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  • 2021-05-13 发布

高考数学基本不等式复习好题精选

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基本不等式:≤ 题组一 利用基本不等式求最值 ‎1.设x、y均为正实数,且+=1,则xy的最小值为 (  )‎ A.4 B.‎4 ‎ C.9 D.16‎ 解析:由+=1可得xy=8+x+y.‎ ‎∵x,y均为正实数,‎ ‎∴xy=8+x+y≥8+2(当且仅当x=y时等号成立),‎ 即xy-2-8≥0,‎ 可解得≥4,即xy≥16,故xy的最小值为16.‎ 答案:D ‎2.(2009·天津高考)设a>0,b>0.若是‎3a与3b的等比中项,则+的最小值为 (  )‎ A.8 B.‎4 ‎‎ C.1 D. 解析:∵是‎3a与3b的等比中项,∴()2=‎3a·3b.‎ 即3=‎3a+b,∴a+b=1.‎ 此时+=+=2+(+)≥2+2=4(当且仅当a=b=取等号).‎ 答案:B ‎3.已知不等式(x+y)(+)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为 (  )‎ A.8 B.‎6 C.4 D.2‎ 解析:(x+y)(+)=1+a·++a ‎≥a+1+2 =a+2 +1,‎ 当且仅当a·=等号成立,‎ 所以()2+2+1≥9,‎ 即()2+2-8≥0,得≥2或≤-4(舍),‎ 所以a≥4,即a的最小值为4.‎ 答案:C ‎4.(2010·太原模拟)若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)和函数f(x)=ax+1+1(a>0且a≠‎ ‎1)的图象恒过同一个定点,则当+取最小值时,函数f(x)的解析式是________.‎ 解析:函数f(x)=ax+1+1的图象恒过(-1,2),故a+b=1,+=(a+b)(+)=++≥+.当且仅当b=a时取等号,将b=a代入a+b=1得a=2-2,故f(x)=(2-2)x+1+1.‎ 答案:f(x)=(2-2)x+1+1‎ 题组二 利用基本不等式证明不等式 ‎5.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则 (  )‎ A.ab≤ B.ab≥ C.a2+b2≥2 D.a2+b2≤3‎ 解析:法一:由≥得ab≤()2=1,又a2+b2≥2ab⇒2(a2+b2)≥(a+b)2⇒a2+b2≥2.‎ 法二:(特值法)取a=0,b=2满足a+b=2,代入选项可排除B、D.又取a=b=1满足a+b=2.但ab=1,可排除A.‎ 答案:C ‎6.设a、b是正实数, 以下不等式 ‎①>;②a>|a-b|-b;③a2+b2>4ab-3b2;④ab+>2恒成立的 序号为 (  )‎ A.①③ B.①④ C.②③ D.②④‎ 解析:∵a、b是正实数,∴①a+b≥2⇒1≥⇒≥.当且仅当a=b时 ‎ 取等号,∴①不恒成立;②a+b>|a-b|⇒a>|a-b|-b恒成立;③a2+b2-4ab+3b2=(a-2b)2≥0,当a=2b时,取等号,∴③不恒成立;④ab+≥2 =2 >2恒成立.‎ 答案:D ‎7.已知a、b、c∈(0,+∞)且a+b+c=1,‎ 求证:(-1)(-1)(-1)≥8.‎ 证明:∵a、b、c∈(0,+∞)且a+b+c=1,‎ ‎∴(-1)(-1)(-1)= ‎=≥=8.‎ 当且仅当a=b=c=时取等号.‎ 题组三 基本不等式的实际应用 ‎8.(2010·惠州模拟)某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(00),‎ 即x=10时取等号.‎ ‎∴当长为‎16.2米,宽为‎10米时总造价最低,最低总造价为38 880元.‎ ‎(2)由限制条件知,∴10≤x≤16.‎ 设g(x)=x+(10≤x≤16),‎ 由函数性质易知g(x)在上是增函数,‎ ‎∴当x=10时(此时=16),‎ g(x)有最小值,即f(x)有最小值 ‎1 296×(10+)+12 960=38 882(元).‎ ‎∴当长为‎16米,宽为‎10‎米时,总造价最低,为38 882元.‎ ‎(理)为了提高产品的年产量,某企业拟在2010年进行技术改革.经调查测算,产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元(m≥0)满足x=3-(k为常数).如果不搞技术改革,则该产品当年的产量只能是1万件.已知2010年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元.由于市场行情较好,厂家生产的产品均能销售出去.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金).‎ ‎(1)将2010年该产品的利润y万元(利润=销售金额-生产成本-技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数;‎ ‎(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时,厂家的利润最大?‎ 解:(1)由题意可知,当m=0时,x=1(万件),‎ ‎∴1=3-k,∴k=2,∴x=3-,‎ 每件产品的销售价格为1.5×(元),‎ ‎∴2010年的利润 y=x·-(8+16x)-m ‎=-[+(m+1)]+29(元)(m≥0).‎ ‎(2)∵m≥0,∴+(m+1)≥2=8,‎ ‎∴y≤29-8=21,‎ 当=m+1,即m=3,ymax=21.‎ ‎∴该企业2010年的技术改革费用投入3万元时,厂家的利润最大.‎ 题组四 基本不等式的综合应用 ‎11.若a是-b与+b的等比中项,则的最大值为 (  )‎ A. B.‎1 ‎‎ C. D. 解析:∵a是-b与+b的等比中项,‎ ‎∴a2=2-b2⇒a2+b2=2.‎ 根据基本不等式知≤≤ =1.‎ 即的最大值为1.‎ 答案:B ‎12.若a,b是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞),则+≥,当且仅当=时取等号.利用以上结论,函数f(x)=+(x∈(0,))取得最小值时x的值为 (  )‎ A.1 B. C.2 D. 解析:由+≥得,f(x)=+≥=25.当且仅当=时取等号,即当x=时f(x)取得最小值25.‎ 答案:B ‎13.已知关于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为________.‎ 解析:因为x>a,所以2x+=2(x-a)++‎2a≥2 +‎2a=‎2a+4,即‎2a+4≥7,所以a≥,即a的最小值为.‎ 答案: