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  • 2021-05-13 发布

高考试题分类汇编数学(理科)之专题_数列(word解析版)

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‎2011年高考试题数学(理科)‎ 数列 一、选择题:‎ ‎1. (2011年高考天津卷理科4)已知为等差数列,其公差为-2,且是与的等比中项,为的前n项和,,则的值为 A.-110B.‎-90‎C.90D.110‎ 已知为等差数列,其公差为-2,且是与的等比中项,‎ 为的前项和,,则的值为 A.-110B.‎-90‎C.90D.110‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】∵,∴,解之得,‎ ‎∴.‎ ‎2. (2011年高考江西卷理科5)已知数列的前项和满足:,且,那么 ( )‎ ‎ A. 1 B. ‎9 C. 10 D. 55‎ 答案:A ‎ 解析:‎ ‎,,‎ ‎,则 ‎(A)8 (B)7 (C)6 (D)5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 故选D。‎ ‎5.(2011年高考上海卷理科18)设是各项为正数的无穷数列,是边长为的矩形面积(),则为等比数列的充要条件为( )‎ ‎ A.是等比数列。 ‎ ‎ B.或是等比数列。‎ ‎ C.和均是等比数列。‎ ‎ D.和均是等比数列,且公比相同。‎ ‎【命题意图】本题考查等比数列的概念及充要条件的判断问题,难度较大.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知=,‎ 若是等比数列,则==为非0常数,即=,=,……,‎ ‎∴和成等比数列,且公比相等;‎ 反之,若奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相等,设为,则==,则是等比数列,故选D.‎ 二、填空题 ‎1. (2011年高考广东卷理科12)设是等差数列的前项和,且,则 答案:25‎ 解析:由可得,所以。‎ ‎2. (2011年高考广东卷理科11)等差数列前9项的和等于前4项的和.若 ‎,则.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】由题得 ‎3. (2011年高考湖北卷理科13)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自下而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共‎3升,下面3节的容积共‎4升,则第5节的容积为升 答案:‎ 解析:设从上往下的9节竹子的容积依次为a1,a2,,……,a9,公差为d,则有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即‎4a5-10d=3,‎3a5+9d=4,联立解得:.即第5节竹子的容积.‎ ‎4.(2011年高考陕西卷理科14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距‎10米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为(米)。‎ ‎【答案】2000‎ ‎【解析】设树苗集中放置在第号坑旁边,则20名同学返所走的路程总和为 ‎=即时.‎ ‎5.(2011年高考重庆卷理科11)在等差数列中,,则 解析:74. ,故 ‎6.(2011年高考江苏卷13)设,其中成公比为q的等比数列,成公差为1的等差数列,则q的最小值是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】考察综合运用等差、等比的概念及通项公式,不等式的性质解决问题的能力,难题。‎ 由题意:,‎ ‎,而的最小值分别为1,2,3;。‎ ‎7.