高考数学模拟试卷 36 17页

2016 年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）（二） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）（2016•陕西二模）设集合 M={x| }，函数 f（x）=ln（1﹣ ）的定义 域为 N，则 M∩N 为（ ） A．[ ，1] B．[ ，1） C．（0， ] D．（0， ） 2．（5 分）（2016•陕西二模）已知命题 p： ∃ x ∈ R，log3x≥0，则（ ） A．￢p： ∀ x ∈ R，log3x≤0 B．￢p： ∃ x ∈ R，log3x≤0 C．￢p： ∀ x ∈ R，log3x＜0 D．￢p： ∃ x ∈ R，log3x＜0 3．（5 分）（2016•陕西二模）若 tanα= ，则 sin4α﹣cos4α的值为（ ） A．﹣ B．﹣ C． D． 4．（5 分）（2013•新课标Ⅱ）等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S3=a2+10a1，a5=9，则 a1= （ ） A． B． C． D． 5．（5 分）（2016•陕西二模）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ） A．28π B．32π C．36π D．40π 6．（5 分）（2016•陕西二模）将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三 个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法有 （ ）种． A．15 B．18 C．21 D．24 7．（5 分）（2014•新课标 I）已知抛物线 C：y2=x 的焦点为 F，A（x0，y0）是 C 上一点， AF=| x0|，则 x0=（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 8．（5 分）（2016•陕西模拟）如果执行如图的框图，输入 N=5，则输出的数等于（ ） A． B． C． D． 9．（5 分）（2016•陕西二模）曲线 y=e 在点（6，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形 的面积为（ ） A． B．3e2 C．6e2 D．9e2 10．（5 分）（2016•陕西二模）已知函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的 部分图象如图所示，且 f（α）=1，α ∈ （0， ），则 cos（2 ）=（ ） A． B． C．﹣ D． 11．（5 分）（2016•陕西二模）若 f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数， ∀ x1，x2 ∈ [0， +∞）（x1≠x2），有 ，则（ ） A．f（3）＜f（1）＜f（﹣2） B．f（1）＜f（﹣1）＜f（3） C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3） D．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） 12．（5 分）（2016•陕西二模）若直线 l1：y=x，l2：y=x+2 与圆 C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0 的四 个交点把圆 C 分成的四条弧长相等，则 m=（ ） A．0 或 1 B．0 或﹣1 C．1 或﹣1 D．0 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．（5 分）（2016•陕西二模） （x+cosx）dx= ． 14．（5 分）（2016•陕西二模）已知单位向量 ， 的夹角为 60°，则向量 与 的夹角为 ． 15．（5 分）（2016•陕西二模）不等式 a2+8b2≥λb（a+b）对于任意的 a，b ∈ R 恒成立，则实 数λ的取值范围为 ． 16．（5 分）（2016•陕西二模）已知 F 是双曲线 C：x2﹣ =1 的右焦点，若 P 是 C 的左支 上一点，A（0，6 ）是 y 轴上一点，则△APF 面积的最小值为 ． 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17．（12 分）（2016•陕西二模）在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c．已知 a+c=3 ，b=3． （I）求 cosB 的最小值； （Ⅱ）若 =3，求 A 的大小． 18．