新课标高考高中数学基础知识归纳 25页

‎2009年新课标高考高中数学基础知识归纳 第一部分 集合 ‎1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ‎ ‎2 .数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决 ‎3.(1) 元素与集合的关系：,.‎ ‎（2）德摩根公式： .‎ ‎（3）‎ 注意：讨论的时候不要遗忘了的情况.‎ ‎（4）集合的子集个数共有 个；真子集有–1个；非空子集有 –1个；‎ 非空真子集有–2个.‎ ‎4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.‎ 第二部分 函数与导数 ‎1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.‎ ‎2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；‎ ‎⑥利用均值不等式 ； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、‎ 绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨平方法；⑩ 导数法 ‎3．复合函数的有关问题:‎ ‎（1）复合函数定义域求法：‎ ‎① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b解出 ‎② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.‎ ‎（2）复合函数单调性的判定：‎ ‎①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数 ‎②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 ‎③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.‎ ‎4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。‎ ‎5．函数的奇偶性:‎ ‎⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 ‎⑵是奇函数；是偶函数.‎ ‎⑶奇函数在0处有定义，则 ‎⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性 ‎⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性 ‎6．函数的单调性:‎ ‎⑴单调性的定义：‎ ‎①在区间上是增函数当时有；‎ ‎②在区间上是减函数当时有；‎ ‎⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法 注：证明单调性主要用定义法和导数法。‎ ‎7．函数的周期性：‎ ‎(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有 （其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。‎ ‎（2）三角函数的周期：① ；② ；③；‎ ‎④ ；⑤‎ ‎(3)与周期有关的结论：‎ 或 的周期为 ‎8．基本初等函数的图像与性质：‎ ㈠.⑴指数函数：；⑵对数函数:；‎ ‎⑶幂函数： （ ；⑷正弦函数:；⑸余弦函数： ；‎ ‎（6）正切函数：；⑺一元二次函数：（a≠0）；⑻其它常用函数：‎ ① 正比例函数：；②反比例函数：；③函数 ㈡.⑴分数指数幂：；（以上，且）. ‎ ‎⑵.①； ②；‎ ‎③； ④.‎ ‎⑶.对数的换底公式:.对数恒等式:.‎ ‎9．二次函数：‎ ‎⑴解析式：①一般式：；②顶点式：，为顶点；‎ ‎③零点式： （a≠0）.‎ ‎⑵二次函数问题解决需考虑的因素：‎ ‎①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。‎ 二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是。‎ ‎10．函数图象： ‎ ‎⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法 ‎⑵图象变换：‎ ① 平移变换：ⅰ)，———左“+”右“－”；‎ ‎ ⅱ) ———上“+”下“－”；‎ ② 对称变换：ⅰ)；ⅱ)；‎ ⅲ) ； ⅳ)；‎ ③ 翻折变换：‎ ⅰ)———（去左翻右）y轴右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；‎ ⅱ)———（留上翻下）x轴上不动，下向上翻（||在下面无图象）；‎ ‎11．函数图象（曲线）对称性的证明：‎ ‎(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；‎ ‎（2）证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然。‎ 注*：①曲线C1:f(x,y)=0关于原点（0,0）的对称曲线C2方程为：f(－x,－y)=0;‎ 曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为：f(－x, y)=0; ‎ 曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为：f(x, －y)=0;‎ 曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为：f(y, x)=0‎ ‎②f(a+x)=f(b－x) （x∈R）y=f(x)图像关于直线x=对称；‎ 特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）y=f(x)图像关于直线x=a对称.