2018高考一轮复习 不等式和均值不等式 17页

‎2017高考一轮复习  不等式和均值不等式 ‎　‎ 一．选择题（共14小题）‎ ‎1．（2010•上海）（上海春卷16）已知a1，a2∈（0，1），记M=a1a2，N=a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是（　　）‎ A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不确定 ‎2．（2016春•乐清市校级月考）设a，b是实数，则“a＞b＞1”是“”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎3．（2013•天津）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．（2012•湖南）设 a＞b＞1，C＜0，给出下列三个结论：‎ ‎①＞；‎ ‎②ac＜bc；‎ ‎③logb（a﹣c）＞loga（b﹣c）．‎ 其中所有的正确结论的序号（　　）‎ A．① B．①② C．②③ D．①②③‎ ‎5．（2014•山东）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（　　）‎ A．x3＞y3 B．sinx＞siny C．ln（x2+1）＞ln（y2+1） D．＞‎ ‎6．（2013•陕西）设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有（　　）‎ A．[﹣x]=﹣[x] B．[2x]=2[x] C．[x+y]≤[x]+[y] D．[x﹣y]≤[x]﹣[y]‎ ‎7．（2013秋•丰城市校级期末）下列函数中最小值为4的是（　　）‎ A．y=x+ B．y=‎ C．y=ex+4e﹣x D．y=sinx+，（0＜x＜π）‎ ‎8．（2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（　　）‎ A．0 B． C．2 D．‎ ‎9．若实数a，b满足ab﹣4a﹣b+1=0（a＞1），则（a+1）（b+2）的最小值为（　　）‎ A．24 B．25 C．27 D．30‎ ‎10．（2006秋•增城市期末）已知0＜x＜1，则x（3﹣3x）取得最大值时时x的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（2014秋•周口期末）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax=by=2.2a+b=8，则的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．log23‎ ‎12．（2012•河南一模）函数y=logax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线+﹣4=0（m＞0，n＞0）上，则m+n的最小值为（　　）‎ A．2+ B．2 C．1 D．4‎ ‎13．（2015•陕西）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（　　）‎ A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q ‎14．（2014•湖北校级模拟）某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD（AB＞AD）的周长为4米，沿AC折叠使B到B′位置，AB′交DC于P．研究发现当ADP的面积最大时最节能，则最节能时ADP的面积为（　　）‎ A．2﹣2 B．3﹣2 C．2﹣ D．2‎ ‎　‎ 二．填空题（共5小题）‎ ‎15．（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是　　　　　　（写出所有正确命题的编号）．‎ ‎①当0＜CQ＜时，S为四边形 ‎②当CQ=时，S为等腰梯形 ‎③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=‎ ‎④当＜CQ＜1时，S为六边形 ‎⑤当CQ=1时，S的面积为．‎ ‎16．（2015秋•中山市校级期中）已知x＞3，则+x的最小值为　　　　　　．‎ ‎17．已知x＞1，则函数y=的最小值是　　　　　　．‎ ‎18．（2014•荆州一模）已知x＞0，y＞0，且x+2y=xy，则log4（x+2y）的最小值是　　　　　　．‎ ‎19．若a，b，x，y∈R，且a2+b2=3，x2+y2=1，则ax+by的最大值为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎20．（2009•广州一模）如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任意一点，A1A=AB=2．‎ ‎（1）求证：BC⊥平面A1AC；‎ ‎（2）求三棱锥A1﹣ABC的体积的最大值．‎ ‎21．设a＞0，b＞0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小．‎ ‎22．设f（x）是不含常数项的二次函数，且1≤f（﹣1）≤2.2≤f（1）≤4求f（2）的取值范围．‎ ‎23．已知α，β满足，试求α+3β的取值范围．‎ ‎24．