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- 2021-05-13 发布
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2011年高考试题数学(理科)
数列
一、选择题:
1. (2011年高考天津卷理科4)已知为等差数列,其公差为-2,且是与的等比中项,为的前n项和,,则的值为
A.-110B.-90C.90D.110
已知为等差数列,其公差为-2,且是与的等比中项,
为的前项和,,则的值为
A.-110B.-90C.90D.110
【答案】D.
【解析】∵,∴,解之得,
∴.
2. (2011年高考江西卷理科5)已知数列的前项和满足:,且,那么 ( )
A. 1 B. 9 C. 10 D. 55
答案:A
解析:
,,
,则
(A)8 (B)7 (C)6 (D)5
【答案】D
【解析】
故选D。
5.(2011年高考上海卷理科18)设是各项为正数的无穷数列,是边长为的矩形面积(),则为等比数列的充要条件为( )
A.是等比数列。
B.或是等比数列。
C.和均是等比数列。
D.和均是等比数列,且公比相同。
【命题意图】本题考查等比数列的概念及充要条件的判断问题,难度较大.
【答案】D
【解析】由题意知=,
若是等比数列,则==为非0常数,即=,=,……,
∴和成等比数列,且公比相等;
反之,若奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相等,设为,则==,则是等比数列,故选D.
二、填空题
1. (2011年高考广东卷理科12)设是等差数列的前项和,且,则
答案:25
解析:由可得,所以。
2. (2011年高考广东卷理科11)等差数列前9项的和等于前4项的和.若
,则.
【答案】10
【解析】由题得
3. (2011年高考湖北卷理科13)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自下而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为升
答案:
解析:设从上往下的9节竹子的容积依次为a1,a2,,……,a9,公差为d,则有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得:.即第5节竹子的容积.
4.(2011年高考陕西卷理科14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为(米)。
【答案】2000
【解析】设树苗集中放置在第号坑旁边,则20名同学返所走的路程总和为
=即时.
5.(2011年高考重庆卷理科11)在等差数列中,,则
解析:74. ,故
6.(2011年高考江苏卷13)设,其中成公比为q的等比数列,成公差为1的等差数列,则q的最小值是________
【答案】
【解析】考察综合运用等差、等比的概念及通项公式,不等式的性质解决问题的能力,难题。
由题意:,
,而的最小值分别为1,2,3;。
7.(2011年高考北京卷理科11)在等比数列{an}中,a1=,a4=-4,则公比q=______________;____________。
【答案】—2
三、解答题:
1. (2011年高考山东卷理科20)(本小题满分12分)
等比数列中,分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若数列满足:,求数列的前项和.
【解析】(I)当时,不合题意;
当时,当且仅当时,符合题意;
当时,不合题意。
因此
所以公式q=3,
故
(II)因为
所以
所以
当n为偶数时,
当n为奇数时,
综上所述,
2.(2011年高考辽宁卷理科17)(本小题满分12分)
已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8= -10
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)求数列的前n项和.
(I)设等差数列的公差为d,由已知条件可得
解得
故数列的通项公式为 ………………5分
(II)设数列,即,
所以,当时,
所以
综上,数列
3.(2011年高考浙江卷理科19)(本题满分14分)已知公差不为0的等差数列的首项 (),设数列的前n项和为,且,,成等比数列(Ⅰ)求数列的通项公式及(Ⅱ)记,,当时,试比较与的大小.[
【解析】(Ⅰ)
则 ,
(Ⅱ)
因为,所以
当时,即;
所以当时,;当时, .
4.(2011年高考安徽卷理科18)(本小题满分13分)
在数1和100之间插入个实数,使得这个数构成递增的等比数列,将这个数的乘积记作,再令.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设求数列的前项和.
【命题意图】:本题考查等比和等差数列,指数和对数运算,两角差的正切公式等基本知识,考查灵活运用知识解决问题的能力,综合运算能力和创新思维能力。
【解析】:(Ⅰ)构成递增的等比数列,其中,,则
①
②
①×②并利用等比数列性质得
,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
又
所以数列的前项和为
【解题指导】:做数列题时应优先运用数列的相关性质,本题考查的是等比数列前n项积,自然想到等比数列性质:,倒序相乘法是借鉴倒序相加法得到的,这样处理就避免了对n奇偶性的讨论。
第二问的数列求和应联想常规的方法:倒序相加法,错位相减法,裂项相消法。而出现时自然应该联想正切的和角或差角公式。本题只要将这两个知识点有机结合起来就可以创造性的把问题解决。
5.(2011年高考全国新课标卷理科17)(本小题满分12分)
等比数列的各项均为正数,且
(1)求数列的通项公式.
(2)设求数列的前项和.
