高考数学湖北理 16页

绝密★启用前 ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）‎ 数 学（理工类）‎ 本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．为虚数单位，的共轭复数为 A． B． C．1 D． ‎ 答案：A 解析：，其共轭复数为.故选（A）.‎ ‎2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534‎ ‎ 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 ‎ A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 答案：B ‎ 解析：这批米内夹谷约为石.故选(B).‎ ‎3．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 A． B． C． D．‎ 答案：D ‎ 解析：因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得.所以根据二项式系数和的相关公式得，奇数项的二项式系数和为.故选(D).‎ ‎4．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是 A． ‎ B． ‎ C．对任意正数， ‎ D．对任意正数，‎ 答案：C 解析：对于选项(A)，因为正态分布曲线关于直线对称，所以.所以.故选项（A）错误；‎ 对于选项（B），因为的正态分布密度曲线比的正态分布密度曲线更“瘦高”，所以.所以.故选项（B）错误；‎ 对于选项(C)，在轴右方作与轴垂直的一系列平行线，可发现在任何情况下，的正态分布密度曲线与轴之间围成的图形面积都大于的正态分布密度曲线与轴之间围成的图形面积，即对任意正数，.故选项(C) 正确；‎ ‎5．设，. 若p：成等比数列；‎ q：，则 A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 ‎ B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 ‎ D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 答案：A 解析：柯西不等式“‎ ‎”等号成立的条件是 ‎“（即成等比数列）”或“”，故是的充分条件，但不是的必要条件.故选（A）.‎ ‎6．已知符号函数 是上的增函数，，则 ‎ A． 　 B．‎ ‎ C． D．‎ 答案：B ‎ 解析：不妨令，，则.‎ 则，排除选项（A）；‎ 是以与比较，排除选项（C），（D）.‎ 故选（B）.‎ ‎7．在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则 ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ 答案：B 解析：在同一平面直角坐标系中，依次作出不等式 的可行域如下图所示：‎ 则，，.‎ 因为 ，所以.‎ 所以.‎ 即.故选（B）.‎ ‎8．将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位 ‎ ‎ 长度，得到离心率为的双曲线，则 ‎ A．对任意的， B．当时，；当时，‎ ‎ C．对任意的， D．当时，；当时，‎ 答案：D 解析：，.不妨令，化简得，得，得.所以当时，有，即；当时，有，即.故选（D）.‎ ‎9．已知集合，，定义集合 ‎ ，则中元素的个数为 A．77 B．49 ‎ C．45 D．30‎ 答案：C ‎ 解析：如图，集合表示如下图所示的所有红心圆点，集合表示如下图所示的所有红心圆点+所有绿心圆点，集合显然是集合中除去四个点之外的所有整点（即横坐标与纵坐标都为整数的点），即集合表示如下图所示的所有红心圆点+所有绿心圆点+所有黄心圆点，共45个.故中元素的个数为45 . 故选（C）.‎ ‎10．设，表示不超过的最大整数. 若存在实数，使得，，…， ‎ 同时成立，则正整数的最大值是 ‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ 答案：B 二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． ‎ ‎（一）必考题（11—14题）‎ ‎11．已知向量，，则 ．‎ 答案：9‎ 解析：由，得.所以.‎ ‎12．函数的零点个数为 ．‎ 答案：2‎ 解析：‎ ‎，令，得.在同一坐标系中作出两个函数与函数的大致图象如右图所示.‎ 观察图像可知，两函数图像有2个交点，故函数有2个零点. ‎ ‎13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶‎600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. ‎ 答案：‎ 解析：依题意，在中，，，，由正弦定理得，即，所以.在中，，.‎ ‎ ‎ ‎14．如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（B在A的上方），‎ ‎ 且．‎ ‎（Ⅰ）圆的标准方程为 ；‎ ‎（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：‎ ‎①； ②； ③．‎ 其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）‎ x O ‎ y T C N ‎ A M B 答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③‎ 解析：（1）由题意设圆心（为圆的半径），则，解得.所以圆的方程为.‎ ‎（2）在中，令，得.又由图可知，点在下在上，所以点，.‎ 设 当直线的斜率不存在时，令则 所以 当直线的斜率存在时，设直线的方程为由得则 ‎.‎ 所以所以是的平分线.由内角平分线定理得即故恒成立.‎ 当时,可求得.故为定值.所以.故②正确；.故③正确.‎ 综上，正确结论的序号是①②③.‎ ‎（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）‎ ‎15．（选修4-1：几何证明选讲）‎ 如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，‎ 且，则 . ‎ 答案：‎ 解析：由切割线定理知，且，所以.由弦切角定理知，又，所以.所以.‎ ‎16．（选修4-4：坐标系与参数方程）‎ 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为 ( t为参数) ，l与C相交于AB两点，则 .‎ 答案：‎ 直线的极坐标方程化为直角坐标方程为，曲线的参数方程两式经过平方相减，化为普通方程为，联立解得或 所以点，.所以.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分11分）‎ 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象 时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎ （1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解 ‎ 析式；‎ ‎（2）将图像上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图 像. 