（2013秋•商丘期中）（1）已知a，b，c为任意实数，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca；‎ ‎（2）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，求证：ab+bc+ca≤．‎ ‎25．（2015•丹东二模）已知a，b为正实数，‎ ‎（1）若a+b=2，求的最小值；‎ ‎（2）求证：a2b2+a2+b2≥ab（a+b+1）．‎ ‎26．（2016春•和平区期末）已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy=0，求：‎ ‎（1）xy的最小值；‎ ‎（2）x+y的最小值．‎ ‎　‎ ‎2017高考一轮复习  不等式和均值不等式 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共14小题）‎ ‎1．（2010•上海）（上海春卷16）已知a1，a2∈（0，1），记M=a1a2，N=a1+a2﹣1，则M与N的大小关系是（　　）‎ A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不确定 ‎【分析】根据题意，利用作差法进行求解．‎ ‎【解答】解：由M﹣N=a1a2﹣a1﹣a2+1‎ ‎=（a1﹣1）（a2﹣1）＞0，‎ 故M＞N，‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题考查大小的比较，利用作差法进行求解，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（2016春•乐清市校级月考）设a，b是实数，则“a＞b＞1”是“”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【分析】画出f（x）=x+图象，根据函数的单调性，结合充分那样条件的定义可判断．‎ ‎【解答】解：∵f（a）=a+，f（b）=b+，f（x）=x+图象如下图．‎ ‎∴根据函数的单调性可判断：若“a＞b＞1”则“”成立，‎ 反之若“”则“a＞b＞1”不一定成立．‎ 根据充分必要条件的定义可判断：“a＞b＞1”是“”的充分不必要条件，‎ 故选：A ‎【点评】本题考查了对钩函数的单调性，必要充分条件的定义可判断，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎3．（2013•天津）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】通过举反例可得“a＜b”不能推出“（a﹣b）a2＜0”，由“（a﹣b）a2＜0”能推出“a＜b”，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：由“a＜b”如果a=0，则（a﹣b）a2=0，不能推出“（a﹣b）a2＜0”，故必要性不成立．‎ 由“（a﹣b）a2＜02”可得a2＞0，所以a＜b，故充分性成立．‎ 综上可得“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分也不必要条件，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（2012•湖南）设 a＞b＞1，C＜0，给出下列三个结论：‎ ‎①＞；‎ ‎②ac＜bc；‎ ‎③logb（a﹣c）＞loga（b﹣c）．‎ 其中所有的正确结论的序号（　　）‎ A．① B．①② C．②③ D．①②③‎ ‎【分析】利用作差比较法可判定①的真假，利用幂函数y=xc的性质可判定②的真假，利用对数函数的性质可知③的真假．‎ ‎【解答】解：①﹣=，∵a＞b＞1，c＜0∴﹣=＞0，故＞正确；‎ ‎②考查幂函数y=xc，∵c＜0∴y=xc在（0，+∞）上是减函数，而a＞b＞0，则ac＜bc正确；‎ ‎③当a＞b＞1时，有logb（a﹣c）＞logb（b﹣c）＞loga（b﹣c）；正确．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查了不等式比较大小，以及幂函数与对数函数的性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（2014•山东）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（　　）‎ A．x3＞y3 B．sinx＞siny C．ln（x2+1）＞ln（y2+1） D．＞‎ ‎【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．‎ ‎【解答】解：∵实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），∴x＞y，‎ A．当x＞y时，x3＞y3，恒成立，‎ B．当x=π，y=时，满足x＞y，但sinx＞siny不成立．‎ C．若ln（x2+1）＞ln（y2+1），则等价为x2＞y2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＞y2不成立．‎ D．若＞，则等价为x2+1＜y2+1，即x2＜y2，当x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但x2＜y2不成立．