高考文科数学模拟题5 7页

016 年全国高考文科数学模拟试题一 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必 将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 （1）设集合 ， ，则 A． B． C． D． （2）给定函数① ，② ，③ ，④ ，其中在区间 上单 调递减的函数序号是 A．①④ B．②③ C．③④ D．①② （3）设 ,则“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （4）设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为 (A) (B) (C) (D) （5）一个袋子中有号码为 1、2、3、4、5 大小相同的 5 个小球，现从袋中任取出一个球，取出后 不放回，然后再从袋中任取一个球，则第一次取得号码为奇数，第二次取得号码为偶数球的概率 为 A． B． C． D． （6） 一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为 12π＋8 5 3 ，则正视图与侧视图中 x 的 值为 A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．2 （7）一个样本容量为 10 的样本数据，它们组成一个公差不为 O 的等差数列{ }，若 a3 =8，且 a1， a3，a7 成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是 A．13 ,12 B．13 ,13 C．12 ,13 D．13 ,14． （8）曲线 y= +1 在点（0，2）处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为 A． B． C． D．1 (9)已知双曲线 与抛物线 有一个公共的 焦点 F，且两曲线的一个交点为 P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D． （10）若 表示不超过 的最大整数，执行如图所示 的程序框图，则输出 的值为 A. B. C. D. （11）已知 S,A，B，C 是球 O 表面上的点，SA⊥平面 ABC，AB⊥BC,SA=AB=l， BC= ，则球 O 的表面积等于 A．4 B．3 C．2 D． （12）若函数 ，并且 ，则下列各结论正确 的是 A． B． 2{ | }M x x x= = { | lg 0}N x x= ≤ M N = [0,1] (0,1] [0,1) ( ,1]−∞ 2xe− 1 3 1 2 2 3 ( ) sin xf x x = 2 3 3a b π π< < < ( ) ( ) ( )2 a bf a f ab f +< < ( )( ) ( )2 a bf ab f f b +< < 1 2y x= 1 2 log ( 1)y x= + | 1|y x= − 12xy += (0,1) ,a b R∈ ( )3 2 0a b b− > a b> yx,    ≥− ≥− ≥+ 42 1 1 yx yx yx yxz += 3 11 3 2 3 13 na 2 2 2 2- 1( 0, 0)x y a ba b = > > 2 8y x= 3 0x y± = 3 0x y± = 2 0x y± = 2 0x y± = [ ]x x S 4 5 7 9 2 π π π π C． D． 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必 须作答。第 22 题~ 第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大概题共 4 小题，每小题 5 分。 （13）数列 的首项为 3， 为等差数列且 ，若 ， ， 则 . （14）已知向量 ，若 ⊥ ，则 16x+4y 的最小值为　　． （15）已知直线 与双曲线 交于两点，则该双曲线的离心率的取值 范围是 . （16）如图甲, 在 中, , , 为.垂足, 则 , 该结论称为射影定 理. 如图乙, 在三棱锥 中, 平面 , 平 面 , 为 垂 足 , 且 在 内, 类比射影定理, 探究 、 、 这三者之间满足的关系是 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）( 本小题满分 12 分) 已知向量 （1）当 时，求 的值； （2）已知在锐角 ΔABC 中，a，b，c分别为角 A,B,C的对边， ,函数 ，求 的取值范围. （18）（本小题满分 12 分） 某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以 计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区 内有至少 的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” ．