2015高考数学人教A版本（平面解析几何）一轮过关测试题 16页

阶段性测试题八(平面解析几何)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1．(2014·山东省博兴二中质检)“m＝－‎1”‎是“直线mx＋(‎2m－1)y＋2＝0与直线3x＋my＋3＝0垂直”的(　　)‎ A．充分而不必要条件　　 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[答案]　A ‎[解析]　若两直线垂直，则‎3m＋m(‎2m－1)＝0，∴m＝0或－1，故选A.‎ ‎2．(文)(2014·三峡名校联盟联考)直线x－y＋1＝0与圆(x－1)2＋y2＝2的位置关系是(　　)‎ A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心 ‎[答案]　B ‎[解析]　圆心C(1,0)到直线的距离d＝＝，∴选B.‎ ‎(理)(2014·天津市六校联考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a取值范围是(　　)‎ A．[－3，－1] B．[－1,3]‎ C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由条件知，≤，∴－3≤a≤1，故选C.‎ ‎3．(2014·韶关市曲江一中月考)已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　由条件知，a2＋5＝9，∴a2＝4，∴e＝＝.‎ ‎4．(2014·山西曲沃中学期中)对于常数m、n，“mn>‎0”‎是“方程mx2＋ny2‎ ‎＝1的曲线是椭圆”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[答案]　B ‎[解析]　若方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆，则m>0，n>0，从而mn>0，但当mn>0时，可能有m＝n>0，也可能有m<0，n<0，这时方程mx2＋ny2＝1不表示椭圆，故选B.‎ ‎5．(文)(2014·云南景洪市一中期末)点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25内一条弦AB的中点，则直线AB的方程为(　　)‎ A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0‎ C．x－y－3＝0 D．2x－y－5＝0‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　圆心C(1,0)，由条件知PC⊥AB，∴kAB＝－＝1，∴直线AB的方程为y－(－1)＝1×(x－2)，即x－y－3＝0.‎ ‎(理)(2014·银川九中一模)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　)‎ A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2‎ C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　设圆心C(x0，－x0)，则 ＝，‎ ‎∴x0＝1，∴圆心C(1，－1)，半径r＝，‎ 方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.‎ ‎6．(2014·广东执信中学期中)已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为(　　)‎ A.＋＝1或＋＝1‎ B.＋＝1‎ C.＋＝1或＋＝1‎ D.＋＝1或＋＝1‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由条件知a＝6，e＝＝，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选C.‎ ‎7．(2014·云南景洪市一中期末)从抛物线y2＝4x图象上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线焦点为F，则△MPF的面积为(　　)‎ A．10 B．8‎ C．6 D．4‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　设P(x0，y0)，∵|PM|＝5，∴x0＝4，∴y0＝±4，‎ ‎∴S△MPF＝|PM|·|y0|＝10.‎ ‎8．(文)(2014·河南淇县一中模拟)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2.若|AF1|，|F‎1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D.－2‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由条件知，|AF1|＝a－c，|F‎1F2|＝‎2c，|F1B|＝a＋c，‎ 由条件知，(‎2c)2＝(a－c)·(a＋c)，∴a2＝‎5c2，∴e＝.‎ ‎(理)(2014·抚顺二中期中)在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－.若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　设|AB|＝x>0，则|BC|＝x，‎ AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB ‎＝x2＋x2－2x2·(－)＝x2，∴|AC|＝x，‎ 由条件知，|CA|＋|CB|＝‎2a，AB＝‎2c，‎ ‎∴x＋x＝‎2a，x＝‎2c，∴c＝＝＝＝.‎ ‎9．(2014·威海期中)已知变量x，y满足约束条件则z＝的最大值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，z＝表示平面区域内的点P(x，y)与原点连线的斜率，∴kOA≤≤kOB，‎ ‎∵kOA＝＝－，kOB＝，故－≤≤，选B.‎ ‎10．(文)(2014·山东省博兴二中质检)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于(　　)‎ A. B. C．