（12 分）（2016•陕西二模）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对 1～8 号 8 扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的 方式演绎），选手需正确答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次 场外调查中，发现参赛选手大多在以下两个年龄段：21～30，31～40（单位：岁），统计这 两个年龄段选手答对歌曲名称与否的人数如图所示． （1）写出 2×2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为答对歌曲名称与否和年龄有关，说 明你的理由．（下面的临界值表供参考） P（K2≥k0） 0.1 0.05 0.01 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 （2）在统计过的参考选手中按年龄段分层选取 9 名选手，并抽取 3 名幸运选手，求 3 名幸 运选手中在 21～30 岁年龄段的人数的分布列和数学期望． （参考公式：K2= ，其中 n=a+b+c+d） 19．（12 分）（2016•陕西二模）如图①，在△ABC 中，已知 AB=15，BC=14，CA=13．将 △ABC 沿 BC 边上的高 AD 折成一个如图②所示的四面体 A﹣BCD，使得图②中的 BC=11． （1）求二面角 B﹣AD﹣C 的平面角的余弦值； （2）在四面体 A﹣BCD 的棱 AD 上是否存在点 P，使得 • =0？若存在，请指出点 P 的 位置；若不存在，请给出证明． 20．（12 分）（2016•陕西二模）设 O 是坐标原点，椭圆 C：x2+3y2=6 的左右焦点分别为 F1， F2，且 P，Q 是椭圆 C 上不同的两点， （I）若直线 PQ 过椭圆 C 的右焦点 F2，且倾斜角为 30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等 差数列； （Ⅱ）若 P，Q 两点使得直线 OP，PQ，QO 的斜率均存在．且成等比数列．求直线 PQ 的 斜率． 21．（12 分）（2016•陕西二模）设函数 f（x）=ex﹣lnx． （1）求证：函数 f（x）有且只有一个极值点 x0； （2）求函数 f（x）的极值点 x0 的近似值 x′，使得|x′﹣x0|＜0.1； （3）求证：f（x）＞2.3 对 x ∈ （0，+∞）恒成立． （参考数据：e≈2.718，ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈1.609，ln7≈1.946）． [选修 4-1：几何证明选讲] 22．（10 分）（2016•陕西二模）如图，已知 AB 为⊙O 的直径，C，F 为⊙O 上的两点，OC ⊥AB，过点 F 作⊙O 的切线 FD 交 AB 的延长线于点 D，连接 CF 交 AB 于点 E．求证： DE2=DA•DB． [选修 4-4：坐标系与参数方程] 23．（2016•陕西二模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：x2+y2=4，圆 C2：（x﹣2）2+y2=4． （Ⅰ）在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆 C1 与圆 C2 的极坐标方程 及两圆交点的极坐标； （Ⅱ）求圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程． [选修 4-5：不等式选讲] 24．（2016•陕西二模）已知函数 f（x）=|x+1|﹣2|x|． （1）求不等式 f（x）≤﹣6 的解集； （2）若存在实数 x 满足 f（x）=log2a，求实数 a 的取值范围． 2016 年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）（二） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）（2016•陕西二模）设集合 M={x| }，函数 f（x）=ln（1﹣ ）的定义 域为 N，则 M∩N 为（ ） A．[ ，1] B．[ ，1） C．（0， ] D．（0， ） 【解答】解：集合 M={x| }=[ ，3），函数 f（x）=ln（1﹣ ）=[0，1）， 则 M∩N=[ ，1）， 故选：B． 2．（5 分）（2016•陕西二模）已知命题 p： ∃ x ∈ R，log3x≥0，则（ ） A．￢p： ∀ x ∈ R，log3x≤0 B．￢p： ∃ x ∈ R，log3x≤0 C．￢p： ∀ x ∈ R，log3x＜0 D．￢p： ∃ x ∈ R，log3x＜0 【解答】解：命题 p： ∃ x ∈ R，log3x≥0，则￢p： ∀ x ∈ R，log3x＜0． 故选：C． 3．（5 分）（2016•陕西二模）若 tanα= ，则 sin4α﹣cos4α的值为（ ） A．﹣ B．﹣ C． D． 【解答】解：∵tan ，则 sin4α﹣cos4α=（sin2α+cos2α）•（sin2α﹣cos2α）=sin2α﹣cos2α = = =﹣ ， 故选：B． 