已知 备选的 5 个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区. （Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率； （Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区 ，调查显示其“低碳族”的比例为 ，数据如图 1 所示，经 过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图 2 所示，问这时小区 是否达到“低 碳小区”的标准？ （19）（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD⊥底面 ABCD，E 是 AB 上一点．已知 PD＝ 2，CD＝4，AD＝ 3． （Ⅰ）若∠ADE＝π 6，求证：CE⊥平面 PDE； （Ⅱ）当点 A 到平面 PDE 的距离为 2 7时，求三棱锥 A-PDE 的侧面积． ( )( ) ( )2 a bf ab f f a +< < ( ) ( ) ( )2 a bf b f f ab +< < ABC∆ AB AC⊥ AD BC⊥ D 2AB BD BC= ⋅ A BCD− AD ⊥ ABC AO ⊥ BCD O O BCD∆ ABCS∆ BCOS∆ BCDS∆ %75 A 2 1 A O 月排放量 （百千克/户 户） 频率 组距 0.46 0.23 0.10 0.07 1 2 3 4 5 图 2 O 月排放量 （百千克/户 户） 频率 组距 0.30 0.25 0.20 0.15 0.05 1 2 3 4 5 图 1 6 0.14 { }na { }nb * 1 ( )n n nb a a n N+= − ∈ 23 −=b 1210 =b 8a = 2 xy = ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > (sin , 1), (cos ,3)m x n x= − =  //m n  ( ) ( )f x m n n= + ⋅   （20）（本小题满分 12 分） 已知 是椭圆 的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点， ,若椭圆的离心率等于 . （1）求直线 的方程（ 为坐标原点）； （2）直线 交椭圆于点 ，若三角形 的面积等于 4 ，求椭圆的方程． （21）（本小题满分 12 分） 已知函数 ． （1）当 时，求函数 的单调区间； （2）若对于任意 都有 成立，求实数 的取值范围； （3）若过点 可作函数 图象的三条不同切线，求实数 的取值范围． 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则安所做的第一题计分。作答 时请写清题号。 (22)（本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲 如图， 为直角三角形， ，以 为直径的圆交 于点 ，点 是 边的中点，连 交圆 于点 ． （Ⅰ）求证： 四点共圆； （Ⅱ）求证： ． (23)（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），在极坐标系（与直角 坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，圆 的方程为 ． （Ⅰ）求圆 的圆心到直线 的距离； （Ⅱ）设圆 与直线 交于点 ．若点 的坐标为（3， ），求 ． (24)（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式证明选讲 已知函数 （1）求不等式 的解集； （2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围。 1 2,F F 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 1 2 0AF F F⋅ =  2 2 AO O AO B 2ABF 2 ( ) 3 21 23 2 af x x x x= − + − ( )a∈R 3a = ( )f x [ )1,x∈ +∞ ( ) 2( 1)f x a′ < − a 10, 3  −   ( )y f x= a ABC∆ 90=∠ABC AB AC E D BC OD O M EDBO ,,, ABDMACDMDE ⋅+⋅=22 xOy l 23 2 25 2 x t y t  = −  = + t xOy O x C 2 5 sinρ θ= C l C l A B、 P 5 | | | |PA PB+ 11)( ++−= xxxf 3)( ≥xf x xxaxf 2)( 22 +−> R a 016 年全国高考文科数学模拟试题一答案 一、选择题 （1）A （2）B （3）A （4）B （5）D （6）C （7）B （8）B （9）D （10）C (11)A (12)D 【 解 析 】 ， ， 令 则 在 成立，所以 g（x）为 的减函 数 ， 所 以 ， 所 以 ， 所 以 为 的 减 函 数 ， 所 以 ． 