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  • 2021-05-13 发布

江苏高考数学试题含答案详解

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‎2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析 数学Ⅰ试题 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1.本试卷共4页,包含填空题(第1题——第14题)、解答题(第15题——第20题)。本卷满分160分,考试时间为120分钟。考试结束后,请将本卷和答题卡一并交回。‎ ‎2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。‎ ‎3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。‎ ‎4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整,笔迹清楚。‎ ‎5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。‎ ‎6.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损。‎ 参考公式:‎ 锥体的体积公式: V锥体=Sh,其中S是锥体的底面积,h是高。‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.‎ ‎1、设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a=______▲_____.‎ ‎[解析] 考查集合的运算推理。3B, a+2=3, a=1.‎ ‎2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i(其中i为虚数单位),则z的模为______▲_____.‎ ‎[解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等,z的模为2。‎ ‎3、盒子中有大小相同的3只白球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是_ ▲__.‎ ‎[解析]考查古典概型知识。‎ ‎4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样的100根中,有_▲___根在棉花纤维的长度小于‎20mm。‎ ‎[解析]考查频率分布直方图的知识。‎ ‎100×(0.001+0.001+0.004)×5=30‎ ‎5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数,则实数a=_______▲_________‎ ‎[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数,由g(0)=0,得a=-1。‎ ‎6、在平面直角坐标系xOy中,双曲线上一点M,点M的横坐标是3,则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______‎ ‎[解析]考查双曲线的定义。,为点M到右准线的距离,=2,MF=4。‎ ‎7、右图是一个算法的流程图,则输出S的值是______▲_______‎ ‎[解析]考查流程图理解。输出。‎ ‎8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=____▲_____‎ ‎[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。 ‎ 在点(ak,ak2)处的切线方程为:当时,解得,‎ 所以。‎ ‎9、在平面直角坐标系xOy中,已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是______▲_____‎ ‎[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2,‎ 圆心(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离小于1,,的取值范围是(-13,13)。‎ ‎10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P,过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。‎ ‎[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值,‎ 且其中的x满足6cosx=5tanx,解得sinx=。线段P1P2的长为 ‎11、已知函数,则满足不等式的x的范围是__▲___。‎ ‎[解析] 考查分段函数的单调性。‎ ‎12、设实数x,y满足3≤≤8,4≤≤9,则的最大值是 ▲ 。‎ ‎[解析] 考查不等式的基本性质,等价转化思想。‎ ‎,,,的最大值是27。‎ ‎13、在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,,则=____▲_____。‎ ‎[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想。一题多解。‎ ‎(方法一)考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。‎ 当A=B或a=b时满足题意,此时有:,,,‎ ‎,= 4。‎ ‎(方法二),‎ 由正弦定理,得:上式=‎ ‎14、将边长为‎1m正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记,则S的最小值是____▲____。‎ ‎[解析] 考查函数中的建模应用,等价转化思想。一题多解。‎ 设剪成的小正三角形的边长为,则:‎ ‎(方法一)利用导数求函数最小值。‎ ‎,‎ ‎,‎ 当时,递减;当时,递增;‎ 故当时,S的最小值是。‎ ‎(方法二)利用函数的方法求最小值。‎ 令,则:‎ 故当时,S的最小值是。‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.‎ ‎15、(本小题满分14分)‎ 在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。‎ (1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;‎ (2) 设实数t满足()·=0,求t的值。‎ ‎[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力。满分14分。‎ ‎(1)(方法一)由题设知,则 所以 故所求的两条对角线的长分别为、。