2012高考湖南理科数学试题及答案(高清版) 13页

2012 年普通高等学校夏季招生全国统一考试 数学理工农医类(湖南卷) 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．设集合 M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则 M∩N 等于( ) A．{0} B．{0,1} C．{－1,1} D．{－1,0,1} 2．命题“若 π 4   ，则 tanα＝1”的逆否命题是( ) A．若 π 4   ，则 tanα≠1 B．若 π 4   ，则 tanα≠1 C．若 tanα≠1，则 π 4   D．若 tanα≠1，则 π 4   3．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( ) 4．设某大学的女生体重 y(单位：kg)与身高 x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组 样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为  0.85 85.71y x  ，则 下列结论中不正确的是( ) A．y 与 x 具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心 ( , )x y C．若该大学某女生身高增加 1 cm，则其体重约增加 0.85 kg D．若该大学某女生身高为 170 cm，则可断定其体重必为 58.79 kg 5．已知双曲线 C： 2 2 2 2 1x y a b   的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则 C 的方程 为( ) A． 2 2 120 5 x y  B． 2 2 15 20 x y  C． 2 2 180 20 x y  D． 2 2 120 80 x y  6．函数 f(x)＝sinx－cos(x＋ π 6 )的值域为( ) A．[－2,2] B．[ 3, 3] C．[－1,1] D． 3 3[ , ]2 2  7．在△ABC 中，AB＝2，AC＝3， 1AB BC   ，则 BC 等于( ) A． 3 B． 7 C． 2 2 D． 23 8．已知两条直线 l1：y＝m 和 l2： 8 2 1y m   (m＞0)，l1 与函数 y＝|log2x|的图象从左至 右相交于点 A，B，l2 与函数 y＝|log2x|的图象从左至右相交于点 C，D．记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a，b，当 m 变化时， b a 的最小值为( ) A．16 2 B．8 2 C． 38 4 D． 34 4 二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分．把答案填在 答题卡中对应题号后的横线上． (一)选做题(请考生在第 9,10,11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分) 9．在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1： 1 1 2 x t y t      ， (t 为参数)与曲线 C2： sin 3cos x a y      ， (θ 为参数，a＞0)有一个公共点在 x 轴上，则 a＝________. 10．不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0 的解集为__________________． 11．如图，过点 P 的直线与 O 相交于 A，B 两点，若 PA＝1，AB＝2，PO＝3，则 O 的半径等于________． (二)必做题(12～16 题) 12．已知复数 z＝(3＋i)2(i 为虚数单位)，则|z|＝________. 13． 61(2 )x x  的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答) 14．如果执行如图所示的程序框图，输入 x＝－1，n＝3，则输出的数 S＝________. 理图 文图 15．函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数 y＝f′(x)的部分图象如图所示，其中，P 为图象与 y 轴的交点，A，C 为图象与 x 轴的两个交点，B 为图象的最低点． (1)若 π 6   ，点 P 的坐标为(0， 3 3 2 )，则ω＝________； (2)若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为 ________． 16．设 N＝2n(n∈N*，n≥2)，将 N 个数 x1，x2，…，xN 依次放入编号为 1,2，…，N 的 N 个位置，得到排列 P0＝x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺 序依次放入对应的前 2 N 和后 2 N 个位置，得到排列 P1＝x1x3…xN－1x2x4…xN，将此操作称为 C 变换．