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- 2021-05-13 发布
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步骤规范练——立体几何
(建议用时:90分钟)
一、填空题
1.若圆锥的母线长为2 cm,底面圆的周长为2π cm,则圆锥的体积为________cm3.
解析 设圆锥底面半径为r,则由2πr=2π,得r=1,所以圆锥高为h==,从而体积为V=·π·=π.
答案 π
2.(2013·豫西五校联考)如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,A,B,C是展开图上的三点,则在正方体盒子中,∠ABC的值为________.
解析 还原正方体,如图所示,连接AB,BC,AC,可得△ABC是正三角形,则∠ABC=60°.
答案 60°
3.设m,n是平面α内的两条不同直线;l1,l2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分而不必要条件是________.
解析 由于l1与l2是相交直线,而且由l1∥m可得l1∥α,同理可得l2∥α故可得α∥β,充分性成立,而由α∥β不一定能得到l1∥m,它们也可以异面,故必要性不成立,故填m∥l1,且n∥l2.
答案 m∥l1且n∥l2
4.若直线m⊂平面α,则条件甲:直线l∥α是条件乙:l∥m
的________条件.
解析 若l∥α,m⊂α,不一定有l∥m;若l∥m,m⊂α则α,l⊂α或l∥α.因而甲乙,乙甲.
答案 既不充分也不必要
5.已知α、β是两个不同的平面,直线a⊂α,直线b⊂β,命题p:a与b没有公共点,命题q:α∥β,则p是q的________条件.
解析 当a,b都平行于α与β的交线时,a与b无公共点,但α与β相交.当α∥β时,a与b一定无公共点,所以q⇒p,但p q.
答案 必要不充分
6.已知平面α,β和直线m,给出条件:①m∥α;②m⊥α;③m⊂α;④α⊥β;⑤α∥β.当满足条件________时,有m⊥β(填序号).
解析 利用一条直线垂直两平行平面中的一个平面必垂直另一个平面.
答案 ②⑤
7.设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则对于下列条件:①a⊥c,b⊥c;②α⊥β,a⊂α,b⊂β;③a⊥α,b∥α;④a⊥α,b⊥α,其中是a⊥b的一个充分不必要条件的是________.
解析 若a⊥α,b∥α,则a⊥b,反之显然不成立,故应填③.
答案 ③
8.如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合于点P,则三棱锥PDCE外接球的体积为________.
解析 由题意,折叠后的三棱锥P DCE为正四面体,且棱长为1,以此正四面体构作正方体,则此正方体棱长为,正四面体外接球恰为该正方体外接球,直径2R=×=,故V球=R3=×3=.
答案
9.(2014·合肥一模)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则下列结论不成立的是________.
①EF与BB1垂直;②EF与BD垂直;③EF与CD异面;④EF与A1C1异面.
解析 连接B1C,AC,则B1C交BC1于F,且F为B1C的中点,又E为AB1的中点,所以EF綉AC,
而B1B⊥平面ABCD,所以B1B⊥AC,
所以B1B⊥EF,①正确;
又AC⊥BD,所以EF⊥BD,②正确;
显然EF与CD异面,③正确;由EF綉AC,AC∥A1C1,
得EF∥A1C1.故不成立的为④.
答案 ④
10.(2014·江苏城贤中学月考)正三棱锥SABC中,BC=2,SB=,D、E分别是棱SA、SB上的点,Q为边AB的中点,SQ⊥平面CDE,则三角形CDE的面积为________.
解析 如图,设SQ与DE交于点F,连接CF,CQ,∵SQ⊥面CDE,
CF⊂面CDE
∴SQ⊥CF
∵Q为AB中点,SA=SB,AC=BC
∴AB⊥SQ,AB⊥CQ
∴AB⊥面SQC,∴AB⊥CF
∴CF⊥面SAB,∴CF⊥DE
∴CF为△CDE的高,DE∥AB
∵BC=2,SB=,正三棱锥SABC
∴CQ=,SQ=,SC=QC;
∴F为SQ中点,
∴DE=AB=1
CF===
∴S△CDE=×1×=.
答案
11.设α,β为两个不重合的平面,m,n为两条不重合的直线,给出下列四个命题:
①若m⊥n,m⊥α,n⊄α,则n∥α;
②若α⊥β,α∩β=m,n⊂α,n⊥m,则n⊥β;
③若m⊥n,m∥α,n∥β,则α⊥β;
④若n⊂α,m⊂β,α与β相交且不垂直,则n与m不垂直.其中,所有真命题的序号是________.
解析 ③α,β可以平行,所以错误;④n与m可以垂直,所以错误.
答案 ①②
12.(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为________.
解析 如图,设截面小圆的半径为r,球的半径为R,因为AH∶HB=1∶2,所以OH=R.由勾股定理,有R2=r2+OH2,又由题意得πr2=π,则r=1,故R2=1+2,即R2=.由球的表面积公式,得S=4πR2=.
