高考数学二轮复习2不等式选讲 11页

第2讲　不等式选讲 年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 ‎2018‎ 卷Ⅰ 绝对值不等式的解法、不等式的恒成立问题·T23‎ ‎1.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．‎ ‎2．此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用.‎ 卷Ⅱ 绝对值不等式的解法、不等式的恒成立问题·T23‎ 卷Ⅲ 含绝对值函数图象的画法、不等式的恒成立问题·T23‎ ‎2017‎ 卷Ⅰ 含绝对值不等式的解法、求参数的取值范围·T23‎ 卷Ⅱ 基本不等式的应用、一些常用的变形及证明不等式的方法·T23‎ 卷Ⅲ 含绝对值不等式的解法、函数最值的求解·T23‎ ‎2016‎ 卷Ⅰ 含绝对值函数图象的画法、含绝对值不等式的解法·T24‎ 卷Ⅱ 含绝对值不等式的解法、比较法证明不等式·T24‎ 卷Ⅲ 含绝对值不等式的解法、绝对值不等式的性质·T24‎ ‎　　　绝对值不等式的解法(综合型)‎ 含有绝对值的不等式的解法 ‎(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；‎ 11‎ ‎(2)|f(x)|0)⇔－a0)，|x－a|－|x－b|≥c(或≤c)(c>0)型不等式的解法 可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．‎ ‎(1)零点分区间法的一般步骤 ‎①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根．‎ ‎②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间．‎ ‎③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集．‎ ‎④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．‎ ‎(2)利用绝对值的几何意义 由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c>0)或|x－a|－|x－b|≥c(或≤c)(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．　 ‎ ‎[对点训练]‎ ‎(2018·合肥第一次质量检测)已知函数f(x)＝|2x－1|.‎ ‎(1)解关于x的不等式f(x)－f(x＋1)≤1；‎ ‎(2)若关于x的不等式f(x)(|2x－1|＋|2x＋1|)min即可．‎ 由于|2x－1|＋|2x＋1|＝|1－2x|＋|2x＋1|≥|1－2x＋2x＋1|＝2，‎ 当且仅当(1－2x)(2x＋1)≥0，即x∈时等号成立，故m>2.‎ 所以m的取值范围是(2，＋∞)．‎ ‎　　　不等式的证明(综合型)‎ ‎ 含有绝对值的不等式的性质 ‎|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.‎ ‎ 算术—几何平均不等式 定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．‎ 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．‎ ‎ [典型例题]‎ ‎ (2018·长春质量检测(一))设不等式||x＋1|－|x－1||<2的解集为A.‎ ‎(1)求集合A；‎ ‎(2)若a，b，c∈A，求证：>1.‎ ‎【解】　(1)由已知，令f(x)＝|x＋1|－|x－1|‎ 11‎ ‎＝ 由|f(x)|<2得－11，只需证|1－abc|>|ab－c|，‎ 只需证1＋a2b2c2>a2b2＋c2，只需证1－a2b2>c2(1－a2b2)，‎ 只需证(1－a2b2)(1－c2)>0，‎ 由a，b，c∈A，得a2b2<1，c2<1，所以(1－a2b2)(1－c2)>0恒成立．‎ 综上，>1.‎ 证明不等式的方法和技巧 ‎(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法．‎ ‎(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值符号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．‎ ‎[对点训练]‎ ‎(2018·陕西教学质量检测(一))已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|.‎ ‎(1)解不等式f(x)≤3；‎ ‎(2)记函数g(x)＝f(x)＋|x＋1|的值域为M，若t∈M，证明t2＋1≥＋3t.‎ 解：(1)依题意，得f(x)＝ 所以f(x)≤3⇔或或 解得－1≤x≤1，‎ 即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}．‎ ‎(2)证明：g(x)＝f(x)＋|x＋1|＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|2x－1－2x－2|＝3，‎ 当且仅当(2x－1)(2x＋2)≤0时取等号，‎ 所以M＝[3，＋∞)．‎ t2＋1－3t－＝＝，‎ 因为t∈M，‎ 11‎ 所以t－3≥0，t2＋1>0，‎ 所以≥0，‎ 所以t2＋1≥＋3t.‎ ‎　　　含绝对值不等式的恒成立问题(综合型)‎ ‎[典型例题]‎ ‎ (2018·郑州第一次质量预测)设函数f(x)＝|x＋3|，g(x)＝|2x－1|.‎ ‎(1)解不等式f(x)ax＋4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【解】　(1)由已知，可得|x＋3|<|2x－1|，‎ 即|x＋3|2<|2x－1|2，‎ 所以3x2－10x－8>0，‎ 解得x<－或x>4.‎ 故所求不等式的解集为∪(4，＋∞)．‎ ‎(2)由已知，设h(x)＝2f(x)＋g(x)＝2|x＋3|＋|2x－1|＝ 当x≤－3时，只需－4x－5>ax＋4恒成立，即ax<－4x－9恒成立，‎ 因为x≤－3<0，所以a>＝－4－恒成立，‎ 所以a>，所以a>－1；‎ 当－3ax＋4恒成立，即ax－3<0恒成立，‎ 只需所以所以－1≤a≤6；‎ 当x≥时，只需4x＋5>ax＋4恒成立，即ax<4x＋1恒成立．‎ 因为x≥>0，所以a<＝4＋恒成立．‎ 因为4＋>4，且x→＋∞时，4＋→4，‎ 所以a≤4.