将 P1 分成两段，每段 2 N 个数，并对每段作 C 变换，得到 P2；当 2≤i≤n－2 时，将 Pi 分成 2i 段，每段 2i N 个数，并对每段作 C 变换，得到 Pi ＋ 1.例如，当 N＝8 时，P2＝ x1x5x3x7x2x6x4x8，此时 x7 位于 P2 中的第 4 个位置． (1)当 N＝16 时，x7 位于 P2 中的第________个位置； (2)当 N＝2n(n≥8)时，x173 位于 P4 中的第________个位置． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市 购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示． 一次购 物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件 及以上 顾客 数(人) x 30 25 y 10 结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望； (2)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该 顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率． 18．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB ＝∠ABC＝90°，E 是 CD 的中点． (1)证明：CD⊥平面 PAE； (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，求四棱锥 P－ ABCD 的体积． 19．已知数列{an}的各项均为正数，记 A(n)＝a1＋a2＋…＋an，B(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1， C(n)＝a3＋a4＋…＋an＋2，n＝1,2，…. (1)若 a1＝1，a2＝5，且对任意 n∈N*，三个数 A(n)，B(n)，C(n)组成等差数列，求数列{an} 的通项公式； (2)证明：数列{an}是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是：对任意 n∈N*，三个数 A(n)，B(n)，C(n)组成公比为 q 的等比数列． 20．某企业接到生产 3 000 台某产品的 A，B，C 三种部件的订单，每台产品需要这三 种部件的数量分别为 2,2,1(单位：件)．已知每个工人每天可生产 A 部件 6 件，或 B 部件 3 件，或 C 部件 2 件．该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这三种部件，生产 B 部 件的人数与生产 A 部件的人数成正比，比例系数为 k(k 为正整数)． (1)设生产 A 部件的人数为 x，分别写出完成 A，B，C 三种部件生产需要的时间； (2)假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数 k 的值，使完成订单任务的时间最 短，并给出时间最短时具体的人数分组方案． 21．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 上的点均在圆 C2：(x－5)2＋y2＝9 外，且对 C1 上任 意一点 M，M 到直线 x＝－2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值． (1)求曲线 C1 的方程； (2)设 P(x0，y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点，过 P 作圆 C2 的两条切线，分别与曲线 C1 相交 于点 A，B 和 C，D．证明：当 P 在直线 x＝－4 上运动时，四点 A，B，C，D 的纵坐标之积 为定值． 22．已知函数 f(x)＝eax－x，其中 a≠0. (1)若对一切 x∈R，f(x)≥1 恒成立，求 a 的取值集合； (2)在函数 f(x)的图象上取定两点 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜x2)，记直线 AB 的斜率为 k.问：是否存在 x0∈(x1，x2)，使 f′(x0)＞k 成立？若存在，求 x0 的取值范围；若不存在，请说 明理由． 1． B 由 N＝{x|x2≤x}，得 x2－x≤0⇒x(x－1)≤0， 解得 0≤x≤1.又∵M＝{－1,0,1}， ∴M∩N＝{0,1}． 2． C 命题“若 π 4   ，则 tanα＝1”的逆否命题是“若 tanα≠1，则 π 4   ”． 3． D 若为 D 项，则主视图如图所示，故不可能是 D 项． 4． D D 项中，若该大学某女生身高为 170 cm，则其体重约为：0.85×170－85.71＝ 58．79(kg)．故 D 项不正确． 