‎ ‎(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则:‎ E为B、C的中点,E(0,1)‎ 又E(0,1)为A、D的中点,所以D(1,4)‎ ‎ 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=;‎ ‎(2)由题设知:=(-2,-1),。‎ 由()·=0,得:,‎ 从而所以。‎ 或者:,‎ ‎16、(本小题满分14分)‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900。‎ (1) 求证:PC⊥BC;‎ (2) 求点A到平面PBC的距离。‎ ‎[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。‎ ‎(1)证明:因为PD⊥平面ABCD,BC平面ABCD,所以PD⊥BC。‎ 由∠BCD=900,得CD⊥BC,‎ 又PDDC=D,PD、DC平面PCD,‎ 所以BC⊥平面PCD。‎ 因为PC平面PCD,故PC⊥BC。‎ ‎(2)(方法一)分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF,则:‎ 易证DE∥CB,DE∥平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等。‎ 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。‎ 由(1)知:BC⊥平面PCD,所以平面PBC⊥平面PCD于PC,‎ 因为PD=DC,PF=FC,所以DF⊥PC,所以DF⊥平面PBC于F。‎ 易知DF=,故点A到平面PBC的距离等于。‎ ‎(方法二)体积法:连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。‎ 因为AB∥DC,∠BCD=900,所以∠ABC=900。‎ 从而AB=2,BC=1,得的面积。‎ 由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积。‎ 因为PD⊥平面ABCD,DC平面ABCD,所以PD⊥DC。‎ 又PD=DC=1,所以。‎ 由PC⊥BC,BC=1,得的面积。‎ 由,,得,‎ 故点A到平面PBC的距离等于。‎ ‎17、(本小题满分14分)‎ 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位:m),如示意图,垂直放置的标杆BC的高度h=‎4m,仰角∠ABE=,∠ADE=。‎ (1) 该小组已经测得一组、的值,tan=1.24,tan=1.20,请据此算出H的值;‎ (2) 该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m),使与之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为‎125m,试问d为多少时,-最大?‎ ‎[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。‎ ‎(1),同理:,。‎ ‎ AD—AB=DB,故得,解得:。‎ 因此,算出的电视塔的高度H是‎124m。‎ ‎(2)由题设知,得,‎ ‎,(当且仅当时,取等号)‎ 故当时,最大。‎ 因为,则,所以当时,-最大。‎ 故所求的是m。‎ ‎18、(本小题满分16分)‎ 在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左、右顶点为A、B,右焦点为F。设过点T()的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、,其中m>0,。‎ ‎(1)设动点P满足,求点P的轨迹;‎ ‎(2)设,求点T的坐标;‎ ‎(3)设,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。‎ ‎[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。‎ ‎(1)设点P(x,y),则:F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。‎ 由,得 化简得。‎ 故所求点P的轨迹为直线。‎ ‎(2)将分别代入椭圆方程,以及得:M(2,)、N(,)‎ 直线MTA方程为:,即,‎ 直线NTB 方程为:,即。‎ 联立方程组,解得:,‎ 所以点T的坐标为。‎ ‎(3)点T的坐标为 直线MTA方程为:,即,‎ 直线NTB 方程为:,即。‎ 分别与椭圆联立方程组,同时考虑到,‎ 解得:、。‎ ‎(方法一)当时,直线MN方程为:‎ ‎ 令,解得:。此时必过点D(1,0);‎ 当时,直线MN方程为:,与x轴交点为D(1,0)。‎ 所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0)。‎ ‎(方法二)若,则由及,得,‎ 此时直线MN的方程为,过点D(1,0)。‎ 若,则,直线MD的斜率,‎ 直线ND的斜率,得,所以直线MN过D点。‎ 因此,直线MN必过轴上的点(1,0)。‎ ‎19、(本小题满分16分)‎ 设各项均为正数的数列的前n项和为,已知,数列是公差为的等差数列。‎ ‎(1)求数列的通项公式(用表示);‎ ‎(2)设为实数,对满足的任意正整数,不等式都成立。求证:的最大值为。‎ ‎[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、分析及论证的能力。满分16分。‎ ‎(1)由题意知:, ‎ ‎,‎ 化简,得:‎ ‎,‎ 当时,,适合情形。‎ 故所求 ‎(2)(方法一)‎ ‎, 恒成立。‎ ‎ 又,,‎ 故,即的最大值为。‎ ‎(方法二)由及,得,。‎ 于是,对满足题设的,,有 ‎。‎ 所以的最大值。‎ 另一方面,任取实数。设为偶数,令,则符合条件,且。‎ 于是,只要,即当时,。‎ 所以满足条件的,从而。‎ 因此的最大值为。‎ ‎20、(本小题满分16分)‎ 设是定义在区间上的函数,其导函数为。如果存在实数和函数,其中对任意的都有>0,使得,则称函数具有性质。‎ ‎(1)设函数,其中为实数。‎ ‎(i)求证:函数具有性质; (ii)求函数的单调区间。‎ ‎(2)已知函数具有性质。给定设为实数,‎ ‎,,且,‎ 若||<||,求的取值范围。‎ ‎[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。‎ ‎(1)(i)‎ ‎∵时,恒成立,‎ ‎∴函数具有性质;‎ ‎(ii)(方法一)设,与的符号相同。‎ 当时,,,故此时在区间上递增;‎ 当时,对于,有,所以此时在区间上递增;‎ 当时,图像开口向上,对称轴,而,‎ 对于,总有,,故此时在区间上递增;‎ ‎(方法二)当时,对于,‎ ‎ 所以,故此时在区间上递增;‎ 当时,图像开口向上,对称轴,方程的两根为:,而 ‎ 当时,,,故此时在区间 上递减;同理得:在区间上递增。‎ 综上所述,当时,在区间上递增;‎ ‎ 当时,在上递减;在上递增。‎ ‎(2)(方法一)由题意,得:‎ 又对任意的都有>0,‎ 所以对任意的都有,在上递增。‎ 又。‎ 当时,,且,‎ ‎ ‎ 综合以上讨论,得:所求的取值范围是(0,1)。