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（2013•陕西）设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有（　　）‎ A．[﹣x]=﹣[x] B．[2x]=2[x] C．[x+y]≤[x]+[y] D．[x﹣y]≤[x]﹣[y]‎ ‎【分析】本题考查的是取整函数问题．在解答时要先充分理解[x]的含义，从而可知针对于选项注意对新函数的加以分析即可，注意反例的应用．‎ ‎【解答】解：对A，设x=﹣1.8，则[﹣x]=1，﹣[x]=2，所以A选项为假．‎ 对B，设x=﹣1.4，[2x]=[﹣2.8]=﹣3，2[x]=﹣4，所以B选项为假．‎ 对C，设x=y=1.8，对A，[x+y]=[3.6]=3，[x]+[y]=2，所以C选项为假．‎ 故D选项为真．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了取整函数的性质，是一道竞赛的题目，难度不大．‎ ‎　‎ ‎7．（2013秋•丰城市校级期末）下列函数中最小值为4的是（　　）‎ A．y=x+ B．y=‎ C．y=ex+4e﹣x D．y=sinx+，（0＜x＜π）‎ ‎【分析】A．当x＜0时，利用基本不等式的性质，y=﹣≤﹣4，可知无最小值；‎ B．变形为，利用基本不等式的性质可知：最小值大于4；‎ C．利用基本不等式的性质即可判断出满足条件；‎ D．利用基本不等式的性质可知：最小值大于4．‎ ‎【解答】解：A．当x＜0时，=﹣4，当且仅当x=﹣2时取等号．因此此时A无最小值；‎ B.==4，当且仅当x2+2=1时取等号，但是此时x的值不存在，故不能取等号，即y＞4，因此B的最小值不是4；‎ C.=4，当且仅当，解得ex=2，即x=ln4时取等号，即y的最小值为4，因此C满足条件；‎ D．当0＜x＜π时，sinx＞0，∴=4，当且仅当，即sinx=2时取等号，但是sinx不可能取等号，故y＞4，因此不满足条件．‎ 综上可知：只有C满足条件．‎ 故选C．‎ ‎【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键，特别注意“=”是否取到．‎ ‎　‎ ‎8．（2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（　　）‎ A．0 B． C．2 D．‎ ‎【分析】将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可求得x+2y﹣z的最大值．‎ ‎【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，‎ ‎∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，‎ ‎∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），‎ 即x=2y（y＞0），‎ ‎∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）‎ ‎=4y﹣2y2‎ ‎=﹣2（y﹣1）2+2≤2．‎ ‎∴x+2y﹣z的最大值为2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查基本不等式，将z=x2﹣3xy+4y2代入，求得取得最小值时x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．若实数a，b满足ab﹣4a﹣b+1=0（a＞1），则（a+1）（b+2）的最小值为（　　）‎ A．24 B．25 C．27 D．30‎ ‎【分析】先根据ab﹣4a﹣b+1=0求得a和b的关系式，进而代入到（a+1）（b+2）利用均值不等式求得答案．‎ ‎【解答】解：∵ab﹣4a﹣b+1═0‎ ‎∴b==4+，‎ ‎∴（a+1）（b+2）=6a++6‎ ‎=6a++9‎ ‎=6（a﹣1）++15‎ ‎≥27（当且仅当a﹣1=即a=2时等号成立），‎ 即（a+1）（b+2）的最小值为27．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．解题的关键是配出均值不等式的形式．‎ ‎　‎ ‎10．（2006秋•增城市期末）已知0＜x＜1，则x（3﹣3x）取得最大值时时x的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】法一：设y=x（3﹣3x）=﹣3，利用二次函数的性质可求函数的最大值 法二：由0＜x＜1可得1﹣x＞0，从而利用基本不等式可求x（3﹣3x）=3x（1﹣x）的最大值及取得最大值的x ‎【解答】解：法一：设y=x（3﹣3x）‎ 则y=﹣3（x2﹣x）=﹣3‎ ‎∵0＜x＜1‎ 当x=时，函数取得最大值 故选C 法二：∵0＜x＜1‎ ‎∴1﹣x＞0‎ ‎∵x（3﹣3x）=3x（1﹣x）‎ 当且仅当x=1﹣x即x=时取得最大值 故选C ‎【点评】本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值的求解，一般的处理方法是对二次函数进行配方，结合函数在区间上的单调性判断取得最值的条件．‎ ‎　‎ ‎11．