4．（5 分）（2013•新课标Ⅱ）等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S3=a2+10a1，a5=9，则 a1= （ ） A． B． C． D． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为 q， ∵S3=a2+10a1，a5=9， ∴ ，解得 ． ∴ ． 故选 C． 5．（5 分）（2016•陕西二模）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ） A．28π B．32π C．36π D．40π 【解答】解：图为三视图复原的几何体是一圆台和一个圆柱的组合体，圆柱的底面半径为 2， 高为 2，体积为：22π•2=8π． 圆台的底面半径为 4，上底面半径为 2，高为 3，体积为： =28π， 几何体的体积为：36π． 故选：C． 6．（5 分）（2016•陕西二模）将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三 个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法有 （ ）种． A．15 B．18 C．21 D．24 【解答】解：把 4 个小球分成（2，1，1）组，其中 2 个小球分给同一个小朋友的有 4 种方 法（红红，红黄，红白，白黄）， 若（红红，红黄，红白）分给其中一个小朋友，则剩下的两个球分给 2 个小朋友，共有 3× 3×A22=18 种， 若（白黄两个小球）分给其中一个小朋友，剩下的两个红色小球只有 1 种分法，故有 3×1=3 种， 根据分类计数原理可得，共有 18+3=21 种． 故选：C． 7．（5 分）（2014•新课标 I）已知抛物线 C：y2=x 的焦点为 F，A（x0，y0）是 C 上一点， AF=| x0|，则 x0=（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【解答】解：抛物线 C：y2=x 的焦点为 F ， ∵A（x0，y0）是 C 上一点，AF=| x0|， ∴ =x0+ ， 解得 x0=1． 故选：A． 8．（5 分）（2016•陕西模拟）如果执行如图的框图，输入 N=5，则输出的数等于（ ） A． B． C． D． 【解答】解：经过第一次循环得到 S= ，满足进入循环的条件，k=2， 经过第二次循环得到 S= + = ，满足进入循环的条件，k=3， 经过第三次循环得到 S= + = ，满足进入循环的条件，k=4， 经过第四次循环得到 S= + = ，满足进入循环的条件，k=5， 经过第五次循环得到 S= + = ，不满足进入循环的条件，执行输出， 故输出结果为： ， 故选：D 9．（5 分）（2016•陕西二模）曲线 y=e 在点（6，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形 的面积为（ ） A． B．3e2 C．6e2 D．9e2 【解答】解：y=e 的导数为 y′= e ， 可得在点（6，e2）处的切线斜率为 e2， 即有在点（6，e2）处的切线方程为 y﹣e2= e2（x﹣6）， 即为 y= e2x﹣e2， 令 x=0，可得 y=﹣e2；令 y=0，可得 x=3． 即有切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 •3•e2= e2． 故选：A． 10．（5 分）（2016•陕西二模）已知函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的 部分图象如图所示，且 f（α）=1，α ∈ （0， ），则 cos（2 ）=（ ） A． B． C．﹣ D． 【解答】解：由图象可得 A=3， =4（ ﹣ ），解得ω=2， 故 f（x）=3sin（2x+φ），代入点（ ，﹣3）可得 3sin（ +φ）=﹣3， 故 sin（ +φ）=﹣1， +φ=2kπ﹣ ，∴φ=2kπ﹣ ，k ∈ Z 结合 0＜φ＜π可得当 k=1 时，φ= ，故 f（x）=3sin（2x+ ）， ∵f（α）=3sin（2α+ ）=1，∴sin（2α+ ）= ， ∵α ∈ （0， ），∴2α+ ∈ （ ， ）， ∴cos（2 ）=﹣ =﹣ ， 故选：C． 11．（5 分）（2016•陕西二模）若 f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数， ∀ x1，x2 ∈ [0， +∞）（x1≠x2），有 ，则（ ） A．f（3）＜f（1）＜f（﹣2） B．f（1）＜f（﹣1）＜f（3） C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3） D．