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- 2021-05-13 发布
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四川省资阳市2008—2009学年高三第二次高考模拟考试
数学(理)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至8页.全卷共150分,考试时间为120分钟. (考试时间3月28日)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.
3.考试结束时,将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么.
如果事件A、B相互独立,那么.
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.
球的表面积,其中R表示球的半径.
球的体积,其中R表示球的半径.
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目的要求的.
1.已知i为虚数单位,集合,,且,则实数m的值为
(A)±2 (B)±1 (C)-1 (D)1
2.若,则下列不等式不成立的是
(A) (B) (C) (D)
3.函数是
(A)最小正周期是π的偶函数 (B)最小正周期是π的奇函数
(C)最小正周期是2π的偶函数 (D)最小正周期是2π的奇函数
4.已知直线mÌ平面α,条件甲:直线l∥α,条件乙:l∥m,则甲是乙的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件
5.已知随机变量ξ的概率密度函数为,则下列结论错误的是
(A) (B)随机变量ξ的期望与标准差均为1
(C)的渐近线方程为 (D)在区间上是减函数
6.在右边的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行的数成等差数列,每一纵列的数成等比数列,那么的值为
(A)1 (B)2
(C)3 (D)4
7.在的展开式中,常数项等于
(A)70 (B)38 (C)-32 (D)-38
8.四面体ABCD的外接球球心在CD上,且,,在其外接球面上A、B两点间的球面距离是
(A) (B) (C) (D)
9.已知向量,向量,曲线上一点P到的距离为6,Q为PF的中点,O为坐标原点,则
(A)5 (B)1 (C)10或2 (D)5或1
10.某班级要从6名男生、4名女生中选派6人参加某次社区服务,要求女生甲、乙要么都参加、要么都不参加,且至少一名女生参加,那么不同的选派方案总数为
(A)117 (B)107 (C)97 (D)82
11.已知点,O是坐标原点,点的坐标满足设z为在上的投影,则z的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
12.已知函数.规定:给定一个实数,赋值,若x1≤244,则继续赋值,…,以此类推,若≤244,则,否则停止赋值.若最后得到的赋值结果为,则称为赋值了n次.如果赋值k次后该过程停止,那么的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
资阳市2008—2009学年度高中三年级第二次高考模拟考试
数 学(理工农医类)
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
题号
二
三
总分
总分人
17
18
19
20
21
22
得分
注意事项:
1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题:本大题共4个小题,每小题4分,共16分. 把答案直接填在题目中的横线上.
图1
13.已知函数在R上连续,则______.
14.图1是函数的部分图象,则_______.
图2
15.如图2,已知A、D、B、C分别为过抛物线焦点F的直线与该抛物线和圆的交点,则__________.
16.设,函数,其中a∈R,常数m∈N*,且.如果不等式在区间有解,则实数a的取值范围是________________.
三、解答题:本大题共6个小题,共74分.解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
在△ABC中,已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且直线l1:与直线l2:互相平行(其中).
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,求△ABC面积的最大值.
18.(本小题满分12分)
一个口袋中装有分别标记着数字1、2、3、4的4个球,从这只口袋中每次取出1个球,取出后再放回,连续取三次,设三次取出的球中数字最大的数为随机变量ξ.
(Ⅰ)求ξ=3时的概率;
(Ⅱ)求ξ的概率分布列及数学期望.
19.(本小题满分12分)
如图3,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1C1C是面积为的菱形,∠ACC1为锐角,侧面ABB1A1⊥AA1C1C,且A1B=AB=AC=1.
图3
(Ⅰ)求证:AA1⊥BC1;
(Ⅱ)求A1到平面ABC的距离;
(Ⅲ)求二面角B-AC-C1的余弦值.
20.(本小题满分12分)
设向量,(),函数在上的最小值与最大值的和为;数列的前n项和满足:.
(Ⅰ)求和的表达式;
(Ⅱ)令,试问:在数列中,是否存在正整数k,使得对于任意的正整数n,都有成立?证明你的结论.
21.(本小题满分12分)
如图4,已知椭圆C:的左、右焦点分别是F1、F2,M是椭圆C的上顶点,椭圆C的右准线与x轴交于点N,且,.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若⊙O是以F1F2为直径的圆,直线l:与⊙O相切,并与椭圆C交于不同的两点A、B.当,且满足时,求△AOB面积S的取值范围.
