高考数学 数列概念及等差数列 10页

‎2013年高考数学第一轮复习单元 第14讲 数列概念及等差数列 一．【课标要求】‎ ‎1．数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数；‎ ‎2．通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式；‎ ‎3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等差数列与一次函数的关系 二．【命题走向】‎ 数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高 预测2013年高考：‎ ‎1．题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题；‎ ‎2．知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题 三．【要点精讲】‎ ‎1．数列的概念 ‎（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；‎ 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为 的项叫第项（也叫通项）记作；‎ 数列的一般形式：，，，……，，……，简记作 。‎ ‎（2）通项公式的定义：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式 例如，数列①的通项公式是= （7，），数列②的通项公式是= （）。‎ 说明：①表示数列，表示数列中的第项，= 表示数列的通项公式；‎ ‎② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，= =； ‎ ‎ ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……‎ ‎（3）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列 ‎（4）递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式 ‎2．等差数列 ‎（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。‎ ‎（2）等差数列的通项公式：；‎ 说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。‎ ‎（3）等差中项的概念：，，成等差数列。‎ ‎（4）等差数列的前和的求和公式：。‎ 四．【典例解析】‎ 题型1：数列概念 例1（1）、已知为等差数列，，则等于 A. -1 B. ‎1 ‎ C. 3 D.7 选B。‎ 解：∵即∴同理可得∴公差∴.‎ ‎（2）、根据数列前4项，写出它的通项公式：‎ ‎1）1，3，5，7……；2），，，；3），，，。‎ 解：（1）=2； （2）= ； （3）= 。‎ 例2．数列中，已知，‎ ‎（1）写出，，； （2）是否是数列中的项？若是，是第几项？‎ 解：（1）∵，∴，‎ ‎，； ‎ ‎2）令，解得，∵，∴， 即为该数列的第15项。‎ 题型2：数列的递推公式 例3．（1）已知数列适合：，，写出前五项并写出其通项公式；‎ ‎ 2）用上面的数列，通过等式构造新数列，写出，并写出的前5项 解：（1） ，，，，，……，；‎ ‎ （2）， ，，，，．‎ 点评：会根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，了解递推公式是给出数列的又一种重要方法，能根据递推公式写出数列的前几项。‎ 题型3：数列的应用 例5、如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差． (1)设数列是公方差为的等方差数列，求和的关系式； (2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列； (3) 设数列是首项为，公方差为的等方差数列，若将这种顺 序的排列作为某种密码，求这种密码的个数．‎ ‎(1)解：由等方差数列的定义可知：‎ ‎(2)证法一：∵是等差数列，设公差为，则 又是等方差数列，∴ ∴ 即， ∴，即是常数列． 证法二：∵是等差数列，设公差为，则…… 又是等方差数列，设公方差为，则…… 代入得，…… 同理有，…… 两式相减得：即， ∴，即是常数列．‎ ‎(3)依题意， ，， ∴，或， ‎ ‎ 即该密码的第一个数确定的方法数是，其余每个数都有“正”或“负”两种 确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是种， 故，这种密码共种．‎ ‎。‎ 例6．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_____）内 答案：140 85‎ 解析：从题目所给数据规律可以看到：收缩压是等差数列.舒张压的数据变化也很有规律：随着年龄的变化，舒张压分别增加了3毫米、2毫米，…照此规律，60岁时的收缩压和舒张压分别为140；85.‎ 点评：本题以实际问题为背景，考查了如何把实际生活中的问题转化为数学问题的能力.它不需要技能、技巧及繁杂的计算，需要有一定的数学意识，有效地把数学过程实施为数学思维活动。‎ 题型4：等差数列的概念 例7．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（ ）‎ A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 答案：B；‎ 解：an= ∴an=2n－1（n∈N）‎ 又an+1－an=2为常数，≠常数 ∴{an}是等差数列，但不是等比数列.‎ 点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式an=Sn－Sn－1的推理能力.但不要忽略a1，解法一紧扣定义，解法二较为灵活 例8．设数列、、满足：，（n=1,2,3,…），‎ 证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）‎ 证明：必要性：设数列是公差为的等差数列，则：‎ ‎==-=0，‎ ‎∴（n=1,2,3,…）成立；‎ 又=6（常数）（n=1,2,3,…）‎ ‎∴数列为等差数列。‎ 充分性：设数列是公差为的等差数列，且（n=1,2,3,…），‎ ‎∵……① ∴……②‎ ‎①－②得：=‎ ‎∵‎ ‎∴……③ 从而有……④‎ ‎④－③得：……⑤‎ ‎∵，，，∴由⑤得：（n=1,2,3,…），‎ 由此，不妨设（n=1,2,3,…），则（常数）‎ 故……⑥‎ 从而……⑦‎ ‎⑦－⑥得：，‎ 故（常数）（n=1,2,3,…），∴数列为等差数列。‎ 综上所述：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,…）。‎ 点评：该题考察判断等差数列的方法，我们要讲平时积累的方法巧妙应用，有些结论可以起到事半功倍的效果 题型5：等差数列通项公式 例9．已知等差数列的公差d不为0，设 ‎（Ⅰ）若 ,求数列的通项公式；（Ⅱ）若成等比数列，求q的值。