(2011年高考北京卷理科11)在等比数列{an}中,a1=,a4=-4,则公比q=______________;____________。‎ ‎【答案】—2 ‎ 三、解答题:‎ ‎1. (2011年高考山东卷理科20)(本小题满分12分)‎ 等比数列中,分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且中的任何两个数不在下表的同一列.‎ 第一列 第二列 第三列 第一行 ‎3‎ ‎2‎ ‎10‎ 第二行 ‎6‎ ‎4‎ ‎14‎ 第三行 ‎9‎ ‎8‎ ‎18‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若数列满足:,求数列的前项和.‎ ‎【解析】(I)当时,不合题意;‎ 当时,当且仅当时,符合题意;‎ 当时,不合题意。‎ 因此 所以公式q=3,‎ 故 ‎ (II)因为 所以 ‎ 所以 当n为偶数时,‎ 当n为奇数时,‎ 综上所述,‎ ‎2.(2011年高考辽宁卷理科17)(本小题满分12分)‎ ‎ 已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8= -10‎ ‎ (I)求数列{an}的通项公式;‎ ‎ (II)求数列的前n项和.‎ ‎(I)设等差数列的公差为d,由已知条件可得 解得 故数列的通项公式为 ………………5分 ‎ (II)设数列,即,‎ 所以,当时,‎ 所以 综上,数列 ‎3.(2011年高考浙江卷理科19)(本题满分14分)已知公差不为0的等差数列的首项 (),设数列的前n项和为,且,,成等比数列(Ⅰ)求数列的通项公式及(Ⅱ)记,,当时,试比较与的大小.[‎ ‎【解析】(Ⅰ)‎ ‎ 则 ,‎ ‎(Ⅱ)‎ 因为,所以 当时,即;‎ 所以当时,;当时, .‎ ‎4.(2011年高考安徽卷理科18)(本小题满分13分)‎ 在数1和100之间插入个实数,使得这个数构成递增的等比数列,将这个数的乘积记作,再令.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设求数列的前项和.‎ ‎【命题意图】:本题考查等比和等差数列,指数和对数运算,两角差的正切公式等基本知识,考查灵活运用知识解决问题的能力,综合运算能力和创新思维能力。‎ ‎【解析】:(Ⅰ)构成递增的等比数列,其中,,则 ①‎ ②‎ ①×②并利用等比数列性质得 ‎,‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,‎ 又 所以数列的前项和为 ‎【解题指导】:做数列题时应优先运用数列的相关性质,本题考查的是等比数列前n项积,自然想到等比数列性质:,倒序相乘法是借鉴倒序相加法得到的,这样处理就避免了对n奇偶性的讨论。‎ 第二问的数列求和应联想常规的方法:倒序相加法,错位相减法,裂项相消法。而出现时自然应该联想正切的和角或差角公式。本题只要将这两个知识点有机结合起来就可以创造性的把问题解决。‎ ‎5.(2011年高考全国新课标卷理科17)(本小题满分12分)‎ 等比数列的各项均为正数,且 ‎(1)求数列的通项公式.‎ ‎(2)设求数列的前项和.‎ 分析:(1)先求首项和公比,后求通项(2)可以先求出,然后得新数列通项后再求和 解析:(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,由得所以。‎ 由条件可知a>0,故。‎ 由得,所以。‎ 故数列{an}的通项式为an=。‎ ‎(Ⅱ )‎ 故 所以数列的前n项和为 点评:本题考查等比数列通项公式,性质、等差数列前项和,对数运算以及数列求和(列项求和)与数列综合能力的考查。解答过程要细心,公式性质要灵活运用。‎ ‎6. (2011年高考天津卷理科20)(本小题满分14分)‎ 已知数列与满足:,,且.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)设,证明:是等比数列;‎ ‎(Ⅲ)设证明:.‎ ‎【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.