5． A 由 2c＝10，得 c＝5， ∵点 P(2,1)在直线 by xa  上， ∴ 21 b a  .又∵a2＋b2＝25，∴a2＝20，b2＝5. 故 C 的方程为 2 2 120 5 x y  . 6． B f(x)＝sinx－cos(x＋ π 6 ) ＝ 3 1sin ( cos sin )2 2x x x  ＝ 3 3sin cos2 2x x ＝ 3 13( sin cos )2 2x x ＝ π3sin( ) [ 3, 3]6x    ． 故选 B 项． 7． A ∵ | || |cos(π ) 2| |( cos ) 1AB BC AB BC B BC B            ， ∴ 1cos 2 | | B BC    . 又∵ 2 2 2| | | | | |cos 2 | | | | AB BC ACB AB BC         ＝ 24 | | 9 1 2 2 | | 2 | | BC BC BC          ， ∴ 2| | =3BC  . ∴ | |= 3BC BC  . 8． B 由题意作出如下的示意图． 由图知 a＝|xA－xC|，b＝|xD－xB|， 又∵xA·xB＝1，xC·xD＝1， ∴ 1 1| | 1 | | | | C A A C A C x xb a x x x x    . yA＋yC＝－log2xA－log2xC ＝－log2xAxC＝ 8 2 1 8 1 7 2 1 2 2 1 2 2 mm m m       ， 当且仅当 2 1 8 2 2 1 m m    ，即 3 2m  时取等号． 由－log2xAxC≥ 7 2 ，得 log2xAxC≤ 7 2  ，即 0＜xAxC≤ 7 22  从而 7 21 2 8 2| |A C b a x x    ， 当 3 2m  时， b a 取得最小值8 2 ，故选 B 项． 9．答案： 3 2 解析：∵C1： 1, 1 2 , x t y t      ∴C1 的方程为 2x＋y－3＝0. ∵C2： sin , 3cos , x a y      ∴C2 的方程为 2 2 2 19 x y a   . ∵C1 与 C2 有一个公共点在 x 轴上，且 a＞0， ∴C1 与 x 轴的交点( 3 2 ，0)在 C2 上， 代入解得 3 2a  . 10．答案：{x|x＞ 1 4 } 解析：对于不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0，分三种情况讨论： 1°，当 1 2x   时，－2x－1－2(－x＋1)＞0， 即－3＞0，故 x 不存在； 2°，当 1 12 x   时，2x＋1－2(－x＋1)＞0， 即 1 14 x  ； 3°，当 x＞1 时，2x＋1－2(x－1)＞0,3＞0， 故 x＞1. 综上可知， 1 4x  ，不等式的解集是 1 4x x     ． 11．答案： 6 解析：过 P 作圆的切线 PC 切圆于 C 点，连结 OC． ∵PC2=PA·PB=1×3=3， ∴ 3PC  . 在 Rt△POC 中， 2 2 6OC PO PC   . 12．答案：10 解析：∵z＝(3＋i)2，∴|z|＝32＋12＝10. 13．答案：－160 解析： 61(2 )x x  的通项为 6 1 6 1C (2 ) ( )r r r rT x x     ＝(－1)r 6Cr 26－rx3－r.当 3－r＝0 时，r＝3. 故(－1)3 3 6C 26－3＝－ 3 6C 23＝－160. 14．答案：－4 解析：输入 x＝－1，n＝3. i＝3－1＝2，S＝6×(－1)＋2＋1＝－3； i＝2－1＝1，S＝(－3)×(－1)＋1＋1＝5； i＝1－1＝0，S＝5×(－1)＋0＋1＝－4； i＝0－1＝－1，－1＜0，输出 S＝－4. 15．答案：(1)3 (2) π 4 f(x)＝sin(ωx＋φ)，f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)． 解析：(1) π 6   时，f′(x)＝ωcos(ωx＋ π 6 )． ∵ 3 3'(0) 2f  ，即 π 3 3cos 6 2   ，∴ω＝3. (2)当ωx＋φ＝ π 2 时， π 2x     ； 当ωx＋φ＝ 3π 2 时， 3π 2x     . 由几何概型可知，该点在△ABC 内的概率为 3π 2 π 2 1 2π 11 | | | || | | | 2 22 3π 2[0 cos( )] sin( ) π 2 AC P x x                           ＝ π 2 3π π 2 2sin( ) sin( )                ＝ π 2 3π πsin( ) sin( )2 2   ＝ π π2 1 1 4  . 16．答案：(1)6 (2)3×2n－4＋11 解析：(1)由题意知，当 N＝16 时，P0＝x1x2x3x4x5…x16，P1＝x1x3x5…x15x2x4…x16，则 P2＝x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16， 此时 x7 位于 P2 中的第 6 个位置． (2)方法同(1)，归纳推理知 x173 位于 P4 中的第 3×2n－4＋11 个位置． 