答案
13.正六棱锥P-ABCDEF中,G为PB的中点,设三棱锥
D-GAC的体积为V1,三棱锥P-GAC体积为V2,则V1∶V2=________.
解析 设棱锥的高为h,
V1=VD-GAC=VG-ADC=S△ADC·h,
V2=VP-GAC=VP-ABC=VG-ABC=S△ABC·.
又S△ADC∶S△ABC=2∶1,故V1∶V2=2∶1.
答案 2∶1
二、解答题
14.(2014·济南一模)在如图的多面体中,AE⊥底面BEFC,AD∥EF∥BC,BE=AD=EF=BC,G是BC的中点.
(1)求证:AB∥平面DEG;
(2)求证:EG⊥平面BDF.
证明 (1)∵AD∥EF,EF∥BC,∴AD∥BC.
又∵BC=2AD,G是BC的中点,∴AD綉BG,
∴四边形ADGB是平行四边形,∴AB∥DG.
∵AB⊄平面DEG,DG⊂平面DEG,∴AB∥平面DEG.
(2)连接GF,四边形ADFE是矩形,
∵DF∥AE,AE⊥底面BEFC,
∴DF⊥平面BCFE,EG⊂平面BCFE,∴DF⊥EG.
∵EF綉BG,EF=BE,
∴四边形BGFE为菱形,
∴BF⊥EG,
又BF∩DF=F,BF⊂平面BFD,DF⊂平面BFD,
∴EG⊥平面BDF.
15.(2014·成都一模)如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,△ABF是等边三角形,棱EF∥BC,且EF=BC.
(1)求证:EO∥面ABF;
(2)若EF=EO,证明:平面EFO⊥平面ABE.
证明 (1)取AB的中点M,连接FM,OM.
∵O为矩形ABCD的对角线的交点,
∴OM∥BC,且OM=BC,
又EF∥BC,且EF=BC,
∴OM=EF,且OM∥EF,
∴四边形EFMO为平行四边形,∴EO∥FM,
又∵FM⊂平面ABF,EO⊄平面ABF,
∴EO∥平面ABF.
(2)由(1)知四边形EFMO为平行四边形,
又∵EF=EO,∴四边形EFMO为菱形,连接EM,则有FO⊥EM,
又∵△ABF是等边三角形,且M为AB中点,
∴FM⊥AB,易知MO⊥AB,且MO∩MF=M,
∴AB⊥面EFMO,又FO⊂面EFMO,
∴AB⊥FO.∵AB∩EM=M,∴FO⊥平面ABE.
又∵FO⊂平面EFO,∴平面EFO⊥平面ABE.
16.(2013·安徽卷)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,
∠BAD=60°.已知PB=PD=2,PA=.
(1)证明:PC⊥BD;
(2)若E为PA的中点,求三棱锥P-BCE的体积.
(1)证明 连接AC,交BD于O点,连接PO.
因为底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD,BO=DO.
由PB=PD知,PO⊥BD.再由PO∩AC=O知,BD⊥面APC.因此BD⊥PC.
(2)解 因为E是PA的中点,
所以VP-BCE=VC-PEB=VC-PAB=VB-APC.
由PB=PD=AB=AD=2知,△ABD≌△PBD.
因为∠BAD=60°,
所以PO=AO=,AC=2,BO=1.又PA=,
所以PO2+AO2=PA2,即PO⊥AC.
故S△APC=PO·AC=3.
由(1)知,BO⊥面APC,因此VP-BCE=VB-APC=×·BO·S△APC=.
17.(2013·广东卷)如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起,得到如图2所示的三棱锥ABCF,其中BC=.
(1)证明:DE∥平面BCF;
(2)证明:CF⊥平面ABF;
(3)当AD=时,求三棱锥F-DEG的体积VFDEG.
(1)证明 在等边△ABC中,AD=AE,
在折叠后的图形中,仍有AD=AE,AB=AC,
因此=,从而DE∥BC.
因为DE⊄平面BCF,BC⊂平面BCF,
所以DE∥平面BCF.
(2)证明 在折叠前的图形中,因为△ABC为等边三角形,BF=CF,所以AF⊥BC,则在折叠后的图形中,AF⊥BF,AF⊥CF,又BF=CF=,BC=.,
所以BC2=BF2+CF2,所以 BF⊥CF.
又BF∩AF=F,BF⊂平面ABF,AF⊂平面ABF,
所以CF⊥平面ABF.
(3)解 由(1)知,平面DEG∥平面BCF,
由(2)知AF⊥BF,AF⊥CF,
又BF∩CF=F,所以AF⊥平面BCF,
所以AF⊥平面DEG,即GF⊥平面DEG.
在折叠前的图形中,
AB=1,BF=CF=,AF=.
由AD=知=,
又DG∥BF,所以===,
所以DG=EG=×=,AG=×=,
所以FG=AF-AG=.故V三棱锥FDEG=V三棱锥EDFG
=×DG·FG·GE=·2·=.