‎ ‎(Ⅰ)解:由,,可得, 又 当n=1时,,由,,得;‎ 当n=2时,,可得.‎ 当n=3时,,可得.‎ ‎(Ⅱ)证明:对任意,‎ ‎,①‎ ‎,②‎ ‎,③‎ ‎②-③得 ④,‎ 将④代入①,可得即(),又,‎ 故,因此,所以是等比数列.‎ ‎(III)证明:由(II)可得,‎ 于是,对任意,有 将以上各式相加,得 即,‎ 此式当k=1时也成立.由④式得 从而 所以,对任意,‎ 对于n=1,不等式显然成立.‎ 所以,对任意 ‎7. (2011年高考江西卷理科18)(本小题满分12分)‎ 已知两个等比数列,,满足,,,.‎ ‎(1)若,求数列的通项公式;‎ ‎(2)若数列唯一,求的值.‎ ‎.解:(1)当a=1时,,又为等比数列,不妨设公比为,由等比数列性质知: ,同时又有 所以:‎ ‎(2)要唯一,当公比时,由且, ‎ ‎,最少有一个根(有两个根时,保证仅有一个正根)‎ ‎,此时满足条件的a有无数多个,不符合。‎ 当公比时,等比数列首项为a,其余各项均为常数0,唯一,此时由,可推得符合 综上:。‎ ‎8. (2011年高考湖南卷理科16)对于,将表示为,当时,‎ ‎,当时,为或.记为上述表示中为的个数(例如:,‎ ‎,故,),则(1);(2).‎ 答案:2; 1093‎ 解析:(1)由题意知,所以2;‎ ‎(2)通过例举可知:,,,,,,,‎ ‎,且相邻之间的整数的个数有0,1,3,7,15,31,63.它们正好满足“杨辉三角”中的规律:‎ 从而 ‎.‎ 评析:本小题主要考查学生的阅读理解能力、探究问题能力和创新意识.以二进制为知识背景,着重考查等比数列求和以及“杨辉三角”中的规律的理解和运用.‎ ‎9. (2011年高考广东卷理科20)设数列满足,‎ (1) 求数列的通项公式;‎ (2) 证明:对于一切正整数n,‎ ‎【解析】(1)由 ‎ 令,‎ ‎ 当 ‎①当时,‎ ‎②当 ‎ (2)当时,(欲证)‎ ‎,‎ ‎ 当 ‎ 综上所述 ‎10. (2011年高考湖北卷理科19)(本小题满分13分)‎ 已知数列的前n项和为,且满足:‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若存在,使得成等差数列,试判断:对于任意的,且,‎ 是否成等差数列,并证明你的结论.‎ 本小题主要考查等差数列、等比数列基础知识,同时考查推理论证能力,以及特殊与一般的思想.‎ 解析:‎ ‎(Ⅰ)由已知,可得,两式相减可得 即又,所以当时,数列为:;‎ 当时,由已知,所以 于是由,可得,‎ 成等比数列,‎ 当时,‎ 综上,数列的通项公式为 ‎(Ⅱ)对于任意的,且成等差数列,证明如下:‎ 当r=0时,由(Ⅰ)知,‎ ‎∴对于任意的,且成等差数列;‎ 当时,‎ 若存在,使得成等差数列,则,‎ 即,‎ 由(Ⅰ)知,的公比r+1=—2,于是对于任意的,且,从而,,‎ 即成等差数列.‎ 综上,对于任意的,且成等差数列.‎ ‎11.(2011年高考重庆卷理科21)(本小题满分12分。(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)‎ ‎ 设实数数列的前n项和满足 ‎ (Ⅰ)若成等比数列,求和 ‎(Ⅱ)求证:对有。‎ 解析:(Ⅰ)由题意,得,‎ 由是等比中项知,因此,‎ 由,解得,‎ ‎ (Ⅱ)证明:有题设条件有,‎ 故,且 从而对有①‎ 因,且,‎ 要证,由①,只要证 即证,即,此式明显成立,‎ 因此。‎ 最后证,,若不然,,‎ 又因,故,即。矛盾,‎ ‎12.(2011年高考四川卷理科20) (本小题共12分)‎ ‎ 设d为非零实数,an = [C1n d+2Cn2d2+…+(n—1)Cnn-1d n-1+nCnndn](n∈N*).‎ (I) 写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列.若是,给出证明;若不是,说明理由;‎ ‎(II)设bn=ndan (n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解析:(1)‎ 因为为常数,所以是以为首项,为公比的等比数列。‎ ‎(2)‎ ‎(2)(1)‎ ‎13.