‎ ‎③的图象关于点对称.‎ 特别地：的图象关于点对称.‎ ④函数与函数的图象关于直线对称;‎ ‎ 函数与函数的图象关于直线对称。‎ ‎12．函数零点的求法：‎ ‎⑴直接法（求的根）；⑵图象法；⑶二分法.‎ ‎(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 , 则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。‎ ‎13．导数： ‎ ‎⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作 ‎⑵常见函数的导数公式: ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ 。‎ ‎⑶导数的四则运算法则：‎ ‎⑷（理科）复合函数的导数：‎ ‎⑸导数的应用： ‎ ‎①利用导数求切线：注意：ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线？‎ ‎②利用导数判断函数单调性：i）是增函数；ii）为减函数；iii）为常数； ‎ ‎③利用导数求极值：ⅰ）求导数；ⅱ）求方程的根；ⅲ）列表得极值。‎ ‎④利用导数求最大值与最小值：ⅰ）求极值；ⅱ）求区间端点值（如果有）；ⅲ）比较得最值。‎ 第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形 ‎1．⑴角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度 ‎⑵弧长公式：；扇形面积公式：。‎ ‎2．三角函数定义:角终边上任一点（非原点）P,设 则：‎ ‎3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c”）‎ ‎4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”‎ ‎5．⑴ 对称轴：令，得 对称中心：； ‎ ‎⑵ 对称轴：令，得；对称中心：； ‎ ‎⑶周期公式:①函数及的周期 (A、ω、为常数，‎ 且A≠0).②函数的周期 (A、ω、为常数，且A≠0).‎ ‎6．同角三角函数的基本关系：‎ ‎7．三角函数的单调区间及对称性：‎ ‎ ⑴的单调递增区间为,单调递减区间为 ‎，对称轴为,对称中心为.‎ ‎⑵的单调递增区间为,单调递减区间为，‎ 对称轴为,对称中心为.‎ ‎⑶的单调递增区间为，对称中心为.‎ ‎8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式： ‎ ‎①；；‎ ‎.‎ ‎②；.‎ ‎③=(其中,辅助角所在象限由点所在的象限 决定, ).‎ ‎9．二倍角公式：①.‎ ‎②（升幂公式）.‎ ‎（降幂公式）.‎ ‎10．正、余弦定理：‎ ‎⑴正弦定理： （是外接圆直径 ）‎ 注：①；②；③。‎ ‎⑵余弦定理：等三个； 等三个。‎ ‎11.几个公式:⑴三角形面积公式：①（分别表示a、b、c边上的高）；②.③‎ ‎⑵内切圆半径r=； 外接圆直径2R=‎ 第四部分 立体几何 ‎1．三视图与直观图：⑴‎ 画三视图要求：正视图与俯视图长对正；正视图与侧视图高平齐；侧视图与俯视图宽相等。 ⑵斜二测画法画水平放置几何体的直观图的要领。‎ ‎2．表（侧）面积与体积公式：‎ ‎⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h ‎ ‎⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=；③体积：V=S底h：‎ ‎⑶台体：①表面积：S=S侧+S下底;②侧面积：S侧=;③体积：V=（S+）h；‎ ‎⑷球体：①表面积：S=；②体积：V= .‎ ‎3．位置关系的证明（主要方法）：‎ ‎⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。‎ ‎⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行线面平行。‎ ‎⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。‎ ‎⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。‎ ‎⑸平面与平面垂直：①定义----两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。‎ 注：以上理科还可用向量法。‎ ‎4.求角：（步骤-------Ⅰ.找或作角；Ⅱ.求角）‎ ‎⑴异面直线所成角的求法：‎ ‎①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法 ‎⑵直线与平面所成的角：‎ ‎①直接法（利用线面角定义）；②用向量法 ‎ ‎5.求距离：（步骤-------Ⅰ.找或作垂线段；Ⅱ.求距离）‎ 点到平面的距离：①等体积法；②向量法 ‎ ‎6．结论：‎ ‎⑴棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．‎ ‎⑵长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则体对角线长为，全面积为2ab+2bc+2ca，体积V=abc。