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） 【解答】解：∵ ∀ x1，x2 ∈ [0，+∞）（x1≠x2），有 ， ∴当 x≥0 时函数 f（x）为减函数， ∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数， ∴f（3）＜f（2）＜f（1）， 即 f（3）＜f（﹣2）＜f（1）， 故选：D 12．（5 分）（2016•陕西二模）若直线 l1：y=x，l2：y=x+2 与圆 C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0 的四 个交点把圆 C 分成的四条弧长相等，则 m=（ ） A．0 或 1 B．0 或﹣1 C．1 或﹣1 D．0 【解答】解：∵l1：y=x，l2：y=x+2 与圆 C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0， ∴直线 l1∥l2，且 l1、l2 把⊙C 分成的四条弧长相等， 画出图形，如图所示． 又⊙C 可化为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2， 当 m=0，n=1 时，圆心为（0，1），半径 r=1， 此时 l1、l2 与⊙C 的四个交点（0，0），（1，1），（0，2），（﹣1，1）把⊙C 分成的四条弧长 相等； 当 m=﹣1，n=0 时，圆心为（﹣1，0），半径 r=1， 此时 l1、l2 与⊙C 的四个交点（0，0），（﹣1，1），（﹣2，0），（﹣1，﹣1）也把⊙C 分成的 四条弧长相等； 故选：B． 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13．（5 分）（2016•陕西二模） （x+cosx）dx= ． 【解答】解： （ x2+sinx）| = 故答案为： ． 14．（5 分）（2016•陕西二模）已知单位向量 ， 的夹角为 60°，则向量 与 的夹角为 ． 【解答】解：∵单位向量 ， 的夹角为 60°， ∴| + |= = = ， | |= = ， （ + ）（ ）=﹣ • ﹣2 + =﹣ ﹣2+1=﹣ ， 设向量 与 的夹角为θ， 则 cosθ= =﹣ ， 故θ= ， 故答案为： ． 15．（5 分）（2016•陕西二模）不等式 a2+8b2≥λb（a+b）对于任意的 a，b ∈ R 恒成立，则实 数λ的取值范围为 [﹣8，4] ． 【解答】解：∵a2+8b2≥λb（a+b）对于任意的 a，b ∈ R 恒成 ∴a2+8b2﹣λb（a+b）≥0 对于任意的 a，b ∈ R 恒成 即 a2﹣（λb）a+（8﹣λ）b2≥0 恒成立， 由二次不等式的性质可得，△=λ2+4（λ﹣8）=λ2+4λ﹣32≤0 ∴（λ+8）（λ﹣4）≤0 解不等式可得，﹣8≤λ≤4 故答案为：[﹣8，4] 16．（5 分）（2016•陕西二模）已知 F 是双曲线 C：x2﹣ =1 的右焦点，若 P 是 C 的左支 上一点，A（0，6 ）是 y 轴上一点，则△APF 面积的最小值为 6+9 ． 【解答】解：双曲线 C：x2﹣ =1 的右焦点为（3，0）， 由 A（0，6 ），可得直线 AF 的方程为 y=﹣2 x+6 ， |AF|= =15， 设直线 y=﹣2 x+t 与双曲线相切，且切点为左支上一点， 联立 ，可得 16x2﹣4 tx+t2+8=0， 由判别式为 0，即有 96t2﹣4×16（t2+8）=0， 解得 t=﹣4（4 舍去）， 可得 P 到直线 AF 的距离为 d= = ， 即有△APF 的面积的最小值为 d•|AF|= × ×15=6+9 ． 故答案为：6+9 ． 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17．（12 分）（2016•陕西二模）在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c．已知 a+c=3 ，b=3． （I）求 cosB 的最小值； （Ⅱ）若 =3，求 A 的大小． 【解答】解：（I）在△ABC 中，由余弦定理得 cosB= = = ． ∵ac≤（ ）2= ． ∴当 ac= 时，cosB 取得最小值 ． （II）由余弦定理得 b2=a2+c2﹣2accosB． ∵ =accosB=3． ∴9=a2+c2﹣6，∴a2+c2=15． 又∵a+c=3 ，∴ac=6． ∴a=2 ，c= 或 a= ，c=2 ． ∴cosB= ，sinB= ． 由正弦定理得 ， ∴sinA= =1 或 ． ∴A= 或 A= ． 18．（12 分）（2016•陕西二模）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对 1～8 号 8 扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的 方式演绎），选手需正确答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次 场外调查中，发现参赛选手大多在以下两个年龄段：21～30，31～40（单位：岁），统计这 两个年龄段选手答对歌曲名称与否的人数如图所示． （1）写出 2×2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为答对歌曲名称与否和年龄有关，说 明你的理由．