(2011年高考全国卷理科20)设数列满足且 ‎(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)设 ‎【解析】:(Ⅰ)由得,‎ 前项为,‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎14.(2011年高考江苏卷20)设M为部分正整数组成的集合,数列的首项,前n项和为,已知对任意整数k属于M,当n>k时,都成立 ‎(1)设M={1},,求的值;‎ ‎(2)设M={3,4},求数列的通项公式 ‎【解析】考察等差数列概念、和与通项关系、集合概念、转化与化归、分析问题与解决问题的能力,其中(1)是容易题,(2)是难题。‎ ‎(1)即:‎ 所以,n>1时,成等差,而,‎ ‎(2)由题意:,‎ 当时,由(1)(2)得:‎ 由(3)(4)得: ‎ 由(1)(3)得:‎ 由(2)(4)得:‎ 由(7)(8)知:成等差,成等差;设公差分别为:‎ 由(5)(6)得:‎ 由(9)(10)得:成等差,设公差为d,‎ 在(1)(2)中分别取n=4,n=5得:‎ ‎15.(2011年高考江苏卷23)(本小题满分10分)‎ ‎ 设整数,是平面直角坐标系中的点,其中 ‎ (1)记为满足的点的个数,求;‎ ‎(2)记为满足是整数的点的个数,求 解析:考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力,较难题。‎ ‎(1)因为满足的每一组解构成一个点P,所以。‎ ‎(2)设,则 对每一个k对应的解数为:n-3k,构成以3为公差的等差数列;‎ 当n-1被3整除时,解数一共有:‎ 当n-1被3除余1时,解数一共有:‎ 当n-1被3除余2时,解数一共有:‎ ‎16.(2011年高考北京卷理科20)(本小题共13分)‎ ‎ 若数列满足,数列为数列,记=.‎ ‎ (Ⅰ)写出一个满足,且〉0的数列;‎ ‎ (Ⅱ)若,n=2000,证明:E数列是递增数列的充要条件是=2011;‎ ‎ (Ⅲ)对任意给定的整数n(n≥2),是否存在首项为0的E数列,使得=0?如果存在,写出一个满足条件的E数列;如果不存在,说明理由。‎ 解:(Ⅰ)0,1,2,1,0是一具满足条件的E数列A5。‎ ‎(答案不唯一,0,1,0,1,0也是一个满足条件的E的数列A5)‎ ‎(Ⅱ)必要性:因为E数列A5是递增数列,‎ 所以.‎ 所以A5是首项为12,公差为1的等差数列.‎ 所以a2000=12+(2000—1)×1=2011.‎ 充分性,由于a2000—a1000≤1,‎ a2000—a1000≤1‎ ‎……‎ a2—a1≤1‎ 所以a2000—a≤19999,即a2000≤a1+1999.‎ 又因为a1=12,a2000=2011,‎ ‎ 所以a2000=a1+1999.‎ ‎ 故是递增数列.‎ ‎ 综上,结论得证。‎ ‎ (Ⅲ)令 ‎ 因为 ‎……‎ 所以 因为 所以为偶数,‎ 所以要使为偶数,‎ 即4整除.‎ 当 时,有 当的项满足,‎ 当不能被4整除,此时不存在E数列An,‎ 使得 ‎17.(2011年高考福建卷理科16)(本小题满分13分)‎ 已知等比数列{an}的公比q=3,前3项和S3=。‎ ‎(I)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(II)若函数在处取得最大值,且最大值为a3,求函数f(x)的解析式。‎ 解:(I)由 解得 所以 ‎(II)由(I)可知 因为函数的最大值为3,所以A=3。‎ 因为当时取得最大值,‎ 所以 又 所以函数的解析式为 ‎18.(2011年高考上海卷理科22)(18分)已知数列和的通项公式分别为,(),将集合 中的元素从小到大依次排列,构成数列 ‎。‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)求证:在数列中.但不在数列中的项恰为;‎ ‎(3)求数列的通项公式。‎ 解:⑴;‎ ‎⑵① 任意,设,则,即 ‎② 假设(矛盾),∴‎ ‎∴ 在数列中.但不在数列中的项恰为。‎ ‎⑶,‎ ‎,,‎ ‎∵‎ ‎∴ 当时,依次有,……‎ ‎∴。‎