‎ ‎⑶正方体的棱长为a，则体对角线长为，全面积为，体积V=。‎ ‎⑷球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.‎ ‎ 球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.‎ ‎⑷正四面体的性质：设棱长为，则正四面体的：‎ ① 高：；②对棱间距离：；③内切球半径：；④外接球半径：。‎ 第五部分 直线与圆 ‎1．斜率公式：，其中、.‎ 直线的方向向量，则直线的斜率为=.‎ ‎2.直线方程的五种形式：‎ ‎(1)点斜式： (直线过点，且斜率为)．‎ ‎(2)斜截式：(为直线在轴上的截距).‎ ‎(3)两点式：(、 ，).‎ ‎(4)截距式：(其中、分别为直线在轴、轴上的截距，且).‎ ‎(5)一般式：(其中A、B不同时为0).‎ ‎3．两条直线的位置关系：‎ ‎（1）若，,则：‎ ‎① ∥,； ②.‎ ‎（2）若,,则：‎ ‎① 且；②.‎ ‎4．求解线性规划问题的步骤是：‎ ‎（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。‎ ‎5．两个公式:‎ ‎⑴点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离：；‎ ‎⑵两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离 ‎6．圆的方程：‎ ‎⑴标准方程：① ；② 。‎ ‎⑵一般方程： （‎ 注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0‎ ‎7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。 ‎ ‎8．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）‎ ‎⑴点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）‎ ‎①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。‎ ‎⑵直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）‎ ‎①相切；②相交；③相离。‎ ‎⑶圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）‎ ‎①相离；②外切；③相交；‎ ‎④内切；⑤内含。‎ ‎9．直线与圆相交所得弦长 第六部分 圆锥曲线 ‎1．定义：⑴椭圆：；‎ ‎⑵双曲线：； ⑶抛物线：|MF|=d ‎2．结论 ：⑴直线与圆锥曲线相交的弦长公式:若弦端点为,则 ‎,或, 或.‎ 注：①抛物线：＝x1+x2+p；②通径（最短弦）：ⅰ）椭圆、双曲线：；ⅱ）抛物线：2p.‎ ‎⑵过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： （同时大于0时表示椭圆；‎ 时表示双曲线）；当点与椭圆短轴顶点重合时最大； ‎ ‎⑶双曲线中的结论：‎ ‎①双曲线（a>0,b>0）的渐近线：； ‎ ‎②共渐进线的双曲线标准方程可设为为参数，≠ 0）；‎ ‎③双曲线为等轴双曲线渐近线互相垂直；‎ ‎⑷焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。‎ ‎3．直线与圆锥曲线问题解法：‎ ‎⑴直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。‎ 注意以下问题：①联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？②直线斜率不存在时 考虑了吗？③判别式验证了吗？‎ ‎⑵设而不求（点差法-----代点作差法）：--------处理弦中点问题 步骤如下：①设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；②作差得；③解决问题。‎ ‎4．求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（又称相关点法或坐标转移法）；⑷待定系数法；（5）消参法；（6）交轨法；（7）几何法。‎ 第七部分 平面向量 ‎1.平面上两点间的距离公式:，其中A，B.‎ ‎2.向量的平行与垂直： 设=,=，且，则：‎ ‎①∥=λ；‎ ‎② ()·=0.‎ ‎3.a·b=|a||b|cos=xx2+y1y2； ‎ 注：①|a|cos叫做a在b方向上的投影；|b|cos叫做b在a方向上的投影；‎ ②a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积。‎ ‎4.cos=；‎ ‎5.三点共线的充要条件：P，A，B三点共线。‎ ‎ 第八部分 数列 ‎1．定义：‎ ‎⑵等比数列 ‎ ‎2．等差、等比数列性质：‎ ‎ 等差数列 等比数列 通项公式 ‎ 前n项和 ‎ 性质 ①an=am+ (n－m)d, ①an=amqn-m; ‎ ‎ ②m+n=p+q时am+an=ap+aq ②m+n=p+q时aman=apaq ‎ ③成AP ③成GP ‎ ④成AP, ④成GP,‎ ‎3．常见数列通项的求法：‎ an=‎ S1 (n=1)‎ Sn－Sn-1 (n≥2)‎ ‎⑴定义法（利用AP,GP的定义）；⑵累加法（型）；⑶公式法： ‎ ‎⑷累乘法（型）；⑸待定系数法（型）转化为 ‎（6）间接法（例如：）；（7）（理科）数学归纳法。‎ ‎4．前项和的求法：⑴分组求和法；⑵错位相减法；⑶裂项法。‎ ‎5．等差数列前n项和最值的求法：‎ ‎⑴最大值 ；⑵利用二次函数的图象与性质。