‎ ‎（1）解：由题设，‎ 代入解得，所以 ‎ ‎（2）解：当成等比数列，所以，即，注意到，整理得 点评：本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n项和等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力 例10．已知等比数列的各项为不等于1的正数，数列满足，设。‎ ‎（1）求数列的前多少项和最大，最大值为多少？‎ ‎（2）令，试判断数列的增减性？‎ 解：（1）由已知得：‎ 设等比数列{xn}的公比为q(q≠1)‎ 由得为等差数列，设公差为d ‎ ‎∵，∴d=－2； ∴‎ 设前k项为最大，则 ∴前11项和前12项和为最大，其和为132‎ ‎(2) an= ‎ ‎∵ ‎ ‎∴∴时数列{an}为递减数列 点评：该题通过求通项公式，最终通过通项公式解释复杂的不等问题，属于综合性的题目，解题过程中注意观察规律 题型6：等差数列的前n项和公式 例11．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）‎ A.13项 B.12项 C.11项 D.10项 ‎（2）设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）‎ A.1 B‎.2 ‎ C.4 D.6‎ 解：（1）答案：A ‎ 设这个数列有n项 ‎∵ ∴ ∴n＝13‎ ‎（2）答案：B 前三项和为12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝＝4‎ a1·a2·a3＝48，∵a2＝4，∴a1·a3＝12，a1＋a3＝8，‎ 把a1，a3作为方程的两根且a1＜a3，∴x2－8x＋12＝0，x1＝6，x2＝2，∴a1＝2，a3＝6，∴选B.‎ 点评：本题考查了数列等差数列的前n项和公式的运用和考生分析问题、解决问题的能力 例12．（1）设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝的前n项和，求Tn。‎ ‎（2）已知数列｛bn｝是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=100，求数列｛bn｝的通项bn；‎ 解：（1）设等差数列｛an｝的公差为d，则Sn=na1＋n（n－1）d．∴S7＝7，S15＝75，‎ ‎∴即解得a1＝－2，d＝1．∴＝a1＋（n－1）d＝－2＋（n－1）。‎ ‎∵，∴数列｛｝是等差数列，其首项为－2，公差为，∴Tn＝n2－n．‎ ‎2）设数列｛bn｝的公差为d，由题意得解得 ∴bn=2n－1.‎ 点评：本题主要考查等差数列的求和公式的求解和应用，对一些综合性的问题要先理清思路再行求解 题型7：等差数列的性质及变形公式 例13．（1）设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（ ）‎ A.d＜0 B.a7＝‎0 ‎‎ C.S9＞S5 D.S6与S7均为Sn的最大值 ‎（2）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）‎ A.130 B‎.170 ‎ C.210 D.260‎ 解：（1）答案：C；‎ 由S50，‎ 又S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，‎ 由S7>S8，得a8<0，而C选项S9>S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0，‎ 由题设a7=0，a8<0，显然C选项是错误的。‎ ‎（2）答案：C 解法一：由题意得方程组，‎ 视m为已知数，解得，‎ ‎∴。‎ 解法二：设前m项的和为b1，第m+1到2m项之和为b2，第2m+1到3m项之和为b3，则b1，b2，b3也成等差数列。‎ 于是b1=30，b2=100－30=70，公差d=70－30=40。‎ ‎∴b3=b2+d=70+40=110 ∴前3m项之和S3m=b1+b2+b3=210.‎ 解法三：取m=1，则a1=S1=30，a2=S2－S1=70，从而d=a2－a1=40。‎ 于是a3=a2+d=70+40=110.∴S3=a1+a2+a3=210。‎ 点评：本题考查等差数列的基本知识，及灵活运用等差数列解决问题的能力，解法二中是利用构造新数列研究问题，等比数列也有类似性质.解法三中，从题给选择支获得的信息可知，对任意变化的自然数m，题给数列前3m项的和是与m无关的不变量，在含有某种变化过程的数学问题，利用不变量的思想求解，立竿见影。‎ 五．【思维总结】‎ ‎1．数列的知识要点：‎ ‎（1）数列是特殊的函数，数列是定义在自然数集N（或它的有限子集｛1，2，3，…，n，…｝）上的函数f（n），当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值：f（1），f（2），f（3），…，f（n），…。数列的图象是由一群孤立的点构成的。‎ ‎（2）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式；③一个数列还可以用递推公式来表示；④在数列｛an｝中，前n 项和Sn 与通项公式an 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。即an＝。特别要注意的是，若a1 适合由an ‎＝Sn－Sn－1（n≥2）可得到的表达式，则an 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子 ‎2．等差数列的知识要点：‎ ‎（1）等差数列定义an＋1－an＝d（常数）（n N），这是证明一个数列是等差数列的依据，要防止仅由前若干项，如a3－a2＝a2－a1＝d（常数）就说｛an｝是等差数列这样的错误，判断一个数列是否是等差数列。还可由an＋an＋2＝2 an＋1 即an＋2－an＋1＝an＋1－an 来判断。‎ ‎（2）等差数列的通项为an＝a1＋（n－1）d．可整理成an＝an＋（a1－d），当d≠0时，an 是关于n 的一次式，它的图象是一条直线上，那么n 为自然数的点的集合 ‎（3）对于A 是a、b 的等差中项，可以表示成2 A＝a＋b。‎ ‎（4）等差数列的前n 项和公式Sn＝·n－na1＋d，可以整理成Sn＝n2＋。当d≠0时是n 的一个常数项为0的二次式。‎ ‎（5）等差数列的判定方法：‎ ‎①定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；‎ ‎②等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。‎ ‎3．等差数列的性质：‎ ‎（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；‎ ‎（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是， 如：，，，，……；，，，，……；‎ ‎（3）在等差数列中，对任意，，，；‎ ‎（4）在等差数列中，若，，，且，则；‎ ‎5．说明：设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①奇偶； ② ；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①偶奇；②。‎ ‎6．（1），时，有最大值；，时，有最小值；（2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。‎