若图像的一个对称中心为，求的最小值. ‎ 解：（1）根据表中已知数据，解得. 数据补全如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎0‎ 且函数表达式为. ‎ ‎（2）由（1）知 ，得.‎ ‎ 因为的对称中心为，. ‎ ‎ 令，解得， . ‎ ‎ 由于函数的图象关于点成中心对称，令，‎ ‎ 解得，. 由可知，当时，取得最小值. ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）当时，记，求数列的前n项和． ‎ 解：（1）由题意有， 即 解得 或 故或 ‎（2）由，知，，故，于是 ‎， ①‎ ‎. ②‎ ‎①-②可得 ‎，‎ 故. ‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．‎ 如图，在阳马中，侧棱底面，‎ 且，过棱的中点，作交于 点，连接 ‎ ‎（1）证明：．试判断四面体是 否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写 出结论）；若不是，说明理由；‎ ‎（2）若面与面所成二面角的大小为，‎ ‎ 求的值．‎ 第19题图 解：（解法1）‎ ‎（1）因为底面，所以，‎ ‎ 由底面为长方形，有，而，‎ 所以. 而，所以. ‎ 又因为，点是的中点，所以. ‎ 而，所以平面. 而，所以.‎ 又，，所以平面. ‎ 由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，‎ 即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为. ‎ ‎（2）如图1，在面内，延长与交于点，则是平面与平面 ‎ 的交线. 由（1）知，，所以. ‎ 又因为底面，所以. 而，所以. ‎ 故是面与面所成二面角的平面角， ‎ 设，，有，‎ 在Rt△PDB中, 由, 得, ‎ 则 , 解得. ‎ 所以 ‎ 故当面与面所成二面角的大小为时，. ‎ ‎（解法2）‎ ‎（1）如图2，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设，，则，，点是的中点，所以，，‎ 于是，即. ‎ 又已知，而，所以. ‎ 因, , 则, 所以.‎ 由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，‎ 解答图2‎ 解答图1‎ 即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为. ‎ ‎（2）由，所以是平面的一个法向量；‎ 由（Ⅰ）知，，所以是平面的一个法向量. ‎ 若面与面所成二面角的大小为，‎ 则，‎ 解得. 所以 ‎ 故当面与面所成二面角的大小为时，. ‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产1吨产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天 产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为 W ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量．‎ ‎（1）求的分布列和均值；‎ ‎（2） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．‎ 解：（Ⅰ）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，则有 ‎ ①‎ 解答图1‎ 解答图2‎ 解答图3‎ 目标函数为 ． ‎ 当时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为． ‎ 将变形为，‎ 当时，直线：在轴上的截距最大，‎ 最大获利．‎ 当时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为．‎ 将变形为，‎ 当时，直线：在轴上的截距最大，‎ 最大获利．‎ 当时，①表示的平面区域如图3，‎ 四个顶点分别为. ‎ 将变形为，‎ 当时，直线：在轴上的截距最大，‎ 最大获利．‎ ‎ 故最大获利的分布列为 ‎8160‎ ‎10200‎ ‎10800‎ ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎ 因此， ‎ ‎（2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率，‎ 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为 ‎ ‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线 总与曲线有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若 存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．‎x D O M N y 图2‎ 图1‎ 解：（1）设点，，依题意，‎ 解答图 ‎，且，‎ 所以，且 即且 ‎ 由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，‎ 于是，故，代入，可得，‎ 即所求的曲线的方程为 ‎ ‎（2）1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有. ‎ ‎2）当直线的斜率存在时，设直线， ‎ 由 消去，可得.‎ 因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，‎ 所以，即. ①‎ 又由 可得；同理可得.‎ 由原点到直线的距离为和，可得 ‎. ②‎ 将①代入②得，. ‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 因，则，，所以，‎ 当且仅当时取等号.‎ 所以当时，的最小值为8.‎ 综合1）2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8. ‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数．‎ ‎（1）求函数的单调区间，并比较与e的大小；‎ ‎（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；‎ ‎（3）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：. ‎ 解：（Ⅰ）的定义域为，.‎ 当，即时，单调递增；‎ 当，即时，单调递减. ‎ 故的单调递增区间为，单调递减区间为. ‎ 当时，，即.‎ 令，得，即. ① ‎ ‎（2）；；‎ ‎.‎ 由此推测： ②‎ 下面用数学归纳法证明②. ‎ ‎1）当时，左边右边，②成立. ‎ ‎2）假设当时，②成立，即.‎ 当时，，由归纳假设可得 ‎.‎ 所以当时，②也成立. ‎ 根据1）2），可知②对一切正整数n都成立. ‎ ‎（3）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得 ‎. ‎ 即. ‎