‎ ‎ 第九部分 不等式 ‎1．均值不等式：‎ 注意：①一正二定三相等；②变形：。‎ ‎2．极值定理：已知都是正数，则有：‎ ‎(1)如果积是定值，那么当时和有最小值；‎ ‎(2)如果和是定值，那么当时积有最大值.‎ ‎3.解一元二次不等式:若,则对于解集不是全集或空集时,对应的 解集为“大两边，小中间”.如:当,；‎ ‎.‎ ‎4.含有绝对值的不等式：当时，有：①；‎ ‎ ②或.‎ ‎5*.分式不等式：‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3） ； （4）.‎ ‎6*.指数不等式与对数不等式 ‎ (1)当时,；.‎ ‎(2)当时,；‎ ‎3．不等式的性质：‎ ‎⑴；⑵；⑶；‎ ‎；⑷；；‎ ‎;⑸;⑹‎ ‎ 第十部分 复数 ‎1．概念：‎ ‎⑴z=a+bi∈Rb=0 (a,b∈R)z= z2≥ 0；⑵z=a+bi是虚数b≠ 0(a,b∈R)；‎ ‎⑶z=a+bi是纯虚数a=0且b≠ 0(a,b∈R)z＋＝0（z≠ 0）z2<0；‎ ‎⑷a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R)；‎ ‎2．复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则：‎ ‎（1） z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i；⑵ z1.z2 = (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；⑶= (z2≠ 0) ;‎ ‎3．几个重要的结论：‎ ‎；⑶；⑷‎ ‎⑸性质：T=4；；‎ ‎4*．模的性质：⑴；⑵；⑶。‎ ‎5.实系数一元二次方程的解： ‎ ‎①若,则;②若,则;‎ ‎③若，它在实数集内没有实数根；在复数集内有且仅有两个共轭复数 根.‎ 第十一部分 概率 ‎1．事件的关系：‎ ‎⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作；‎ ‎⑵事件A与事件B相等：若，则事件A与B相等，记作A=B；‎ ‎⑶并（和）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作（或）；‎ ‎⑷并（积）事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作（或） ；‎ ‎⑸事件A与事件B互斥：若为不可能事件（），则事件A与互斥；‎ ⑹对立事件：为不可能事件，为必然事件，则A与B互为对立事件。‎ ‎2．概率公式：‎ ‎⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；‎ ‎⑵古典概型：；‎ ‎⑶几何概型： ；‎ 第十二部分 统计与统计案例 ‎1．抽样方法：‎ ‎⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量 为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。‎ 注：①每个个体被抽到的概率为；‎ ‎②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数表法。‎ ‎⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从 每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。‎ 注：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定起始的个体编号；④按预 先制定的规则抽取样本。‎ ‎⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，‎ 将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。‎ 注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数 注:以上三种抽样的共同特点是：在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等 ‎2．频率分布直方图与茎叶图：⑴用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。⑵当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。‎ ‎3．总体特征数的估计：‎ ‎⑴样本平均数；‎ ‎⑵样本方差 ；‎ ‎⑶样本标准差= ‎ ‎3．相关系数（判定两个变量线性相关性）：‎ ‎ ‎ 注：⑴>0时，变量正相关； <0时，变量负相关；⑵当 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；当 越接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。‎ ‎4． 回归直线方程 ‎ ‎，其中 ‎ ‎ ‎ 第十三部分 算法初步 ‎1．程序框图：‎ ‎⑴图形符号：‎ ‎① 终端框（起止框）；② 输入、输出框； ‎ ‎③ ‎ ‎ 处理框（执行框）；④ 判断框；⑤ 流程线 ；‎ ‎⑵程序框图分类:‎ ‎①顺序结构： ②条件结构： ③循环结构：‎ ‎ r =0? 否 求n除以i的余数 ‎ 输入n 是 ‎ n不是质数 n是质数 i=i+1 ‎ ‎ i=2‎ ‎ in或r=0? 否 ‎ 是 注：循环结构分为：Ⅰ．当型（while型） ——先判断条件，再执行循环体；‎ Ⅱ．