2 D．2 ‎[答案]　B ‎[解析]　∵抛物线y2＝4x的焦点(，0)为双曲线的右焦点，∴c＝，‎ 又＝，结合a2－b2＝c2，得e＝，故选B.‎ ‎(理)(2014·浙北名校联盟联考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)上任意一点P，作与实轴平行的直线，交两渐近线于M、N两点，若·＝2b2，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　由条件知，双曲线两渐近线方程为y＝±x，设P(x0，y0)，则－＝1，∴x－＝a2，‎ 由y＝y0与y＝±x得M(－，y0)，N(，y0)，‎ ‎∵·＝(－－x0,0)·(－x0,0)＝x－＝a2＝2b2，‎ 又b2＝c2－a2，∴‎3a2＝‎2c2，∴e＝＝.‎ ‎11．(2014·山西曲沃中学期中)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)‎ A．5－4 B.－1‎ C．6－2 D. ‎[答案]　A ‎[解析]　⊙C1的圆心C1(2,3)，半径r＝1，⊙C2的圆心C2(3,4)，半径R＝3，‎ 设E为x轴上任一点，EC1交⊙C1于A，EC2交⊙C2于B，则|EA|＋|EB|＝|EC1|＋|EC2|－4为E到⊙C1与⊙C2上的点的距离之和的最小值，而|EC1|＋|EC2|的最小值为|C1′C2|(其中C1′为C1关于x轴的对称点)，∴当P为直线C1′C2：7x－y－17＝0与x轴的交点(，0)时，|PM|＋|PN|取到最小值，|PC1|＋|PC2|－4＝＋－4＝＋－4＝5－4，故选A.‎ ‎12．(2014·海南省文昌市检测)设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF‎1F2的面积等于(　　)‎ A．4 B．8 C．24 D．48‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由3|PF1|＝4|PF2|知|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，又c2＝a2＋b2＝1＋24＝25，∴c＝5，∴|F‎1F2|＝10，‎ ‎∴△PF‎1F2为直角三角形，S△PF‎1F2＝|PF1||PF2|＝24.‎ 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)‎ ‎13．(2014·西安市长安中学期中)已知椭圆x2＋ky2＝3k(k>0)的一个焦点与抛物线y2‎ ‎＝12x的焦点重合，则该椭圆的离心率是________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　抛物线的焦点为F(3,0)，椭圆的方程为：＋＝1，∴3k－3＝9，∴k＝4，∴离心率e＝＝.‎ ‎14．(2014·浙北名校联盟联考)已知直线l与圆O：x2＋y2＝1在第一象限内相切于点C，并且分别与x，y轴相交于A、B两点，则|AB|的最小值为________．‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，‎ l：＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，‎ ‎∵l与⊙O相切，∴＝1，∴a2＋b2＝a2b2，‎ ‎∵a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)2≥‎4a2b2＝4(a2＋b2)，‎ ‎∴a2＋b2≥4，∴≥2，即|AB|的最小值为2.‎ ‎15．(文)(2013·泗阳县模拟)两个正数a，b的等差中项是，等比中项是2，且a＞b，则双曲线－＝1的离心率为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　∵两个正数a，b的等差中项是，等比中项是2，且a＞b，‎ ‎∴解得a＝5，b＝4，‎ ‎∴双曲线方程为－＝1，∴c＝＝，‎ ‎∴双曲线－＝1的离心率e＝＝.‎ ‎(理)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知点F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．‎ ‎[答案]　(1,1＋)‎ ‎[解析]　∵双曲线关于x轴对称，∴A、B两点关于x轴对称，∴|F‎2A|＝|F2B|，△ABF2为锐角三角形⇔∠AF2B为锐角⇔∠AF‎2F1<45°⇔|AF1|<|F‎1F2|，‎ ‎∵F1(－c,0)，∴A(－c，)，即|AF1|＝，‎ 又|F‎1F2|＝‎2c，‎ ‎∴<‎2c，∴c2－‎2ac－a2<0，∴e2－2e－1<0，‎ ‎∴1－1，∴12，解得m>1.‎ 综上所述，当m<1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相交；‎ 当m＝1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相切；‎ 当m>1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相离．‎ ‎18．(本小题满分12分)(文)(2014·山东省博兴二中质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．‎ ‎[解析]　(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2‎ ，0)．‎ 故可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.‎ 则圆C的半径为3.‎ ‎∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组： 消去y，得到方程2x2＋(‎2a－8)x＋a2－‎2a＋1＝0.‎ 由已知可得，判别式Δ＝56－‎16a－‎4a2>0.