（下面的临界值表供参考） P（K2≥k0） 0.1 0.05 0.01 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 （2）在统计过的参考选手中按年龄段分层选取 9 名选手，并抽取 3 名幸运选手，求 3 名幸 运选手中在 21～30 岁年龄段的人数的分布列和数学期望． （参考公式：K2= ，其中 n=a+b+c+d） 【解答】解：（1）2×2 列联表 正确 错误 合计 21～30 10 30 40 31～40 10 70 80 合计 20 100 120 ∴K2= =3＞2.706 有 90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4 分） （2）按照分层抽样方法可知：21～30（岁）抽取 3 人，31～40（岁）抽取 6 人． 设 3 名选手中在 21～30 岁之间的人数为ξ，可能取值为 0，1，2，3﹣﹣﹣﹣（5 分） P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= = ，P（ξ=2）= = ，P（ξ=3）= = ．﹣ ﹣﹣﹣﹣（10 分） ξD 的分布列 ξ 0 1 2 3 P ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11 分） E（ξ）=0× +1× +2× +3× =1﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12 分） 19．（12 分）（2016•陕西二模）如图①，在△ABC 中，已知 AB=15，BC=14，CA=13．将 △ABC 沿 BC 边上的高 AD 折成一个如图②所示的四面体 A﹣BCD，使得图②中的 BC=11． （1）求二面角 B﹣AD﹣C 的平面角的余弦值； （2）在四面体 A﹣BCD 的棱 AD 上是否存在点 P，使得 • =0？若存在，请指出点 P 的 位置；若不存在，请给出证明． 【解答】解：（1）由已知 AD⊥BD，AD⊥CD， 故二面角 B﹣AD﹣C 的平面角为∠BDC， 在图①，设 BD=x，AD=h，则 CD=14﹣x， 在△ABD 与△ACD 中，分别用勾股定理得 x2+h2=152，（14﹣x）2+h2=132， 得 x=9，h=12，从而 AD=12，BD=9，CD=5， 在图②的△BCD 中，由余弦定理得 BC2=BD2+CD2﹣2BD•CDcos∠BDC， 即 112=92+52﹣2×9×5cos∠BDC，则 cos∠BDC=﹣ ， 即二面角 B﹣AD﹣C 的平面角的余弦值是﹣ ． （2）假设在四面体 A﹣BCD 的棱 AD 上存在点 P，使得 ， 则 0= =（ + ）•（ + ）= 2+ • + • + • = 2+0+0+9×5×（﹣ ） = 2﹣ ， 则| |= ＜12，符号题意， 即在棱 AD 上存在点 P，使得 ，此时| |= ． 20．（12 分）（2016•陕西二模）设 O 是坐标原点，椭圆 C：x2+3y2=6 的左右焦点分别为 F1， F2，且 P，Q 是椭圆 C 上不同的两点， （I）若直线 PQ 过椭圆 C 的右焦点 F2，且倾斜角为 30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等 差数列； （Ⅱ）若 P，Q 两点使得直线 OP，PQ，QO 的斜率均存在．且成等比数列．求直线 PQ 的 斜率． 【解答】解：（I）证明：x2+3y2=6 即为 + =1， 即有 a= ，b= ，c= =2， 由直线 PQ 过椭圆 C 的右焦点 F2（2，0），且倾斜角为 30°， 可得直线 PQ 的方程为 y= （x﹣2）， 代入椭圆方程可得，x2﹣2x﹣1=0， 即有 x1+x2=2，x1x2=﹣1， 由弦长公式可得|PQ|= • = • = ， 由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a=4 ， 可得|F1P|+|QF1|=4 ﹣ = =2|PQ|， 则有|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列； （Ⅱ）设直线 PQ 的方程为 y=kx+m，代入椭圆方程 x2+3y2=6， 消去 y 得：（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣2）=0， 则△=36k2m2﹣12（1+3k2）（m2﹣2） =12（6k2﹣m2+2）＞0， x1+x2=﹣ ，x1x2= ， 故 y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2， ∵直线 OP、PQ、OQ 的斜率依次成等比数列， ∴ • = =k2， 即 km（x1+x2）+m2=0，即有﹣ +m2=0， 由于 m≠0，故 k2= ， ∴直线 PQ 的斜率 k 为± ． 