直到型（until型）——先执行一次循环体，再判断条件。‎ ‎2．基本算法语句：‎ ‎⑴输入语句 INPUT “提示内容”；变量 ；输出语句：PRINT “提示内容”；表达式 ‎ 赋值语句： 变量=表达式 ‎ ⑵条件语句：① ②‎ ‎ IF 条件THEN IF条件 THEN ‎ 语句体 语句体1‎ ‎ END IF ELSE ‎ ‎ 语句体2‎ ‎ END IF ‎⑶循环语句：①当型： ②直到型: ‎ ‎ WHILE条件 DO ‎ ‎ 循环体 循环体 ‎ WEND LOOP UNTIL 条件 ‎ 第十四部分 常用逻辑用语与推理证明 ‎1．充要条件的判断：‎ ‎（1）定义法----正、反方向推理 注意区分：“甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”‎ ‎（2）利用集合间的包含关系：例如：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。‎ ‎2．逻辑联结词：‎ ‎⑴且(and) ：命题形式 pq； p q pq pq p ‎⑵或（or）： 命题形式 pq； 真 真 真 真 假 ‎⑶非（not）：命题形式p . 真 假 假 真 假 ‎ 假 真 假 真 真 ‎ 假 假 假 假 真 ‎3．四种命题的相互关系 原命题　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命题 若ｐ则ｑ　　　　　　　　　　　　　　　若ｑ则ｐ ‎　　　　　　　互　　　　　　　互 ‎　　互　　　　　　　　为　　　为　　　　　　　　互 ‎　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否 ‎　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　否　　　　　　 否 否命题　　　　　　　　　　　　　　　逆否命题　　　‎ 若非ｐ则非ｑ　　　　互逆　　　　　　若非ｑ则非ｐ ‎4。四种命题：‎ ‎⑴原命题：若p则q； ⑵逆命题：若q则p；‎ ‎⑶否命题：若p则q； ⑷逆否命题：若q则p 注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。‎ ‎5.全称量词与存在量词 ‎⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用表示；‎ ‎ 全称命题p：； 全称命题p的否定p：。‎ ‎⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用表示；‎ ‎ 特称命题p：； 特称命题p的否定p：；‎ ‎6.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 至多有（）个 小于 不小于 至多有个 至少有（）个 对所有，‎ 成立 存在某，‎ 不成立 或 且 对任何，‎ 不成立 存在某，‎ 成立 且 或 第十五部分 推理与证明 ‎1．推理：‎ ‎⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。‎ ‎①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。‎ 注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。‎ ‎②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。‎ 注：类比推理是特殊到特殊的推理。‎ ‎⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。‎ 注：演绎推理是由一般到特殊的推理。‎ ‎“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况； ⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。‎ ‎2．证明：‎ ‎⑴直接证明 ①综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。‎ ②分析法：‎ 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。‎ ‎（2）间接证明（反证法）：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。（*部分要求过难，新课标不作要求，尖子生参考） （理科下转第14页）‎ ‎2009 年新课标 高 考 数 学 常 用 公 式 及 结 论 ‎1*.容斥原理：‎ ‎.‎ ‎2.从集合到集合的映射有个.‎ ‎3.函数的的单调性： ‎ ‎(1)设那么 上是增函数；‎ 上是减函数.‎ ‎(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，‎ 则为减函数.‎ ‎4*.函数的图象的对称性:‎ ‎①的图象关于直线对称；‎ ‎②的图象关于直线对称；‎ ‎③的图象关于点对称，‎ 的图象关于点对称.‎ ‎5*.两个函数的图象的对称性:‎ ‎①函数与函数的图象关于直线(即轴)对称；‎ ‎②函数与函数的图象关于直线对称；‎ ‎③函数的图象关于直线对称的解析式为；‎ ‎④函数的图象关于点对称的解析式为；‎ ‎⑤函数和函数的图象关于直线对称.‎ ‎6．奇偶函数的图象特征：‎ 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原 点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．‎ ‎7．