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- 2021-05-13 发布
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高考离心率的常用解法及配套习题与答案
前言:椭圆的离心率,双曲线的离心率,抛物线的离心率.
一、直接求出、,求解
已知圆锥曲线的标准方程或、易求时,可利用率心率公式来解决。
例1:已知双曲线()的一条准线方程是,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解:双曲线右准线,则,解得,,,故选D
变式练习1.1:如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为( )
A. B. C. D
二、构造、的齐次式,解出
根据题设条件,借助、、之间的关系,构造、的关系(特别是齐二次式),进而得到关于的一元方程,从而解得离心率。
例2:已知、是双曲线()的两焦点,以线段为边作正三角形,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
解:如图,设的中点为,则的横坐标为,由焦半径公式,即,得,解得(舍去),故选D
变式练习2.1:设双曲线()的半焦距为,直线过,两点.已知原点到直线的距离为,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
变式练习2.2:双曲线虚轴的一个端点为,两个焦点为、,,则双曲线的离心率为( )
A B C D
三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解
例3:设椭圆的两个焦点分别为、,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点,若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是________。
解:
*四、根据圆锥曲线的统一定义(第二定义)求解(这个知识点高考不作要求,仅供拓展能力使用)
例4:设椭圆()的右焦点为,右准线为,若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离,则椭圆的离心率是 .
解:如图所示,是过且垂直于轴的弦,∵于,∴为到准线的距离,根据椭圆的第二定义,
4.1 变式练习:在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为,则该椭圆的离心率为( )
A B C D
五、构建关于的不等式,求的取值范围
例5:设,则二次曲线的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
解:由,,得,,
∴,∴
∵,∴,∴,∴,故选D
变式训练5.1:如图,已知梯形中,,点在线段上,满足,双曲线过、、三点,且以、为焦点.当时,求双曲线离心率的取值范围。
变式练习答案:
1.1 解:由题设,,则,,因此选C
2.1 解:由已知,直线的方程为,由点到直线的距离公式,得,
又, ∴,两边平方,得,整理得,
得或,又 ,∴,∴,∴,故选A
2.3 解:如图所示,不妨设,,,则
,又,
在中, 由余弦定理,得,
即,∴,
∵,∴,∴,∴,∴,故选B
4.1解:,故选B
5.1解:以的垂直平分线为轴,直线为轴,建立如图所示的直角坐标系,则轴.因为双曲线经过点、,且以、为焦点,由双曲线的对称性知、关于轴对称.依题意,记,,,其中为双曲线的半焦距,是梯形的高.
由定比分点坐标公式得,,设双曲线的方程为,则离心率,由点、在双曲线上,所以,将点的坐标代入双曲线方程得①
将点的坐标代入双曲线方程得②
再将①、②得,∴③ ④
将③式代入④式,整理得,∴,由题设得:
,解得,所以双曲线的离心率的取值范围为
课后练习
1. 设双曲线()的离心率为,且它的一条准线方程为,则此双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线的离心率为( )
A B C D
4.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为A B C D
5.在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为,则该双曲线的离心率为( )A B C D
6.如图,和分别是双曲线()的两个焦点,和是以为圆心,以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且是等边三角形,则双曲线的离心率为( )
A B C D
7. 设、分别是椭圆()的左、右焦点,是其右准线上纵坐标为(为半焦距)的点,且,则椭圆的离心率是( )
A B C D
8.设、分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线上存在点,使,且,则双曲线离心率为( )
A B C D
9.已知双曲线()的右焦点为,若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )
A B C D
10.椭圆()的焦点为、,两条准线与轴的交点分别为、,若,则该椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为、,,点在椭圆上,且 垂直于轴,,则椭圆的离心率等于
C
12. 过双曲线的左焦点作圆的切线交双曲线右支于点,切点为,若,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
解:由知,为线段的中点,设双曲线的右焦点为,因为,由中位线定理得,由双曲线的定义得,又,则,得,即,,故选C.
13. 椭圆的两个焦点为,,为椭圆上一点,且的最大值的取值范围是,其中的椭圆的半焦距,则椭圆的离心率取值范围是
A. B. C. D.
解:设,则,
,当时,有最大值,
.
答案:1.由可得故选D
2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,∴ ,椭圆的离心率,选D。
3.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A
4.不妨设椭圆方程为(a>b>0),则有,据此求出e=
5.不妨设双曲线方程为(a>0,b>0),则有,据此解得e=,选C
6.解析:如图,和分别是双曲线的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△是等边三角形,连接AF1,∠AF2F1=30°,|AF1|=c,|AF2|=c,∴ ,双曲线的离心率为,选D。
7.由已知P(),所以化简得.
8.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90º,且|AF1|=3|AF2|,设|AF2|=1,|AF1|=3,双曲线中,,∴ 离心率,选B。
9.双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率,∴ ≥,离心率e2=,∴ e≥2,选C
10.椭圆的焦点为,,两条准线与轴的交点分别为,若,,,则,该椭圆离心率e≥,选D