（2014秋•周口期末）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax=by=2.2a+b=8，则的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．log23‎ ‎【分析】由ax=by=2，求出x，y，进而可表示，再利用基本不等式，即可求的最大值．‎ ‎【解答】解：∵ax=by=2，∴x=loga2，y=logb2‎ ‎∴，‎ ‎∴=log2a+log2b=log2ab，‎ ‎∵2a+b=8≥，‎ ‎∴ab≤8（当且仅当2a=b时，取等号），‎ ‎∴≤log28=3，即的最大值为3．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查基本不等式的运用，考查对数运算，考查学生分析转化问题的能力，正确表示是关键．‎ ‎　‎ ‎12．（2012•河南一模）函数y=logax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线+﹣4=0（m＞0，n＞0）上，则m+n的最小值为（　　）‎ A．2+ B．2 C．1 D．4‎ ‎【分析】利用对数的性质可得：函数y=logax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（1，1），代入直线+﹣4=0（m＞0，n＞0）上，可得．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：当x=1时，y=loga1+1=1，‎ ‎∴函数y=logax+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（1，1），‎ ‎∵点A在直线+﹣4=0（m＞0，n＞0）上，‎ ‎∴．‎ ‎∴m+n===1，当且仅当m=n=时取等号．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了对数的运算性质、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（2015•陕西）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（　　）‎ A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q ‎【分析】由题意可得p=（lna+lnb），q=ln（）≥ln（）=p，r=（lna+lnb），可得大小关系．‎ ‎【解答】解：由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），‎ q=f（）=ln（）≥ln（）=p，‎ r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），‎ ‎∴p=r＜q，‎ 故选：B ‎【点评】本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（2014•湖北校级模拟）某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD（AB＞AD）的周长为4米，沿AC折叠使B到B′位置，AB′交DC于P．研究发现当ADP的面积最大时最节能，则最节能时ADP的面积为（　　）‎ A．2﹣2 B．3﹣2 C．2﹣ D．2‎ ‎【分析】利用PA2=AD2+DP2，构建函数，可得y=2（1﹣），1＜x＜2，表示出△ADP的面积，利用基本不等式，可求最值．‎ ‎【解答】解：设AB=x，DP=y，BC=2﹣x，PC=x﹣y．‎ ‎∵x＞2﹣x，∴1＜x＜2，‎ ‎∵△ADP≌△CB′P，‎ ‎∴PA=PC=x﹣y．‎ 由PA2=AD2+DP2，得（x﹣y）2=（2﹣x）2+y2⇒y=2（1﹣），1＜x＜2，‎ 记△ADP的面积为S，则S=（1﹣）（2﹣x）=3﹣（x+）≤3﹣2，‎ 当且仅当x=∈（1，2）时，S取得最大值．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力．试题以常见的图形为载体，再现对基本不等式、导数等的考查．‎ ‎　‎ 二．填空题（共5小题）‎ ‎15．（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是　①②③⑤　（写出所有正确命题的编号）．‎ ‎①当0＜CQ＜时，S为四边形 ‎②当CQ=时，S为等腰梯形 ‎③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=‎ ‎④当＜CQ＜1时，S为六边形 ‎⑤当CQ=1时，S的面积为．‎ ‎【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．‎ ‎【解答】解：如图 当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==，‎ 故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；‎ 由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，‎ 即可得截面为四边形APQM，故①正确；‎ ‎③当CQ=时，如图，‎ 延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，‎ 可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；‎ ‎④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；‎ ‎⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，‎ 可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF==，故正确．