二、填空题 （13） （14） 8 （15） （16） 三、解答题 （17）（本小题满分 12 分） 解：（I）由 m//n，可得 3sinx=-cosx，于是 tanx= ． ∴ ． …………………………4 分 （II）∵在△ABC 中，A+B= -C，于是 ， 由正弦定理知： ， ∴ ，可解得 ． ………………………………………………6 分 又△ABC 为锐角三角形，于是 ， ∵ =(m+n)·n =(sinx+cosx，2)·(sinx，-1)=sin2x+sinxcosx-2 = = ， ∴ ．……………………10 分 由 得 ， ∴ 0 A 3− 5 ,2  +∞    又∠AED＝π 3，∴∠DEC＝π 2，即 CE⊥DE． ∵PD⊥底面 ABCD，CE 底面 ABCD， ∴PD⊥CE． ∴CE⊥平面 PDE．……………………………………………………………（6 分） （Ⅱ）∵PD⊥底面 ABCD，PD 平面 PDE， ∴平面 PDE⊥平面 ABCD． 如图，过 A 作 AF⊥DE 于 F，∴AF⊥平面 PDE， ∴AF 就是点 A 到平面 PDE 的距离，即 AF＝ 2 7． 在 Rt△DAE 中，由 AD·AE＝AF·DE，得 3AE＝ 2 7· 3＋AE 2，解得 AE＝2． ∴S△APD＝ 1 2PD·AD＝ 1 2× 2× 3＝2， S△ADE＝ 1 2AD·AE＝ 1 2× 3×2＝ 3， ∵BA⊥AD，BA⊥PD，∴BA⊥平面 PAD， ∵PA 平面 PAD，∴BA⊥PA． 在 Rt△PAE 中，AE＝2，PA＝ PD 2＋AD 2＝ 2＋3＝ 5， ∴S△APE＝ 1 2PA·AE＝ 1 2× 5×2＝ 5． ∴三棱锥 A-PDE 的侧面积 S 侧＝2＋ 3＋ 5．…………………………（12 分） （20）（本小题满分 12 分） 解：（1）由 ,知 ，因为椭圆的离心率等于 , 所以， 可得 ，设椭圆方程为 --------2 分 设 ，由 ,知 ∴ ,代入椭圆方程可得 --------4 分 ∴A（ ），故直线 的斜率 --------5 分 直线 的方程为 --------6 分 （2）连结 由椭圆的对称性可知, ， --------9 分 所以 -------10 分 又由 解得 ,故椭圆方程为 ------12 分 （21）（本小题满分 12 分） 解：（1）当 时， ，得 ．………1 分 因为 ， 所以当 时， ，函数 单调递增； 当 或 时， ，函数 单调递减． 所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 ．……3 分 （2）方法 1：由 ，得 ， 因为对于任意 都有 成立， 即对于任意 都有 成立， 即对于任意 都有 成立，………………………………4 分 令 ，要使对任意 都有 成立， 必须满足 或 …………………………………………5 分 2 1 2 0AF F F⋅ =  212 FFAF ⊥ 2 2 2 ,2c a= 2 21 2b a= 2 2 22x y a+ = 0 0( , )A x y 2 1 2 0AF F F⋅ =  0x c= 0( , )A c y 0 1 2y a= 2 1,2 2a a AO 2 2k = AO 2 2y x= 1 1 2 2, , , ,AF BF AF BF 2112 FAFABFABF SSS ∆∆∆ == 242 122 1 =ac 2 2c a= 2 216, 16 8 8a b= = − = 2 2 116 8 x y+ = 3a = ( ) 3 21 3 23 2f x x x x= − + − ( ) 2' 3 2f x x x= − + − ( ) ( )( )2' 3 2 1 2f x x x x x= − + − = − − − 1 2x< < ( ) 0f x′ > ( )f x 1x < 2x > ( ) 0f x′ < ( )f x ( )f x ( )1,2 ( ),1−∞ ( )2,+∞ ( ) 3 21 23 2 af x x x x= − + − ( ) 2' 2f x x ax= − + − [ )1,x∈ +∞ '( ) 2( 1)f x a< − [ )1,x∈ +∞ 2 2 2( 1)x ax a− + − < − [ )1,x∈ +∞ 2 2 0x ax a− + > ( ) 2 2h x x ax a= − + [ )1,x∈ +∞ ( ) 0h x > 0∆ < ( ) 0, 1,2 1 0. a h ∆ ≥  ≤   > ⊂ ⊂ ⊂ 即 或 …………………………………………6 分 所以实数 的取值范围为 ．……………………………………………7 分 方法 2：由 ，得 ， 因为对于任意 都有 成立， 所以问题转化为，对于任意 都有 ．………………4 分 因为 ，其图象开口向下，对称轴为 ． ①当 时，即 时， 在 上单调递减， 所以 ， 由 ，得 ，此时 ．…………………………………5 分 ②当 时，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ， 由 ，得 ，此时 ．