人民教育出版版高考数学选修41过关检测第1讲相似三角形的判定及有关性质基础训练 8页

‎2013-2014学年高中数学人教A版选修4-1知能达标演练：过关检测 第1讲 相似三角形的判定及有关性质 ‎(时间：90分钟　满分：120分)‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．若三角形的三条边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边为‎21 cm，则其余两边的长度之和为 ‎(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．‎24 cm B．‎21 cm C．‎19 cm D．‎‎9 cm 解析　设其余两边的长度分别为x cm，y cm，则＝＝，解得x＝‎15 cm，y＝‎9 cm.故x＋y＝‎24 cm.‎ 答案　A ‎2．如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，且＝2，那么△ADE与四边形DBCE的面积比是 ‎(　　)．‎ A. B. C. D. 解析　＝2，∴＝，故＝，‎ ‎∴S△ADE∶S四边形DBCE＝4∶5.‎ 答案　C ‎3．如图所示，在▱ABCD中，AE∶EB＝1∶2，若S△AEF＝‎6 cm2，则S△CDF为 ‎(　　)．‎ A．‎54 cm2 B．‎24 cm2‎ C．‎18 cm2 D．‎12 cm2‎ 解析　∵△AEF∽△CDF，‎ ‎∴＝2＝2＝2＝.‎ ‎∴S△CDF＝9S△AEF＝‎54 cm2.‎ 答案　A ‎4．如图所示，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝‎ eq f(1,3)，AE＝BE，则有 ‎(　　)．‎ A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD 解析　连接BD，注意到∠A＝∠C＝60°，可设AD＝a，则AC＝‎3a，而AB＝AC＝BC＝‎3a，所以AE＝BE＝a，所以＝＝，又＝＝，所以＝，∠A＝∠C＝60°，故△AED∽△CBD.‎ 答案　B ‎5．如图所示，P、Q分别在BC和AC上，BP∶CP＝2∶5，CQ∶QA＝3∶4，则等于 ‎(　　)．‎ A．3∶14 B．14∶3‎ C．17∶3 D．17∶14‎ 解析　过Q点作QM∥AP交BC于M，‎ 则＝＝，‎ 又∵＝，∴＝.‎ 又＝＝，‎ ＝＝，‎ ‎∴＝，∴＝.‎ 答案　B ‎6．如图所示，点D、E分别在AB、AC上，下列条件能判定△ADE与△ACB相似的有 (　　)．‎ ‎ ①∠AED＝∠B ‎②＝ ‎③＝ ‎④DE∥BC A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析　由判定定理1知①正确，由判定定理2知②正确，由预备定理1知④正确，③不符合相似三角形的判定定理，故不正确，从而选C.‎ ‎ 答案　C ‎7．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN，若AB＝14，AC＝19，则MN的长为 ‎(　　)．‎ A．2 B．2.5‎ C．3 D．3.5‎ 解析　延长BN交AC于D，‎ ‎∵AN平分∠BAC，BN⊥AN.‎ 则△ABD为等腰三角形，‎ ‎∴AD＝AB＝14，∴CD＝5.‎ 又M、N分别是BC、BD的中点，‎ 故MN＝CD＝2.5.‎ 答案　B ‎8．如图所示，在▱ABCD中，E为CD上一点，DE∶CE＝2∶3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF等于 ‎(　　)．‎ A．4∶10∶25 B．4∶9∶25‎ C．2∶3∶5 D．2∶5∶25‎ 解析　因为AB∥CD，所以△ABF∽△EDF，‎ 所以＝＝，所以＝2＝，‎ 又△DEF、△BEF分别以DF、BF为底时等高，所以＝＝＝.‎ 故S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝4∶10∶25.‎ 答案　A ‎9．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：‎ ‎(1)∠B＋∠DAC＝90°；‎ ‎(2)∠B＝∠DAC；‎ ‎(3)＝；‎ ‎(4)AB2＝BD·BC.‎ 其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有 ‎(　　)．‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 解析　 (1)不能判定△ABC为直角三角形，因为∠B＋∠DAC＝90°，而∠B＋∠DAB＝90°，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠B＝∠C，不能判定∠BAD＋∠DAC＝90°；而(2)中∠B＝∠DAC，∠C为公共角，∴△ABC∽△DAC，∵△DAC为直角三角形，∴△ABC为直角三角形；在(3)中，＝可得△ACD∽△BAD，所以∠BAD＝∠C，∠B＝∠DAC，∴∠BAD＋∠DAC＝90°；而(4)中AB2＝BD·BC，即＝，∠B为公共角，∴△ABC∽△DBA，即△ABC为直角三角形．‎ ‎∴正确命题有3个．‎ 答案　A ‎10．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC＝3.设边AB上的一点P，使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有 ‎(　　)．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析　设AP＝x，则PB＝7－x.