‎ 故答案为：①②③⑤．‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（2015秋•中山市校级期中）已知x＞3，则+x的最小值为　7　．‎ ‎【分析】本题可以通过配凑法将原式化成积为定值的形式，再用基本不等式求出原式的最小值，即本题答案．‎ ‎【解答】解：∵x＞3，‎ ‎∴x﹣3＞0．‎ ‎∴+x=≥．‎ 当且仅当x=5时取最值．‎ 故答案为：7．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式，注意不等式使用的条件．本题难度适中，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．已知x＞1，则函数y=的最小值是　8　．‎ ‎【分析】利用换元法化简函数，根据基本不等式求出函数y=的最小值．‎ ‎【解答】解：∵x＞1，∴t=x﹣1＞0，‎ ‎∴y===t++2≥2+2=8，‎ 当且仅当t=，即t=3，x=4时，取等号，‎ ‎∴函数y=的最小值是8．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】本题考查求函数y=的最小值，考查基本不等式的运用，正确变形是关键．‎ ‎　‎ ‎18．（2014•荆州一模）已知x＞0，y＞0，且x+2y=xy，则log4（x+2y）的最小值是　　．‎ ‎【分析】根据基本不等式求出xy≥8，然后利用对数的基本运算和对数的换底公式进行计算即可．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+2y=xy，‎ ‎∴x+2y=xy，‎ 平方得（xy）2≥8xy，‎ 解得xy≥8，‎ ‎∴log4（x+2y）=log4（xy），‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查基本不等式的应用以及对数的基本计算，考查学生的计算能力．‎ ‎　‎ ‎19．若a，b，x，y∈R，且a2+b2=3，x2+y2=1，则ax+by的最大值为　　．‎ ‎【分析】根据柯西不等式（x1x2+y1y2）2≤（x12+y12）（x22+y22），得到（ax+by）2≤（a2+b2）（x2+y2），进而求得ax+by的最大值．‎ ‎【解答】解：根据柯西不等式（x1x2+y1y2）2≤（x12+y12）（x22+y22），‎ ‎⇒（ax+by）2≤（a2+b2）（x2+y2）=3×1=3，‎ 当且仅当ay=bx时取等号，‎ 所以，ax+by∈[﹣，]，‎ 因此，ax+by的最大值为，‎ 故填：．‎ ‎【点评】本题主要考查了柯西不等式在最值问题中的应用，解题的关键是利用了柯西不等式，属于基础题．‎ ‎　‎ 三．解答题（共7小题）‎ ‎20．（2009•广州一模）如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任意一点，A1A=AB=2．‎ ‎（1）求证：BC⊥平面A1AC；‎ ‎（2）求三棱锥A1﹣ABC的体积的最大值．‎ ‎【分析】（1）欲证BC⊥平面AA1C，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面AA1C内两相交直线垂直，而BC⊥AC，AA1⊥BC，AA1∩AC=A满足定理条件；‎ ‎（2）设AC=x，在Rt△ABC中，求出BC，根据体积公式VA1﹣ABC=S△ABC•AA1表示成关于x的函数，根据二次函数求出其最大值．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵C是底面圆周上异于A、B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，‎ ‎∴BC⊥AC．‎ ‎∵AA1⊥平面ABC，BC⊈平面ABC，‎ ‎∴AA1⊥BC．‎ ‎∵AA1∩AC=A，AA1⊊平面AA1C，AC⊊平面AA1C，‎ ‎∴BC⊥平面AA1C．‎ ‎（2）设AC=x，在Rt△ABC中，‎ BC==（0＜x＜2），‎ 故VA1﹣ABC=S△ABC•AA1=••AC•BC•AA1‎ ‎=x（0＜x＜2），‎ 即VA1﹣ABC=x=‎ ‎=．‎ ‎∵0＜x＜2，0＜x2＜4，∴当x2=2，即x=时，‎ 三棱锥A1﹣ABC的体积最大，其最大值为 ‎【点评】本小题主要考查直线与平面垂直，以及棱柱、棱锥、棱台的体积等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．‎ ‎　‎ ‎21．设a＞0，b＞0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小．‎ ‎【分析】由题意可得=aa﹣b•bb﹣a=，当a＞b＞0时，可得 aabb＞abba．当 b＞a＞0时，同理可得aabb＞abba．综上可得aabb与abba 的大小关系．