‎ 综上，a的取值范围是(－1，4]．‎ 11‎ 绝对值不等式的成立问题的求解模型 ‎(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a≥f(x)或a≤f(x)形式．‎ ‎(2)转化最值：f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a；f(x)a有解⇔f(x)max>a；f(x)a无解⇔f(x)max≤a；f(x)1的解集为{x|x>}．‎ ‎(2)当x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0，1)时|ax－1|<1成立．‎ 若a≤0，则当x∈(0，1)时|ax－1|≥1；‎ 若a>0，|ax－1|<1的解集为04|a－1|，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若存在实数x，y，使f(x)＋g(y)≤0，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)因为f(2a2－1)>4|a－1|，‎ 所以|2a2－2a|＋|a2－1|>4|a－1|，‎ 所以|a－1|(2|a|＋|a＋1|－4)>0，‎ 所以|2a|＋|a＋1|>4且a≠1.‎ ‎①若a≤－1，则－2a－a－1>4，所以a<－；‎ ‎②若－14，所以a<－3，此时无解；‎ ‎③若a≥0且a≠1，则2a＋a＋1>4，所以a>1.‎ 综上所述，a的取值范围为∪(1，＋∞)．‎ ‎(2)因为g(x)＝(x－1)2＋－5‎ ‎≥2－5＝－1，显然可取等号，‎ 所以g(x)min＝－1.‎ 11‎ 于是，若存在实数x，y，使f(x)＋g(y)≤0，只需f(x)min≤1.‎ 又f(x)＝|x＋1－2a|＋|x－a2|≥|(x＋1－2a)－(x－a2)|＝(a－1)2，‎ 所以(a－1)2≤1，所以－1≤a－1≤1，所以0≤a≤2，即a∈[0，2]．‎ ‎1．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，‎ f(x)＝ 可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．‎ ‎(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.‎ 而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.‎ 由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．‎ ‎2．(2018·开封模拟)已知函数f(x)＝|x－m|，m<0.‎ ‎(1)当m＝－1时，求解不等式f(x)＋f(－x)≥2－x；‎ ‎(2)若不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，求m的取值范围．‎ 解：(1)设F(x)＝|x－1|＋|x＋1|‎ ‎＝ 由F(x)≥G(x)解得{x|x≤－2或x≥0}．‎ ‎(2)f(x)＋f(2x)＝|x－m|＋|2x－m|，m<0.‎ 设g(x)＝f(x)＋f(2x)，当x≤m时，g(x)＝m－x＋m－2x＝2m－3x，则g(x)≥－m；‎ 当m－，解得m>－2，‎ 由于m<0，则m的取值范围是(－2，0)．‎ ‎3．(2018·石家庄质量检测(一))已知函数f(x)＝|ax－1|－(a－2)x.‎ ‎(1)当a＝3时，求不等式f(x)>0的解集；‎ ‎(2)若函数f(x)的图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝3时，不等式可化为|3x－1|－x>0，即|3x－1|>x，‎ 11‎ 所以3x－1<－x或3x－1>x，即x<或x>，‎ 所以不等式f(x)>0的解集为.‎ ‎(2)当a>0时，f(x)＝ 要使函数f(x)的图象与x轴无交点，‎ 只需即1≤a<2；‎ 当a＝0时，f(x)＝2x＋1，函数f(x)的图象与x轴有交点，不合题意；‎ 当a<0时，f(x)＝ 要使函数f(x)的图象与x轴无交点，‎ 只需此时无解．‎ 综上可知，若函数f(x)的图象与x轴无交点，则实数a的取值范围为[1，2)．‎ ‎4．(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.‎ ‎(1)画出y＝f(x)的图象；‎ ‎(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．‎ 解：(1)f(x)＝ y＝f(x)的图象如图所示．‎ 11‎ ‎(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.‎ ‎5．(2018·石家庄质量检测(二))已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|.‎ ‎(1)当a＝1时，求f(x)≤2的解集；‎ ‎(2)若g(x)＝4x2＋ax－3.当a>－1且x∈时，f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，f(x)＝.‎ 当x<－时，f(x)≤2无解；‎ 当－≤x≤时，f(x)≤2的解集为；‎ 当x>时，f(x)≤2无解．‎ 综上所述，f(x)≤2的解集为.‎ ‎(2)当x∈时，f(x)＝(a－2x)＋(2x＋1)＝a＋1，所以f(x)≥g(x)可化为a＋1≥g(x)．‎ 又g(x)＝4x2＋ax－3在上的最大值必为g、g之一，则，‎ 即，即－≤a≤2.‎ 又a>－1，所以－1时，3a2－1<2a，解得g(x)的解集；‎ ‎(2)若对任意x1，x2∈R，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝4时，不等式f(x)>g(x)为x2＋2>|x－4|－|x－1|，‎ g(x)＝|x－4|－|x－1|＝ ‎①当x≥4时，x2＋2>－3恒成立，所以x≥4.‎ ‎②当1－2x＋5，即x2＋2x－3>0，得x>1或x<－3，‎ 所以13，则x>1或x<－1，所以x<－1.‎ 由①②③可知不等式f(x)>g(x)的解集为{x|x<－1或x>1}．‎ ‎(2)当a≥1时，g(x)＝所以g(x)的最大值为a－1.‎ 要使f(x1)≥g(x2)，只需2≥a－1，则a≤3，‎ 所以1≤a≤3.‎ 当a<1时，g(x)＝所以g(x)的最大值为1－a.‎ 要使f(x1)≥g(x2)，只需2≥1－a，则a≥－1，所以－1≤a<1.‎ 综上，实数a的取值范围是[－1，3].‎ 11‎