图4
22.(本小题满分14分)
已知函数.
(Ⅰ)若函数在区间(其中)上存在极值,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)如果当时,不等式恒成立,求实数k的取值范围;
(Ⅲ)求证:.
资阳市2008—2009学年度高中三年级第二次高考模拟考试
数学(理工农医类)试题参考答案及评分意见
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.
1-5:DBADC; 6-10:BACDC; 11-12: BC.
二、填空题:本大题共4个小题,每小题4分,共16分.
13.3; 14.-4; 15.1; 16..
三、解答题:本大题共6个小题,共74分.解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.解:(Ⅰ)∵l1∥l2,,
∴, 3分
∴,
∴. 6分
(Ⅱ)∵且,
∴,∴,当且仅当时取"=". 8分
∵,∴, 10分
∴,当且仅当时取"=".
故△ABC面积取最大值为. 12分
18.解:(Ⅰ)ξ=3表示取出的三个球中数字最大者为3.
①三次取球均出现最大数字为3的概率; 1分
②三次取球中有2次出现最大数字3的概率; 3分
③三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率. 5分
∴P(ξ=3)=P1+P2+P3=. 6分
(Ⅱ)在ξ=k时, 利用(Ⅰ)的原理可知:
(k=1、2、3、4). 8分
则ξ的概率分布列为:
ξ
1
2
3
4
P
10分
∴ξ的数学期望Eξ=1×+2×+3×+4× = . 12分
19.(Ⅰ)证明:∵四边形AA1C1C是菱形,∴AA1=A1C1=C1C=CA=1,∴△AA1B是等边三角形,设O是AA1的中点,连接BO,则BO⊥AA1. 2分
∵侧面ABB1A1⊥AA1C1C,∴BO⊥平面AA1C1C,菱形AA1C1C面积为,知C到AA1的距离为,,∴△AA1C1是等边三角形,且C1O⊥AA1,又C1O∩BO=O.
∴AA1⊥面BOC1,又BC1Ì面BOC1.∴AA1⊥BC1. 4分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知OA、OC1、OB两两垂直,以O为原点,建立如图空间直角坐标系,则,,,,.则,,,. 5分
设是平面ABC的一个法向量,
则即
令,则.设A1到平面ABC的距离为d.
∴. 8分
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知平面ABC的一个法向量是,又平面ACC1的一个法向量. 9分
∴. 11分
∴二面角B-AC-C1的余弦值是. 12分
20.解:(Ⅰ),对称轴方程为,故函数在[0,1]上为增函数,∴. 2分
当时,. 3分
∵ ①
∴ ②
②-①得,即, 4分
则,∴数列是以为首项,为公比的等比数列.
∴,∴. 6分
(Ⅱ)∵,∴.
∵ 7分
可知:当时,;当时,;当时,.
即 10分
可知存在正整数或6,使得对于任意的正整数n,都有成立. 12分
21.解:(Ⅰ)设,,,
,,,
,,
.∵,
∴,∴,∴. 2分
则N(c,0),M(0,c),所以,
∴,则,.
∴椭圆的方程为. 4分
(Ⅱ)∵圆O与直线l相切,则,即, 5分
由消去y得.
∵直线l与椭圆交于两个不同点,设,
,
∴,, 7分
∴,
由,,. 8分
. 9分
(或).
设,则,,,
令,则,
∴在时单调递增, 11分
∴S关于μ在区间单调递增,,,
∴. 12分
(或,
∴S关于u在区间单调递增, 11分
∵,,.) 12分
22.解:(Ⅰ)因为,,则, 1分
当时,;当时,.
∴在上单调递增;在上单调递减,
∴函数在处取得极大值. 2分
∵函数在区间(其中)上存在极值,
∴解得. 3分
(Ⅱ)不等式,即为, 4分
记,∴, 5分
令,则,∵,∴,在上递增,
∴,从而,故在上也单调递增,
∴,
∴. 7分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知:恒成立,即, 8分
令则, 9分
∴,
,
,
………
, 10分
叠加得:
. 12分
则,
∴. 14分