‎ ‎【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a≠b，而且=aa﹣b•bb﹣a=，‎ 当a＞b＞0时，由＞1，a﹣b＞0，可得＞1，∴aabb＞abba．‎ 当 b＞a＞0时，由0＜＜1，a﹣b＜0，可得＞1，∴aabb＞abba．‎ 综上可得，aabb＞abba．‎ ‎【点评】本题主要考查用作商比较法比较两个正实数的大小关系，不等式性质的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎22．设f（x）是不含常数项的二次函数，且1≤f（﹣1）≤2.2≤f（1）≤4求f（2）的取值范围．‎ ‎【分析】设f（x）=ax2﹣bx，由题意推出，确定目标函数f（2）=4a﹣2b经过可行域的特殊点，然后求出 f（2）的范围即可．‎ ‎【解答】解：设f（x）=ax2﹣bx，由题意可知，目标函数f（2）=4a﹣2b 作出可行域如图，所以经过M（3，﹣1），N（，）分别为目标函数f（2）=4a﹣2b 的取值范围，f（2）∈[7，14]．‎ ‎【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，注意特殊点的选择，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎23．已知α，β满足，试求α+3β的取值范围．‎ ‎【分析】该问题是已知不等关系求范围的问题，可以用待定系数法来解决．‎ ‎【解答】解　设α+3β=λ（α+β）+v（α+2β）‎ ‎=（λ+v）α+（λ+2v）β．‎ 比较α、β的系数，得，‎ 从而解出λ=﹣1，v=2．‎ 分别由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，‎ 两式相加，得1≤α+3β≤7．‎ 故α+3β的取值范围是[1，7]．‎ ‎【点评】用待定系数法，利用不等式的性质解决，是基础题．‎ ‎　‎ ‎24．（2013秋•商丘期中）（1）已知a，b，c为任意实数，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca；‎ ‎（2）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，求证：ab+bc+ca≤．‎ ‎【分析】（1）利用基本不等式可得a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，三式相加即得结论，‎ ‎（2）利用（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，a2+b2+c2≥ab+bc+ca，即可证明．‎ ‎【解答】证明：（1）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，‎ 三式相加即得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（6分）‎ ‎（2）因为（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，a2+b2+c2≥ab+bc+ca，‎ 所以（12分）‎ ‎【点评】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎25．（2015•丹东二模）已知a，b为正实数，‎ ‎（1）若a+b=2，求的最小值；‎ ‎（2）求证：a2b2+a2+b2≥ab（a+b+1）．‎ ‎【分析】（1）利用“1”的代换，结合基本不等式求解即可．‎ ‎（2）利用均值不等式，利用综合法证明即可．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：==≥=‎ 等号成立条件为，而a+b=2，所以a=，b=‎ 表达式的最小值为：…（5分）‎ ‎（Ⅱ）证明：由均值不等式得a2b2+a2≥2a2b，a2b2+b2≥2b2a，b2+a2≥2ab，．‎ 三式相加得2a2b2+2a2+2b2≥2a2b+2ab2+2ab=2ab（a+b+1）．‎ 所以a2b2+a2+b2≥ab（a+b+1）．…（10分）‎ ‎【点评】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查综合法，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎26．（2016春•和平区期末）已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy=0，求：‎ ‎（1）xy的最小值；‎ ‎（2）x+y的最小值．‎ ‎【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得出；‎ ‎（2）由2x+8y=xy，变形得+=1，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0，2x+8y﹣xy=0，‎ ‎∴xy=2x+8y≥2，‎ ‎∴≥8，∴xy≥64．当且仅当x=4y=16时取等号．‎ 故xy的最小值为64．‎ ‎（2）由2x+8y=xy，得：+=1，‎ 又x＞0，y＞0，‎ ‎∴x+y=（x+y）•=10++≥10+=18．当且仅当x=2y=12时取等号．‎ 故x+y的最小值为18．‎ ‎【点评】熟练掌握“乘1法”和变形利用基本不等式是解题的关键．‎ ‎　‎