‎ ‎(1)若△PAD∽△PBC，‎ 则＝，‎ 即＝，‎ 得x＝<7，符合条件．‎ ‎(2)若△PAD∽△CBP，即＝，x2－7x＋6＝0，解得x1＝1，x2＝6也符合条件，故满足条件的点P有3个．‎ 答案　C 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，把正确答案填在题中横线 上)‎ ‎11．如图所示，设l1∥l2∥l3，AB∶BC＝3∶2，DF＝20，则DE＝________.‎ 解析　EF∶DE＝AB∶BC＝3∶2，‎ ‎∴＝，‎ 又DF＝20，∴DE＝8.‎ 答案　8‎ ‎12．如图，在△ABC中，M、N分别是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是________．‎ 解析　∵MN是△ABC的中位线，‎ ‎∴△MON∽△COA，且＝，‎ ‎∴S△MON∶S△COA＝()2＝.‎ 答案　 ‎13．在△ABC中，D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，若DE＝4，则BC＝________.‎ 解析　∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴DE∶BC＝AD∶AB＝1∶2.∴BC＝2DE＝8.‎ 答案　8‎ ‎14．若两个相似三角形的对应高的比为2∶3，且周长的和为‎50 cm，则这两个相似三角形的周长分别为________．‎ 解析　设较大的三角形的周长为x cm，则较小的三角形的周长为(50－x)cm.由题意得＝，解得x＝30,50－x＝50－30＝20.‎ 答案　‎20 cm,‎‎30 cm ‎15．如图，在△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于点F，则＋的值为________．‎ 解析　过D作DG∥CE交AB于G，‎ 则＝＝，‎ 又∵＝，‎ ‎∴AE＝EG.‎ ‎∴＝＝1.‎ 又∵＝＝，‎ EF＝DG，‎ ‎∴＝.∴＝.‎ ‎∴＋＝.‎ 答案　 ‎16．在四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠D＝90°，BC＝2，AD＝2，则四边形ABCD的面积是______．‎ 解析　因∠B＝∠D＝90°，于是设想构造直角三角形，延长BA与CD的延长线交于E，则得到Rt△BCE和Rt△ADE，由题目条件知，△ADE为等腰直角三角形，所以DE＝AD＝2，所以S△ADE＝×2×2＝2.‎ 又可证Rt△EBC∽Rt△EDA，‎ 所以＝2＝2＝3.‎ ‎∴S△EBC＝3S△EDA，∴S四边形ABCD＝S△EBC－S△ADE＝4.‎ 答案　4‎ 三、解答题(本大题共5小题，共56分．解答时应写出必要的文字说明，证明过 程或演算步骤)‎ ‎17．(10分)如图所示，AB∥CD，OD2＝OB·OE.‎ 求证：AD∥CE.‎ 证明　∵AB∥CD，∴＝.‎ ‎∵OD2＝OB·OE，∴＝.‎ ‎∴＝.∴AD∥CE.‎ ‎18．(10分)如图，若BE∥CF∥DG，AB∶BC∶CD＝1∶2∶3，CF＝‎12 cm，求BE，DG的长．‎ 解　∵BE∥CF，∴＝，‎ ‎∵AB∶BC＝1∶2，‎ ‎∴AE∶AF＝1∶3.‎ ‎∵CF＝‎12 cm，‎ ‎∴BE＝12×＝4(cm)．‎ ‎∵CF∥DG，‎ ‎∴＝.‎ 又∵AB∶BC∶CD＝1∶2∶3，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴DG＝·CF＝24(cm)．‎ ‎19．(12分)如图所示，若△ABC为等腰三角形，△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.‎ ‎(1)求证：△ADB∽△EAC；‎ ‎(2)若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数．‎ ‎(1)证明　∵AB2＝DB·CE，AB＝AC，∴＝.‎ ‎∵∠ABC＝∠ACB，‎ ‎∴∠ABD＝∠ACE.‎ ‎∴△ADB∽△EAC.‎ ‎(2)解　∵△ADB∽△EAC，‎ ‎∴∠DAB＝∠E.‎ ‎∴△ADB∽△EDA.‎ ‎∴∠DAE＝∠ABD.‎ ‎∴∠ABC＝＝70°，‎ ‎∴∠DAE＝∠ABD＝180°－70°＝110°.‎ ‎20．(12分)如图所示，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝8，BD＝7，求DC的长．‎ 解　∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，‎ ‎∴△CAD∽△CBA.∴＝＝.‎ ‎∴AC＝，AC＝.‎ ‎∴＝.设CD＝x，‎ 则＝，解得x＝9.故DC＝9.‎ ‎21．(12分)如图所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE＝，连接DE交BC于点F，AC＝4，BC＝3.求证：‎ ‎(1)△ABC∽△EDC；‎ ‎(2)DF＝EF.‎ 证明　(1)在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，则AB＝5.‎ ‎∵D为斜边AB的中点，‎ ‎∴AD＝BD＝CD＝AB＝2.5，‎ ‎∴＝＝＝.‎ ‎∴△ABC∽△EDC，‎ ‎(2)由(1)知，∠B＝∠CDF，‎ ‎∵BD＝CD，∴∠B＝∠DCF，‎ ‎∴∠CDF＝∠DCF.‎ ‎∴DF＝CF.①‎ 由(1)知，∠A＝∠CEF，∠ACD＋∠DCF＝90°，∠ECF＋∠DCF＝90°，‎ ‎∴∠ACD＝∠ECF.由AD＝CD，得∠A＝∠ACD.‎ ‎∴∠ECF＝∠CEF，∴CF＝EF.②‎ 由①②，知DF＝EF.‎