‎ 从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①‎ 由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，‎ 又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，‎ 所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②‎ 由①②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.‎ ‎(理)(2014·北京西城区期末)已知A，B是抛物线W：y＝x2上的两个点，点A的坐标为(1,1)，直线AB的斜率为k，O为坐标原点．‎ ‎(1)若抛物线W的焦点在直线AB的下方，求k的取值范围；‎ ‎(2)设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D，求|OD|的最小值．‎ ‎[解析]　(1)抛物线y＝x2的焦点为(0，)．‎ 由题意得直线AB的方程为y－1＝k(x－1)，‎ 令x＝0，得y＝1－k，即直线AB与y轴相交于点(0,1－k)．‎ 因为抛物线W的焦点在直线AB的下方，‎ 所以1－k>，解得k<.‎ ‎(2)由题意，设B(x1，x)，C(x2，x)，D(x3，y3)，‎ 联立方程消去y得x2－kx＋k－1＝0，由韦达定理得1＋x1＝k，所以x1＝k－1.‎ 同理，得AC的方程为y－1＝－(x－1)，x2＝－－1.‎ 对函数y＝x2求导，得y′＝2x，‎ 所以抛物线y＝x2在点B处的切线斜率为2x1，所以切线BD的方程为y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x.‎ 同理，抛物线y＝x2在点C处的切线CD的方程为y＝2x2x－x.‎ 联立两条切线的方程解得x3＝＝(k－－2)，y3＝x1x2＝－k，‎ 所以点D的坐标为((k－－2)，－k)．‎ 因此点D在定直线2x＋y＋2＝0上．‎ 因为点O到直线2x＋y＋2＝0的距离d＝＝，所以|OD|≥，当且仅当点D(－，－)时等号成立．由y3＝－k＝－，得k＝，验证知符合题意．所以当k＝时，|OD|有最小值.‎ ‎19．(本小题满分12分)(文)(2014·韶关市曲江一中月考)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．‎ ‎[解析]　(1)将点(0,4)代入椭圆C的方程，得＝1，∴b＝4，‎ 又e＝＝，则＝，∴1－＝，∴a＝5，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，‎ 设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入椭圆方程得＋＝1，即x2－3x－8＝0，由韦达定理得x1＋x2＝3，所以线段AB中点的横坐标为＝，纵坐标为(－3)＝－，即所截线段的中点坐标为(，－)．‎ ‎(理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若＝2，求直线l的方程．‎ ‎[解析]　(1)设椭圆方程为＋＝1，(a>0，b>0)，‎ ‎∵c＝1，＝，∴a＝2，b＝，‎ ‎∴所求椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题意得直线l的斜率存在，设直线l方程为y＝kx＋1，则由消去y得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且Δ>0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴ 由＝2得x1＝－2x2，‎ ‎∴消去x2得()2＝，‎ 解得k2＝，∴k＝±，‎ 所以直线l的方程为y＝±x＋1，即x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.‎ ‎20．(本小题满分12分)(文)(2014·浙北名校联盟联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点P(1，)．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，问在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．‎ ‎[解析]　(1)∵c＝1，＝，a2＝b2＋c2，‎ ‎∴a＝2，b＝，∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)假设存在符合条件的点M(x0，y0)，‎ 设直线l的方程为x＝my－1，‎ 由消去x得：(‎3m2‎＋4)y2－6my－9＝0，‎ 由条件知Δ>0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，‎ ‎∴AB的中点为(－，)，‎ ‎∵四边形AMBF2为平行四边形，‎ ‎∴AB的中点与MF2的中点重合，‎ 即∴M(－，)，‎ 把点M的坐标代入椭圆C的方程得：‎27m4－‎24m2‎－80＝0，解得m2＝，‎ ‎∴存在符合条件的直线l，其方程为：y＝±(x＋1)．‎ ‎(理)(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)过右焦点F作斜率为－的直线l交曲线C于M、N两点，且＋＋＝0，又点H关于原点O的对称点为点G，试问M、G、N、H四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．‎ ‎[解析]　(1)由题意可得圆的方程为x2＋y2＝b2，‎ ‎∵直线x－y＋＝0与圆相切，∴d＝＝b，即b＝1，‎ 又e＝＝，及a2＝b2＋c2，得a＝，‎ 所以椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)∵直线l过点F(1,0)，且斜率为k＝－，‎ ‎∴l的方程为y＝－(x－1)．‎ 联立方程组消去y得2x2－2x－1＝0.‎ 设M(x1，y1)、N(x2，y2)，可得 于是 又＋＋＝0，得＝(－x1－x2，－y1－y2)，‎ 即H(－1，－)，‎ 而点G与点H关于原点对称，于是可得点G(1，)．‎ ‎∴kGH＝.‎ 若线段MN、GH的中垂线分别为l1和l2，则有l1：y－＝(x－)，l2：y＝－x.‎ 联立方程组解得l1和l2的交点为O1(，－)．‎ 因此，可求得|O1H|＝＝，‎ ‎|O‎1M|＝＝.