17．解：(1)由已知得 25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以 x＝15，y＝20， 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结 算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本．将频率视为概率得 15 3( 1) 100 20P X    ， 30 3( 1.5) 300 10P X    ， 25 1( 2) 100 4P X    ， 20 1( 2.5) 100 5P X    ， 10 1( 3) 100 10P X    . X 的分布列为 X 1 1.5 2 2.5 3 P 3 20 3 10 1 4 1 5 1 10 X 的数学期望为   3 3 1 1 11 1.5 2 2.5 3 1.920 10 4 5 10E X     ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ . (2)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟”，Xi(i＝1,2)为该顾客前面 第 i 位顾客的结算时间，则 P(A)＝P(X1＝1 且 X2＝1)＋P(X1＝1 且 X2＝1.5)＋P(X1＝1.5 且 X2＝1)． 由于各顾客的结算相互独立，且 X1，X2 的分布列都与 X 的分布列相同，所以 P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1) ＝ 3 3 3 3 3 3 9 20 20 20 10 10 20 80       . 故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为 9 80 . 18．解：解法一：(1)如图所示，连接 AC．由 AB=4，BC=3，∠ABC=90°得 AC=5.又 AD=5， E 是 CD 的中点，所以 CD⊥AE.因为 PA⊥平面 ABCD，CD 平面 ABCD，所以 PA⊥CD．而 PA，AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以 CD⊥平面 PAE. (2)过点 B 作 BG∥CD，分别与 AE，AD 相交于点 F，G，连结 PF. 由(1)CD⊥平面 PAE 知，BG⊥平面 PAE.于是∠BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角， 且 BG⊥AE. 由 PA⊥平面 ABCD 知，∠PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角． 由题意∠PBA＝∠BPF，因为 sin∠PBA＝ PA PB ，sin∠BPF＝ BF PB ，所以 PA＝BF. 由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC． 又 BG∥CD，所以四边形 BCDG 是平行四边形． 故 GD＝BC＝3，于是 AG＝2. 在 Rt△BAG 中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以 2 2 2 5BG AB AG   ， 2 16 8 5 52 5 ABBF BG    . 于是 PA＝BF＝ 8 5 5 . 又梯形 ABCD 的面积为 S＝ 1 2 ×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥 P－ABCD 的体积为 1 1 8 5 128 5163 3 5 15V S PA       . 解法二：如图所示，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴 建立空间直角坐标系．设 PA＝h，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)， E(2,4,0)，P(0,0，h)． (1)易知CD  ＝(－4,2,0)， AE  ＝(2,4,0)， AP  ＝(0,0，h)． 因为 CD AE  ＝－8＋8＋0＝0， CD AP  ＝0，所以 CD⊥AE，CD⊥AP，而 AP，AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以 CD⊥平面 PAE. (2)由题设和(1)知， CD  ， PA  分别是平面 PAE，平面 ABCD 的法向量． 而 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，所以 |cos , | |cos , |CD PB PA PB    ， 即 CD PB PA PB CD PB PA PB             . 由(1)知， CD  ＝(－4,2,0)， PA  ＝(0,0，－h)． 又 PB  ＝(4,0，－h)，故 2 2 2 16 0 0 0 0| | | | 2 5 16 16 h h h h          . 