差为4的等差数列,则的面积为_______________
(15)在平面直角坐标系中,如果与都是整数,就称点为整点,下列命题中正确的是_____________(写出所有正确命题的编号).
①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果与都是无理数,则直线不经过任何整点
③直线经过无穷多个整点,当且仅当经过两个不同的整点
④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是:与都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
三.解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.
(16)(本小题满分12分)
设,其中为正实数
(Ⅰ)当时,求的极值点;
(Ⅱ)若为上的单调函数,求的取值范围。
(17)(本小题满分12分)
如图,为多面体,平面与平面垂直,点在线段 上,
,,、、、都是正三角形.
(Ⅰ)证明直线;
(Ⅱ)求棱锥的体积.
(18)(本小题满分13分)
在数1和100之间插入个实数,使得这个实数构成递增的等比数列,将这个数的乘积记作,再令
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
(19)(本小题满分12分)
(Ⅰ)设,证明
(Ⅱ),证明
.
(20)(本小题满分13分)
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人进去,且每个人只派一次,工作时间不超过10分钟,如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出,再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分别,假设互不相等,且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
(Ⅰ)如果按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化?
(Ⅱ)若按某指定顺序派人,这三个人各自能完成任务的概率依次为,其中是的一个排列,求所需派出人员数目的分布列和均值(数字期望);
(Ⅲ)假定,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目的均值(数字期望)达到最小。
(21)(本小题满分13分)
设,点的坐标为(1,1),点在抛物线上运动,点满足
,经过点与轴垂直的直线交抛物线于点,点满足, 求点的轨迹方程。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3页至第4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:
1. 答题前,务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2. 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3. 答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。
4. 考试结束后,务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式:
1、锥体体积公式:V=Sh, 其中S是锥体的底面积,h是锥体的高。
2、若(x,y),(x,y)…,(x,y)为样本点,为回归直线,则,
, ,
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)设是虚数单位,复数为纯虚数,则实数为( )
(A) 2 (B) -2 (C) - (D)
(2)集合则等于( )
(A) (B) (C) (D)
(3) 双曲线的实轴长是( )
(A)2 (B) (C)4 (D)
(4)若直线过圆的圆心,则的值为( )
(A)-1 (B) 1 (C)3 (D)-3
(5)若点在图像上,,则下列点也在此图像上的是( )
(A) (B) (C) (D)
(6)设变量,满足 ,则的最大值和最小值分别为( )
(A)1,1 (B)2, 2 (C)1, 2 (D)2,1
(7)若数列的通项公式是,则…( )
(A)15 (B)12 (C)12 (D) 15
(8)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
(A)48 (B)32+ (C)48+ (D)80
(9)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )
(A) (B) (C) (D)
(10)函数在区间上的图像如图所示,则可能是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
第 Ⅱ卷 (非选择题 共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置。
(11)设是定义在R上的奇函数,当时,,
______ .
(12)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是___________.
(13)函数的定义域是___________.
(14)已知向量,满足,,,则与的夹角为________.
(15)设,若对一切恒成立,则
①;
②;
③既不是奇函数也不是偶函数;
④的单调递增区间是;
⑤ 存在经过点(a,b)的直线与函数的图像不相交.
以上结论正确的是_______________________(写出所有正确结论的编号).
2011年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数 学(文科)
第II卷(非选择题 共100分)
考生注意事项:
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
三、简答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(16)(本小题满分13分)
在中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长,a=,b=,,求边BC上的高.
(17)(本小题满分13分)
,,其中实数满足.
(Ⅰ)证明与相交;
(Ⅱ)证明与的交点在椭圆上.
(18)(本小题满分13分)
设函数,其中为正实数
(Ⅰ)当 时,求的极值点;
(Ⅱ) 若为上的单调函数,求的取值范围.
(19)(本小题满分13分)
如图,为多面体,平面与平面垂直,点在线段 上,,,、、、都是正三角形.
(Ⅰ)证明直线;
(Ⅱ)求棱锥的体积.
(20)(本小题满分10分)
某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据:
年 份
2002
2004
2006
2008
2010
需求量(万吨)
236
246
257
276
286
(Ⅰ)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 ;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中所求的直线方程预测该地2012年的粮食需求量.
温馨提示:答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明.
(21)(本小题满分13分)
在数1和100之间插入个实数,使得这个实数构成递增的等比数列,将这个数的乘积记作,再令
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
2011年安徽高考文科数学试题答案