21．（12 分）（2016•陕西二模）设函数 f（x）=ex﹣lnx． （1）求证：函数 f（x）有且只有一个极值点 x0； （2）求函数 f（x）的极值点 x0 的近似值 x′，使得|x′﹣x0|＜0.1； （3）求证：f（x）＞2.3 对 x ∈ （0，+∞）恒成立． （参考数据：e≈2.718，ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈1.609，ln7≈1.946）． 【解答】（1）证明：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=ex﹣ ， ∵函数 y=ex 和 y=﹣ 在（0，+∞）均递增， ∴f′（x）在（0，+∞）递增， 而 f′（ ）= ﹣2＜0，f′（1）=e﹣1＞0， ∴f′（x）在（ ，1）上存在零点，记 x0， 且 f′（x）在 x0 左右两侧的函数值异号， 综上，f′（x）有且只有一个零点 x0， 即函数 f（x）有且只有一个极值点 x0； （2）解：∵ln =ln5﹣ln3≈0.51＜ ⇒ ＞ ， 且 f′（x）在[ ， ]上的图象连续， f′（ ）＜0，f′（ ）= ﹣ ＞0， ∴f′（x）的零点 x0 ∈ （ ， ）， 即 f（x）的极值点 x0 ∈ （ ， ），即 x0 ∈ （0.5，0.6）， ∴x0 的近似值 x′可以取 x′=0.55， 此时的 x′满足|x′﹣x0|＜0.6﹣.05=0.1； （3）证明：∵ln =ln7﹣2ln2≈0.56＜ ⇒ ＞ ， 且 f′（x）在[ ， ]上图象连续， f′（ ）＜0，f′（ ）= ﹣ ＞0， ∴f′（x）的零点 x0 ∈ （ ， ）， f（x）的极值点 x0 ∈ （ ， ） ⇒ x0＜ ， 由（1）知：f′（x0）= ﹣ =0， 且 f（x）的最小值是 f（x0）= ﹣lnx0= ﹣lnx0， ∵函数 g（x）= ﹣lnx 在（0，+∞）递减，且 x0＜ ， ∴g（x0）＞g（ ）=1.75﹣（2ln2﹣ln7）≈2.31＞2.3， ∴f（x）≥f（x0）= ﹣lnx0＞2.3 对 x ∈ （0，+∞）恒成立． [选修 4-1：几何证明选讲] 22．（10 分）（2016•陕西二模）如图，已知 AB 为⊙O 的直径，C，F 为⊙O 上的两点，OC ⊥AB，过点 F 作⊙O 的切线 FD 交 AB 的延长线于点 D，连接 CF 交 AB 于点 E．求证： DE2=DA•DB． 【解答】证明：连接 OF． 因为 DF 切⊙O 于 F，所以∠OFD=90°． 所以∠OFC+∠CFD=90°． 因为 OC=OF，所以∠OCF=∠OFC． 因为 CO⊥AB 于 O，所以∠OCF+∠CEO=90°．（5 分） 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以 DF=DE． 因为 DF 是⊙O 的切线，所以 DF2=DB•DA． 所以 DE2=DB•DA．（10 分） [选修 4-4：坐标系与参数方程] 23．（2016•陕西二模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：x2+y2=4，圆 C2：（x﹣2）2+y2=4． （Ⅰ）在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆 C1 与圆 C2 的极坐标方程 及两圆交点的极坐标； （Ⅱ）求圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程． 【解答】解：（Ⅰ）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：x2+y2=4， 转化成极坐标方程为：ρ=2． 圆 C2：（x﹣2）2+y2=4． 转化成极坐标方程为：ρ=4cosθ， 所以： 解得：ρ=2， ，（k ∈ Z）． 交点坐标为：（2，2kπ+ ），（2，2k ）． （Ⅱ）已知圆 C1：x2+y2=4① 圆 C2：（x﹣2）2+y2=4② 所以：①﹣②得：x=1，y= ， 即（1，﹣ ），（1， ）． 所以公共弦的参数方程为： ． [选修 4-5：不等式选讲] 24．（2016•陕西二模）已知函数 f（x）=|x+1|﹣2|x|． （1）求不等式 f（x）≤﹣6 的解集； （2）若存在实数 x 满足 f（x）=log2a，求实数 a 的取值范围． 【解答】解：（1）x≥0 时，f（x）=x+1﹣2x=﹣x+1≤﹣6， 解得：x≥7， ﹣1＜x＜0 时，f（x）=x+1+2x≤﹣6，无解， x≤﹣1 时，f（x）=﹣x﹣1+2x≤﹣6， 解得：x≤﹣7， 故不等式的解集是{x|x≥7 或 x≤﹣7}； （2）x≥0 时，f（x）=﹣x+1≤1， ﹣1＜x＜0 时，f（x）=3x+1，﹣2＜f（x）＜1， x≤﹣1 时，f（x）=x﹣1≤﹣2， 故 f（x）的最大值是 1， 若存在实数 x 满足 f（x）=log2a， 只需 ≤1 即可，解得：0＜a≤2．