解得 8 5 5h  . 又梯形 ABCD 的面积为 S＝ 1 2 ×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥 P－ABCD 的体积为 1 1 8 5 128 5163 3 5 15V S PA       . 19．解：(1)对任意 n∈N*，三个数 A(n)，B(n)，C(n)是等差数列，所以 B(n)－A(n)＝C(n)－B(n)， 即 an＋1－a1＝an＋2－a2，亦即 an＋2－an＋1＝a2－a1＝4. 故数列{an} 是首项为 1，公差为 4 的等差数列． 于是 an＝1＋(n－1)×4＝4n－3. (2)①必要性：若数列{an}是公比为 q 的等比数列，则对任意 n∈N*，有 an＋1＝anq.由 an ＞0 知，A(n)，B(n)，C(n)均大于 0，于是 2 3 1 1 2 1 2 1 2 ( )( ) ( ) n n n n a a a q a a aB n qA n a a a a a a              … … … … ， 3 4 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 ( )( ) ( ) n n n n a a a q a a aC n qB n a a a a a a                  … … … … ， 即 ( ) ( ) ( ) ( ) B n C n qA n B n   .所以三个数 A(n)，B(n)，C(n)组成公比为 q 的等比数列． ②充分性：若对任意 n∈N*，三个数 A(n)，B(n)，C(n)组成公比为 q 的等比数列，则 B(n)＝qA(n)，C(n)＝qB(n)． 于是 C(n)－B(n)＝q[B(n)－A(n)]，得 an＋2－a2＝q(an＋1－a1)，即 an＋2－qan＋1＝a2－qa1. 由 n＝1 有 B(1)＝qA(1)，即 a2＝qa1，从而 an＋2－qan＋1＝0. 因为 an＞0，所以 2 2 1 1 n n a a qa a     . 故数列{an}是首项为 a1，公比为 q 的等比数列． 综上所述，数列{an}是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是：对任意 n∈N*，三个数 A(n)，B(n)，C(n)组成公比为 q 的等比数列． 20．解：(1)设完成 A，B，C 三种部件的生产任务需要的时间(单位：天)分别为 T1(x)， T2(x)，T3(x)，由题设有 1 2 3000 1000( ) 6T x x x   ， 2 2000( )T x kx  ， 3 1500( ) 200 (1 )T x k x    ， 其中 x，kx,200－(1＋k)x 均为 1 到 200 之间的正整数． (2)完成订单任务的时间为 f(x)＝ max{T1(x)，T2(x)，T3(x)}，其定义域为{x|0＜x＜ 200 1 k ，x∈N*}．易知，T1(x)，T2(x)为 减函数，T3(x)为增函数．注意到 T2(x)＝ 2 k T1(x)，于是 ①当 k＝2 时，T1(x)＝T2(x)，此时 f(x)＝max{T1(x)，T3(x)} ＝max{ 1000 1500, 200 3x x }． 由函数 T1(x)，T3(x)的单调性知，当1000 1500 200 3x x   时 f(x)取得最小值，解得 400 9x  . 由于 40044 459   ，而 f(44)＝T1(44)＝ 250 11 ，f(45)＝T3(45)＝ 300 13 ，f(44)＜f(45)． 故当 x＝44 时完成订单任务的时间最短，且最短时间为 f(44)＝ 250 11 . ②当 k＞2 时，T1(x)＞T2(x)，由于 k 为正整数，故 k≥3，此时 1500 1500 375 200 (1 ) 200 (1 3) 50k x x x       . 记 375( ) 50T x x   ，φ(x)＝max{T1(x)，T(x)}，易知 T(x)是增函数，则 f(x)＝max{T1(x)，T3(x)}≥max{T1(x)，T(x)} ＝φ(x)＝max{ 1000 375, 50x x }． 由函数 T1(x)，T(x)的单调性知，当1000 375 50x x   时φ(x)取最小值，解得 400 11x  . 由于 40036 3711   ，而φ(36)＝T1(36)＝ 250 250 9 11  ，φ(37)＝T(37)＝ 375 250 13 11  . 此时完成订单任务的最短时间大于 250 11 . ③当 k＜2 时，T1(x)＜T2(x)，由于 k 为正整数，故 k＝1，此时 f(x)＝max{T2(x)，T3(x)}＝max{ 2000 750,100x x }． 由函数 T2(x)，T3(x)的单调性知，当 2000 750 100x x   时 f(x)取最小值，解得 800 11x  ， 类似①的讨论，此时完成订单任务的最短时间为 250 9 ，大于 250 11 . 综上所述，当 k＝2 时，完成订单任务的时间最短，此时，生产 A，B，C 三种部件的人 数分别为 44,88,68. 