‎ ‎(方法二)由题设知,的导函数,其中函数对于任意的都成立。所以,当时,,从而在区间上单调递增。‎ ‎①当时,有,‎ ‎,得,同理可得,所以由的单调性知、,‎ 从而有||<||,符合题设。‎ ‎②当时,,‎ ‎,于是由及的单调性知,所以||≥||,与题设不符。‎ ‎③当时,同理可得,进而得||≥||,与题设不符。‎ 因此综合①、②、③得所求的的取值范围是(0,1)。‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答。若多做,则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ A. 选修4-1:几何证明选讲 ‎(本小题满分10分)‎ AB是圆O的直径,D为圆O上一点,过D作圆O的切线交AB延长线于点C,若DA=DC,求证:AB=2BC。‎ ‎[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证能力。‎ ‎(方法一)证明:连结OD,则:OD⊥DC, ‎ 又OA=OD,DA=DC,所以∠DAO=∠ODA=∠DCO, ‎ ‎∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO,‎ 所以∠DCO=300,∠DOC=600,‎ 所以OC=2OD,即OB=BC=OD=OA,所以AB=2BC。‎ ‎(方法二)证明:连结OD、BD。‎ 因为AB是圆O的直径,所以∠ADB=900,AB=2 OB。‎ 因为DC 是圆O的切线,所以∠CDO=900。‎ 又因为DA=DC,所以∠DAC=∠DCA,‎ 于是△ADB≌△CDO,从而AB=CO。‎ 即2OB=OB+BC,得OB=BC。‎ 故AB=2BC。‎ B. 选修4-2:矩阵与变换 ‎(本小题满分10分)‎ 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。设k为非零实数,矩阵M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1,△A1B‎1C1的面积是△ABC面积的2倍,求k的值。‎ ‎[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点,考查运算求解能力。满分10分。‎ 解:由题设得 由,可知A1(0,0)、B1(0,-2)、C1(,-2)。‎ 计算得△ABC面积的面积是1,△A1B‎1C1的面积是,则由题设知:。‎ 所以k的值为2或-2。‎ A. 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎(本小题满分10分)‎ 在极坐标系中,已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值。‎ ‎[解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识,考查转化问题的能力。满分10分。‎ 解:,圆ρ=2cosθ的普通方程为:,‎ 直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为:,‎ 又圆与直线相切,所以解得:,或。‎ B. 选修4-5:不等式选讲 ‎(本小题满分10分)‎ 设a、b是非负实数,求证:。‎ ‎[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证的能力。满分10分。‎ ‎(方法一)证明:‎ 因为实数a、b≥0,‎ 所以上式≥0。即有。‎ ‎(方法二)证明:由a、b是非负实数,作差得 当时,,从而,得;‎ 当时,,从而,得;‎ 所以。‎ ‎[必做题]第22题、第23题,每题10分,共计20分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ 22、 ‎(本小题满分10分)‎ 某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为80%,二等品率为20%;乙产品的一等品率为90%,二等品率为10%。生产1件甲产品,若是一等品则获得利润4万元,若是二等品则亏损1万元;生产1件乙产品,若是一等品则获得利润6万元,若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。‎ (1) 记X(单位:万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润,求X的分布列;‎ (2) 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。‎ ‎[解析] 本题主要考查概率的有关知识,考查运算求解能力。满分10分。‎ 解:(1)由题设知,X的可能取值为10,5,2,-3,且 ‎ P(X=10)=0.8×0.9=0.72, P(X=5)=0.2×0.9=0.18,‎ ‎ P(X=2)=0.8×0.1=0.08, P(X=-3)=0.2×0.1=0.02。‎ ‎ 由此得X的分布列为:‎ X ‎10‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎-3‎ P ‎0.72‎ ‎0.18‎ ‎0.08‎ ‎0.02‎ ‎(2)设生产的4件甲产品中一等品有件,则二等品有件。‎ ‎ 由题设知,解得,‎ ‎ 又,得,或。‎ 所求概率为 答:生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。‎ 23、 ‎(本小题满分10分)‎ 已知△ABC的三边长都是有理数。‎ (1) 求证cosA是有理数;(2)求证:对任意正整数n,cosnA是有理数。‎ ‎[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识,考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。‎ ‎(方法一)(1)证明:设三边长分别为,,∵是有理数,‎ 是有理数,分母为正有理数,又有理数集对于除法的具有封闭性,‎ ‎∴必为有理数,∴cosA是有理数。‎ ‎(2)①当时,显然cosA是有理数;‎ 当时,∵,因为cosA是有理数, ∴也是有理数;‎ ‎②假设当时,结论成立,即coskA、均是有理数。‎ 当时,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 解得:‎ ‎∵cosA,,均是有理数,∴是有理数,‎ ‎∴是有理数。‎ 即当时,结论成立。‎ 综上所述,对于任意正整数n,cosnA是有理数。‎ ‎(方法二)证明:(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知 是有理数。‎ ‎(2)用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。‎ ‎①当时,由(1)知是有理数,从而有也是有理数。‎ ‎②假设当时,和都是有理数。‎ 当时,由,‎ ‎,‎ 及①和归纳假设,知和都是有理数。‎ 即当时,结论成立。‎ 综合①、②可知,对任意正整数n,cosnA是有理数。‎