多项式函数的奇偶性：‎ 多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.‎ 多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.‎ ‎8. 若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；‎ 若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.‎ ‎9. 几个常见的函数方程：‎ ‎ (1)正比例函数,.‎ ‎(2)指数函数,.‎ ‎(3)对数函数,.‎ ‎(4)幂函数,.‎ ‎(5)余弦函数,正弦函数，，f(0)=1. ‎ ‎10*.几个函数方程的周期(约定a>0)‎ ‎（1），则的周期T=a；‎ ‎（2），或，或,‎ 则的周期T=‎2a；‎ ‎11.①等差数列的通项公式:,或.‎ ‎②前n项和公式: .‎ ‎12.设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项的和，是前n项的和，则 ‎①前n项的和；‎ ‎②当n为偶数时，，其中d为公差；‎ ‎③当n为奇数时，则，，，，‎ ‎ （其中是等差数列的中间一项）‎ ‎13.若等差数列和的前项的和分别为和 ，则.‎ ‎14.数列是等比数列，是其前n项的和，，那么（）=·.‎ ‎15.分期付款(按揭贷款)： ‎ 每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).‎ ‎16.裂项法：①； ②；‎ ‎③ ；④.‎ ‎17*．常见三角不等式:‎ ‎（1）若，则.‎ ‎(2) 若，则.‎ ‎(3) .‎ ‎18.正弦、余弦的诱导公式：‎ ‎；.‎ 即:“奇变偶不变,符号看象限”.如,.‎ ‎19*.万能公式:；；（正切倍角公式）.‎ ‎20*.半角公式:.‎ ‎21.三角函数变换:‎ ‎①相位变换:的图象的图象；‎ ‎②周期变换:的图象的图象；‎ ‎③振幅变换:的图象的图象.‎ ‎22.在△ABC中，有 ‎①；‎ ‎②（注意是在中）.‎ ‎23*.线段的定比分点公式：设，，是线段的分点,是实数，‎ 且，则 ‎（其中）.‎ ‎24.若，则、、共线的充要条件是.‎ ‎25.三角形的重心坐标公式: △ABC三个顶点的坐标分别为、、,‎ 则其重心的坐标是.‎ ‎26*.①点的平移公式 (图形F上的任意一点 P(x，y)在平移后的图形上的对应点为，且的坐标为)；‎ ‎②函数按向量平移后的解析式为.‎ ‎27*.“按向量平移”的几个结论 ‎（1）点按向量a=平移后得到点.‎ ‎(2) 函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式 为.‎ ‎(3) 图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式 为.‎ ‎(4) 曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为.‎ ‎(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.‎ ‎28*. 三角形四“心”向量形式的充要条件：‎ 设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则：‎ ‎（1）为的外心.‎ ‎（2）为的重心.‎ ‎（3）为的垂心.‎ ‎（4）为的内心.‎ ‎29.常用不等式：‎ ‎(1)(当且仅当a＝b时取“=”号)．‎ ‎(2)(当且仅当a＝b时取“=”号)．‎ ‎(3)* (当且仅当时取“=”号)．‎ ‎(4) 绝对值不等式： (注意等号成立的条件).‎ ‎(5).‎ ‎（6）柯西不等式：‎ ‎30.最大值最小值定理:如果是闭区间上的连续函数,那么在闭区间上有最大值 和最小值.‎ ‎31.在处的导数（或变化率或微商）.‎ ‎32.瞬时速度.‎ ‎33.瞬时加速度.‎ ‎34.在的导数.‎ ‎35.函数在点处的导数的几何意义：函数在点处的导数是曲线 ‎ 在处的切线的斜率，相应的切线方程是 ‎36.导数与函数的单调性的关系：‎ ‎（1）与为增函数的关系：能推出为增函数，但反之不一定.如函数在单调递增，但，故是为增函数的充分不必要条件.‎ ‎（2）与为增函数的关系：为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或.当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性.∴是为增函数的必要不充分条件.‎ ‎37.常见函数的导数:①（为常数）；②；③；‎ ‎④；⑤，；⑥，.‎ ‎38.可导函数四则运算的求导法则:‎ ‎①；②，；③.‎ ‎39.复合函数的求导法则： 设函数在点处有导数，函数在点 处的对应点U处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作.‎ ‎40.复数的相等：.（）‎ ‎41.复数的模（或绝对值）：==.‎ ‎42.复数的四则运算法则：‎ ‎(1);(2);‎ ‎(3);‎ ‎(4).‎ ‎43.复数的乘法的运算律：对于任何，有：交换律:.‎ 结合律:. 分配律: .‎ ‎44.复平面上的两点间的距离公式 ：‎ ‎（，）.‎ ‎45.向量的垂直： ‎ 非零复数，对应的向量分别是，，则 ‎ 的实部为零为纯虚数 ‎ ‎ ‎(λ为非零实数).‎ ‎46.对虚数单位,有.‎ ‎47.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.如 ‎ 与互为共轭复数.‎ ‎48*.或.‎ ‎49.