21．解：(1)方法一：设 M 的坐标为(x，y)， 由已知得 2 2| 2| ( 5) 3x x y     . 易知圆 C2 上的点位于直线 x＝－2 的右侧，于是 x＋2＞0，所以 2 2( 5) 5x y x   ＋ . 化简得曲线 C1 的方程为 y2＝20x. 方法二：由题设知，曲线 C1 上任意一点 M 到圆 C2 圆心(5,0)的距离等于它到直线 x＝－ 5 的距离．因此，曲线 C1 是以(5,0)为焦点，直线 x＝－5 为准线的抛物线．故其方程为 y2＝ 20x. (2)当点 P 在直线 x＝－4 上运动时，P 的坐标为(－4，y0)．又 y0≠±3，则过 P 且与圆 C2 相切的直线的斜率 k 存在且不为 0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为 y－y0 ＝k(x＋4)，即 kx－y＋y0＋4k＝0.于是 0 2 | 5 4 | 3 1 k y k k     . 整理得 72k2＋18y0k＋y02－9＝0.① 设过 P 所作的两条切线 PA，PC 的斜率分别为 k1，k2，则 k1，k2 是方程①的两个实根．故 0 0 1 2 18 72 4 y yk k     .② 由 1 0 1 2 4 0, 20 k x y y k y x       得 k1y2－20y＋20(y0＋4k1)＝0.③ 设四点 A，B，C，D 的纵坐标分别为 y1，y2，y3，y4，则 y1，y2 是方程③的两个实根， 所以 0 1 1 2 1 20( 4 )y ky y k  .④ 同理可得 0 2 3 4 2 20( 4 )y ky y k  .⑤ 于是由②④⑤三式得 0 1 0 2 1 2 3 4 1 2 400( 4 )( 4 )y k y ky y y y k k   ＝ 2 0 1 2 0 1 2 1 2 400[ 4( ) 16 ]y k k y k k k k    ＝ 2 2 0 0 1 2 1 2 400( 16 ) 6 400y y k k k k    . 所以，当 P 在直线 x＝－4 上运动时，四点 A，B，C，D 的纵坐标之积为定值 6 400. 22．解：(1)若 a＜0，则对一切 x＞0，f(x)＝eax－x＜1，这与题设矛盾．又 a≠0，故 a ＞0. 而 f′(x)＝aeax－1，令 f′(x)＝0 得 1 1lnx a a  . 当 1 1lnx a a  时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当 1 1lnx a a  时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．故 当 1 1lnx a a  时，f(x)取最小值 1 1 1 1 1( ln ) lnf a a a a a   . 于是对一切 x∈R，f(x)≥1 恒成立．当且仅当 1 1 1ln 1a a a   .① 令 g(t)＝t－tlnt，则 g′(t)＝－lnt. 当 0＜t＜1 时，g′(t)＞0，g(t)单调递增； 当 t＞1 时，g′(t)＜0，g(t)单调递减． 故当 t＝1 时，g(t)取最大值 g(1)＝1.因此，当且仅当 1 1a  ，即 a＝1 时，①式成立． 综上所述，a 的取值集合为{1}． (2)由题意知， 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) e e 1 ax axf x f xk x x x x      . 令φ(x)＝f′(x)－k＝aeax－ 2 1 2 1 e eax ax x x   .则 φ(x1)＝ 1 2 1 eax x x   [ea(x2－x1)－a(x2－x1)－1]， φ(x2)＝ 2 2 1 eax x x [ea(x1－x2)－a(x1－x2)－1]． 令 F(t)＝et－t－1，则 F′(t)＝et－1. 当 t＜0 时，F′(t)＜0，F(t)单调递减； 当 t＞0 时，F′(t)＞0，F(t)单调递增． 故当 t≠0 时，F(t)＞F(0)＝0，即 et－t－1＞0. 从而 ea(x2 －x1)－a(x2 －x1)－1＞0，ea(x1 －x2)－a(x1 －x2)－1＞0.又 1 2 1 e 0 ax x x  ， 2 2 1 e 0 ax x x  ，所以φ(x1)＜0，φ(x2)＞0. 因为函数 y＝φ(x)在区间[x1，x2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在 c∈(x1，x2)， 使得φ(c)＝0.又φ′(x)＝a2eax＞0，φ(x)单调递增，故这样的 c 是唯一的，且   2 1 2 1 1 e eln ax ax c a a x x   . 故当且仅当   2 1 2 2 1 1 e eln , ax ax x xa a x x      时，f′(x)＞k. 综上所述，存在 x0∈(x1，x2)，使 f′(x0)＞k 成立，且 x0 的取值范围为   2 1 2 2 1 1 e eln , ax ax xa a x x      ．