……………Ks5uKs5uKs5u ………………6 分 综上①②可得，实数 的取值范围为 ．…………………………………………7 分 （3）设点 是函数 图象上的切点， 则过点 的切线的斜率为 ，…………………………………8 分 所以过点 的切线方程为 ．……………9 分 因为点 在切线上， 所以 即 ．……………………………10 分 若过点 可作函数 图象的三条不同切线， 则方程 有三个不同的实数解．……………………………………10 分 令 ，则函数 与 轴有三个不同的交点． 令 ，解得 或 ． 因为 ， ， 所以必须 ，即 ． 所以实数 的取值范围为 ．………………………………………………12 分 （22） （本小题满分 10 分） 解：（1）连接 ，则 ……………………………………………1 分 又 是 的中点，所以 ……………………………………………3 分 又 ，所以 ，所以 故 四点共圆． …………………………………………………………5 分 (2) 延长 交圆于点 ， ……………………8 分 2 8 0a a− < 2 8 0, 1,2 1 0. a a a a  − ≥  ≤  + > a ( )1,8− ( ) 3 21 23 2 af x x x x= − + − ( ) 2' 2f x x ax= − + − [ )1,x∈ +∞ '( ) 2( 1)f x a< − [ )1,x∈ +∞ [ ]max'( ) 2( 1)f x a< − ( ) 2 2 22 4 a af x x ′ = − − + −   2 ax = 12 a < 2a < ( )'f x [ )1,+∞ ( ) ( )max' ' 1 3f x f a= = − ( )3 2 1a a− < − 1a > − 1 2a− < < 12 a ≥ 2a ≥ ( )'f x 1, 2 a     ,2 a +∞   ( ) 2 max' ' 22 4 a af x f  = = −   ( )2 2 2 14 a a− < − 0 8a< < 2 8a≤ < a ( )1,8− 3 21, 23 2 aP t t t t − + −   ( )y f x= P ( ) 2' 2k f t t at= = − + − P ( )( )3 2 21 2 23 2 ay t t t t at x t+ − + = − + − − 10, 3  −   ( )( )3 2 21 1 2 2 03 3 2 at t t t at t− + − + = − + − − 3 22 1 1 03 2 3t at− + = 10, 3  −   ( )y f x= 3 22 1 1 03 2 3t at− + = ( ) 3 22 1 1 3 2 3g t t at= − + ( )y g t= t ( ) 22 0g t t at′ = − = 0t = 2 at = ( ) 10 3g = 31 1 2 24 3 ag a  = − +   31 1 02 24 3 ag a  = − + <   2a > a ( )2,+∞ BE ECBE ⊥ D BC BDDE = ODODOBOE == , ODBODE ∆≅∆ 90=∠=∠ OEDOBD BOED ,,, DO H +⋅=+⋅=⋅= DODMOHDODMDHDMDE )(2  OHDM ⋅ ，即 ……10 分 （23）（本小题满分 10 分） 解：（1）由 得 ，即 由 得 所以 …………………4 分 （2）将 的参数方程代入圆 的直角坐标方程，得 即 ，由于 故可设 是上述方程的两实根，所以 ，又直线 过点 ,故由上式及 的几 何意义得： …………………10 分 （24）（本小题满分 10 分） 解：（Ⅰ）由题设知： ， 令 ，解得 ，这就是两个分界点。把全体实数分成 3 个区间。 不等式的解集是以下不等式组解集的并集： ，或 ，或 ………………3 分 解得函数 的解集为 ； ………………………………5 分 （Ⅱ）不等式 即 ， 时，恒有 ，…………………………8 分 不等式 解集是 R， 的取值范围是 ．…………………………………………………………10 分 )2 1()2 1(2 ABDMACDMDE ⋅+⋅=∴ ABDMACDMDE ⋅+⋅=22 θρ sin52= 05222 =−+ yyx 5)5( 22 =−+ yx 23 2 25 2 x t y t  = −  = + 053 =−−+ yx 2 23 2 535 = −− =d l C 5)2 2()2 23( 22 =+− tt 04232 =+− tt 0144)23( 2 >××−=∆ 21,tt    = =+ 4 23 21 21 tt tt l )5,3(p t 232121 =+=+=+ ttttPBPA 721 >++− xx 1 0, 2 0x x− = + = 1, 2x x= = −    >++− ≥ 721 1 xx x    >+++− <<− 721 12 xx x    >−−+− −≤ 721 2 xx x )(xf ),3()4,( +∞∪−−∞ 3)( ≥xf 821 +≥++− axx Rx∈ 3)2()1(21 =+−−≥++− xxxx  821 +≥++− axx 8 3,a∴ + ≤ a∴ ]5-,(−∞