或所表示的平面区域：‎ 设直线，则或所表示的平面区域是：‎ 若，当与同号时，表示直线的上方的区域；当与异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.‎ 若，当与同号时，表示直线的右方的区域；当与异号时，表示直线的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.‎ ‎50. 圆的方程的四种形式：‎ ‎（1）圆的标准方程:.‎ ‎（2）圆的一般方程:(＞0).‎ ‎（3）圆的参数方程:.‎ ‎（4）*圆的直径式方程:‎ ‎(圆的直径的端点是、).‎ ‎51*.圆中有关重要结论:‎ ‎(1)若P(,)是圆上的点,则过点P(,)的切线方程为.‎ ‎(2)若P(,)是圆上的点,则过点P(,)的切线方程为.‎ ‎(3)若P(,)是圆外一点,由P(,)向圆引两条切线, 切点分别为A、B，则直线AB的方程为.‎ ‎(4)若P(,)是圆外一点, 由P(,)向圆引两条切线, 切点分别为 A、B，则直线AB的方程为.‎ ‎52.圆的切线方程：‎ ‎(1)已知圆．‎ ‎①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是 ‎ .‎ 当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程．‎ ‎②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．‎ ‎③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线．‎ ‎(2)已知圆，过圆上的点的切线方程为.‎ ‎53.椭圆的参数方程是.‎ ‎54*.(1)椭圆的准线方程为,焦半径公式；‎ ‎(2)椭圆的准线方程为,焦半径公式.‎ ‎55*. 椭圆的切线方程 ：‎ ‎(1)椭圆上一点处的切线方程是.‎ ‎（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.‎ ‎（3）椭圆与直线相切的条件是.‎ ‎56*.(1)双曲线的准线方程为,焦半径公式；‎ ‎(2)双曲线的准线方程为，焦半径公式.‎ ‎57.(1)双曲线的渐近线方程为；‎ ‎(2)双曲线的渐近线方程为.‎ ‎58*. 双曲线的切线方程：‎ ‎(1)双曲线上一点处的切线方程是.‎ ‎ （2过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是 ‎.‎ ‎ （3）双曲线与直线相切的条件是.‎ ‎59.(1)P是椭圆上一点,F、F是它的两个焦点,∠FP F=θ，则 ‎△P F F的面积=.‎ ‎(2)P是双曲线上一点,F、F是它的两个焦点,∠FP F=θ，则 ‎△P F F的面积=.‎ ‎60.抛物线上的动点可设为P或.‎ ‎61.(1)P(,)是抛物线上的一点,是它的焦点,则；‎ ‎(2)抛物线的焦点弦长,其中是焦点弦与x轴的夹角；‎ ‎(3) 抛物线的通径长为.‎ ‎62*. 抛物线的切线方程：‎ ‎(1) 抛物线上一点处的切线方程是.‎ ‎（2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.‎ ‎（3）抛物线与直线相切的条件是.‎ ‎63.圆锥曲线关于点成中心对称的曲线是.‎ ‎64*.圆锥曲线的两类对称问题 ‎（1）曲线关于点成中心对称的曲线是.‎ ‎（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是：‎ ‎.‎ ‎65*.“四线”一方程： ‎ 对于一般的二次曲线，用代，用代，‎ 用代，用代，用代即得方程 ‎，曲线的切线，切点弦，中点弦，‎ 弦中点方程均是此方程得到.‎ ‎66.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足，‎ 则四点P、A、B、C共面．‎ ‎67.空间两个向量的夹角公式:，其中，. 异面直线所成角的求法：‎ ‎68.直线与平面所成角满足:,其中为面的法向量.‎ ‎69.二面角的平面角满足: ,其中、为平面、的法向量. ‎ ‎70.空间两点间的距离公式:若,则 ‎.‎ ‎71.点Q到直线的距离:,点P在直线上,直线的方向向量,向量.‎ ‎72.点B到平面的距离:,为平面的法向量,是面的一条斜线,.‎ ‎73.(1)设直线为平面的斜线,其在平面内的射影为,与所成的角为,在平面 内,且与所成的角为,与所成的角为,则.‎ ‎ (2)若经过的顶点的直线与的两边、所在的角相等，则在所在平面上的射影为的角平分线；反之也成立.‎ ‎74. 面积射影定理:(平面多边形及其射影的面积分别是、，所在平面成锐二面角).‎ ‎75.分类计数原理:.分步计数原理:.‎ ‎76.排列恒等式:①； ②； ③；‎ ‎④； ⑤.‎ ‎77*.常见组合恒等式:‎ ⑴;⑵; ⑶; ⑷‎ ⑸. (6).‎ ‎(7). (8)‎ ‎78．排列数与组合数的关系是：‎ ‎79．单条件排列：以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列.‎ ‎（1）“在位”与“不在位”：①某（特）元必在某位有种；②某（特）元不在某位有 ‎（补集思想） （着眼位置）（着眼元素）种.‎ ‎（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）：①定位紧贴：个元在固定位的排列有种.‎ ‎②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.此类问题常用捆绑法；‎ ‎③插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种.