‎ 所以M、G、N、H四点共圆，且圆心坐标为O1(，－)，半径为.‎ ‎21．(本小题满分12分)(文)(2014·绵阳市南山中学检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过(1,1)与(，)两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|＝|MB|.求证：＋＋为定值．‎ ‎[解析]　(1)将(1,1)与(，)两点坐标代入椭圆C的方程得，解得 ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由|MA|＝|MB|知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．‎ ‎①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时 ＋＋＝＋＋＝2(＋)＝2.‎ 同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M是椭圆的一个短轴顶点，此时 ＋＋＝＋＋＝2(＋)＝2.‎ ‎②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y＝kx(k≠0)，‎ 则直线OM的方程为y＝－x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由解得x＝，y＝，‎ ‎∴|OA|2＝|OB|2＝x＋y＝，‎ 同理|OM|2＝，‎ 所以＋＋＝2×＋＝2，故＋＋＝2为定值．‎ ‎(理)(2014·浙江台州中学期中)已知焦点在y轴上的椭圆C1：＋＝1经过点A(1,0)，且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C1的方程；‎ ‎(2)过抛物线C2：y＝x2＋h(h∈R)上P点的切线与椭圆C1交于两点M、N，记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与y轴平行时，求h的最小值．‎ ‎[解析]　(1)由题意可得解得a＝2，b＝1，‎ 所以椭圆C1的方程为x2＋＝1.‎ ‎(2)设P(t，t2＋h)，由y′＝2x知，抛物线C2在点P处的切线的斜率为k＝y′|x＝t＝2t，所以MN的方程为y＝2tx－t2＋h，代入椭圆方程得4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0，‎ 化简得4(1＋t2)x2－4t(t2－h)x＋(t2－h)2－4＝0，‎ 又MN与椭圆C1有两个交点，‎ ‎∴Δ＝16[－t4＋2(h＋2)t2－h2＋4]>0，①‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点G的横坐标为x0，则 x0＝＝，‎ 设线段PA的中点H横坐标为x3＝，‎ ‎∵GH与y轴平行，∴x0＝x3，即＝，②‎ 显然t≠0，∴h＝－(t＋＋1)，③‎ 当t>0时，t＋≥2，当且仅当t＝1时取得等号，此时h≤－3不符合①式，故舍去；‎ 当t<0时，(－t)＋(－)≥2，当且仅当t＝－1时取得等号，此时h≥1，满足①式．‎ 综上，h的最小值为1.‎ ‎22．(本小题满分14分)(文)(2014·长沙市重点中学月考)已知椭圆C：＋＝1(a>b ‎>0)的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当直线l的斜率为1时，坐标原点O到直线l的距离为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎[解析]　(1)设F(c,0)，当l的斜率为1时，其方程为x－y－c＝0，‎ ‎∴O到l的距离为＝，‎ 由已知得，＝，∴c＝1.‎ 由e＝＝，得a＝，∴b＝＝.‎ ‎∴所求椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)假设C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(x1＋x2，y1＋y2)，‎ 由(1)，知C的方程为＋＝1.‎ 由题意知，l的斜率一定不为0，故不妨设l：x＝ty＋1.‎ 由消去x并化简整理得，(2t2＋3)y2＋4ty－4＝0.‎ 由韦达定理，得y1＋y2＝－，‎ ‎∴x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝t(y1＋y2)＋2‎ ‎＝－＋2＝，‎ ‎∴P(，－)．‎ ‎∵点P在C上，∴＋＝1，‎ 化简整理得，4t4＋4t2－3＝0，即(2t2＋3)(2t2－1)＝0，解得t2＝.‎ 当t＝时，P(，－)，l的方程为x－y－＝0；‎ 当t＝－时，P(，)，l的方程为x＋y－＝0.‎ 故C上存在点P(，±)，使＝＋成立，此时l的方程为x±y－＝0.‎ ‎(理)(2014·西安市长安中学期中)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线－x2＝1的焦点重合，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A、B两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求·的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)由条件知e＝＝，b＝，‎ ‎∴a2＝4，b2＝3，故椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)，‎ 由消去y得：(4k2＋3)x2－32k2x＋64k2－12＝0，‎ 由Δ＝(－32k2)2－4(4k2＋3)(64k2－12)>0得：k2<，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝，x1x2＝，‎ ‎∴y1y2＝k(x1－4)k(x2－4)＝k2x1x2－4k2(x1＋x2)＋16k2，‎ ‎∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)·－4k2·＋16k2＝25－，‎ ‎∵0≤k2<，∴－≤－<－，‎ ‎∴－4≤·<，∴·的取值范围是[－4，)．‎