‎ ‎（3）两组元素各相同的插空 ：个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？‎ 当时，无解；当时，有种排法.‎ ‎（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为.‎ ‎80*．分配问题：‎ ‎（1）(平均分组有归属问题)将相异的个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有.‎ ‎（2）(平均分组无归属问题)将相异的个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有.‎ ⑶(非平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，，…，件，且，，…，这个数彼此不相等，则其分配方法数共有.‎ ‎（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，，…，件，且，，…，这个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有 .‎ ‎（5）(非平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，，…，件无记号的堆，且，，…，这个数彼此不相等，则其分配方法数有.‎ ‎（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，，…， 件无记号的堆，且，，…，这个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有.‎ ‎（7）(限定分组有归属问题)将相异的（）个物体分给甲、乙、丙，……等个人，物体必须被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，…时，则无论，，…，等个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有.‎ ‎81．二项式定理: ；‎ 二项展开式的通项公式：.‎ ‎82．等可能性事件的概率：.（一次试验共有n个结果等可能的出现，事件A包含其中m个结果）‎ ‎83．①互斥事件、有一个发生的概率：；个互斥事件中有一个发生的概率：；‎ ‎②、是两个任意事件，则.‎ ‎84．相互独立事件、同时发生的概率：；个相互独立事件同时发生的概率：．‎ ‎（上接第8页） 第十六部分 理科选修部分 1． 排列、组合和二项式定理：‎ ‎⑴排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)=(m≤ n, m、n∈N*),‎ 当m=n时为全排列=n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1= n!‎ ‎⑵组合数公式：===(，∈N*，且)‎ ‎⑶组合数性质：‎ ‎⑷二项式定理：‎ ‎①通项：②注意二项式系数与系数的区别 ‎⑸二项式系数的性质：（展开时有项）‎ ‎①与首末两端等距离的二项式系数相等；②若n为偶数，中间一项（第＋1项）二项式系数最大；若n为奇数，中间两项（第和＋1项）二项式系数最大；‎ ‎(6)求二项展开式各项系数和或奇（偶）数项系数和时，注意运用赋值法。‎ ‎2. 概率与统计：‎ ‎⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：pi≥ 0, i=1,2,3，…； p1+p2+…=1;‎ ‎②离散型随机变量：‎ X x1‎ X2‎ ‎…‎ X n ‎…‎ P P1‎ P2‎ ‎…‎ P n ‎…‎ 均值（又称期望）：EX＝ x1p1 + x2p2 + … + xn pn + … ; ‎ 方差：DX＝ ;‎ 注：；‎ ‎③二项分布（独立重复试验）：若X～B（n , p）,则EX＝n p, DX＝n p（1- p） 注： 。‎ ‎⑵条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。注：0P（B|A）1‎ ‎⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。‎ ‎⑷正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数（期望值）EX与标准差；‎ ⑸正态曲线的性质：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于直线x＝ 对称；③曲线在x＝处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为1；‎ ① 当一定时，曲线随值的变化沿x轴平移；‎ ② 当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散；‎ 越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越集中。‎ 注：P=0.6826；P=0.9544‎ P=0.9974‎ 附：数学归纳法：一般的证明一个与正整数有关的一个命题，可按以下步骤进行：‎ ‎⑴证明当取第一个值时命题成立；⑵假设当命题成立，证明当时命题也成立。那么由⑴⑵就可以判定命题对从开始所有的正整数都成立。此证明方法叫数学归纳法。‎ 注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行；‎ ① 的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。（*部分要求过难，新课标不作要求，尖子生参考）‎