分析:(1)先求首项和公比,后求通项(2)可以先求出,然后得新数列通项后再求和
解析:(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,由得所以。
由条件可知a>0,故。
由得,所以。
故数列{an}的通项式为an=。
(Ⅱ )
故
所以数列的前n项和为
点评:本题考查等比数列通项公式,性质、等差数列前项和,对数运算以及数列求和(列项求和)与数列综合能力的考查。解答过程要细心,公式性质要灵活运用。
6. (2011年高考天津卷理科20)(本小题满分14分)
已知数列与满足:,,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设,证明:是等比数列;
(Ⅲ)设证明:.
【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.
(Ⅰ)解:由,,可得, 又
当n=1时,,由,,得;
当n=2时,,可得.
当n=3时,,可得.
(Ⅱ)证明:对任意,
,①
,②
,③
②-③得 ④,
将④代入①,可得即(),又,
故,因此,所以是等比数列.
(III)证明:由(II)可得,
于是,对任意,有
将以上各式相加,得
即,
此式当k=1时也成立.由④式得
从而
所以,对任意,
对于n=1,不等式显然成立.
所以,对任意
7. (2011年高考江西卷理科18)(本小题满分12分)
已知两个等比数列,,满足,,,.
(1)若,求数列的通项公式;
(2)若数列唯一,求的值.
.解:(1)当a=1时,,又为等比数列,不妨设公比为,由等比数列性质知: ,同时又有
所以:
(2)要唯一,当公比时,由且,
,最少有一个根(有两个根时,保证仅有一个正根)
,此时满足条件的a有无数多个,不符合。
当公比时,等比数列首项为a,其余各项均为常数0,唯一,此时由,可推得符合
综上:。
8. (2011年高考湖南卷理科16)对于,将表示为,当时,
,当时,为或.记为上述表示中为的个数(例如:,
,故,),则(1);(2).
答案:2; 1093
解析:(1)由题意知,所以2;
(2)通过例举可知:,,,,,,,
,且相邻之间的整数的个数有0,1,3,7,15,31,63.它们正好满足“杨辉三角”中的规律:
从而
.
评析:本小题主要考查学生的阅读理解能力、探究问题能力和创新意识.以二进制为知识背景,着重考查等比数列求和以及“杨辉三角”中的规律的理解和运用.
9. (2011年高考广东卷理科20)设数列满足,
(1) 求数列的通项公式;
(2) 证明:对于一切正整数n,
【解析】(1)由
令,
当
①当时,
②当
(2)当时,(欲证)
,
当
综上所述
10. (2011年高考湖北卷理科19)(本小题满分13分)
已知数列的前n项和为,且满足:
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若存在,使得成等差数列,试判断:对于任意的,且,
是否成等差数列,并证明你的结论.
本小题主要考查等差数列、等比数列基础知识,同时考查推理论证能力,以及特殊与一般的思想.
解析:
(Ⅰ)由已知,可得,两式相减可得
即又,所以当时,数列为:;
当时,由已知,所以
于是由,可得,
成等比数列,
当时,
综上,数列的通项公式为
(Ⅱ)对于任意的,且成等差数列,证明如下:
当r=0时,由(Ⅰ)知,
∴对于任意的,且成等差数列;
当时,
若存在,使得成等差数列,则,
即,
由(Ⅰ)知,的公比r+1=—2,于是对于任意的,且,从而,,
即成等差数列.
综上,对于任意的,且成等差数列.
11.(2011年高考重庆卷理科21)(本小题满分12分。(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)
设实数数列的前n项和满足
(Ⅰ)若成等比数列,求和
(Ⅱ)求证:对有。
解析:(Ⅰ)由题意,得,
由是等比中项知,因此,
由,解得,
(Ⅱ)证明:有题设条件有,
故,且
从而对有①
因,且,
要证,由①,只要证
即证,即,此式明显成立,
因此。
最后证,,若不然,,
又因,故,即。矛盾,
12.(2011年高考四川卷理科20) (本小题共12分)
设d为非零实数,an = [C1n d+2Cn2d2+…+(n—1)Cnn-1d n-1+nCnndn](n∈N*).
(I) 写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列.若是,给出证明;若不是,说明理由;
(II)设bn=ndan (n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.
解析:(1)
因为为常数,所以是以为首项,为公比的等比数列。
(2)
(2)(1)
13.(2011年高考全国卷理科20)设数列满足且
(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)设
【解析】:(Ⅰ)由得,
前项为,
(Ⅱ)
14.(2011年高考江苏卷20)设M为部分正整数组成的集合,数列的首项,前n项和为,已知对任意整数k属于M,当n>k时,都成立
(1)设M={1},,求的值;
(2)设M={3,4},求数列的通项公式
【解析】考察等差数列概念、和与通项关系、集合概念、转化与化归、分析问题与解决问题的能力,其中(1)是容易题,(2)是难题。
(1)即:
所以,n>1时,成等差,而,
(2)由题意:,
当时,由(1)(2)得:
由(3)(4)得:
由(1)(3)得:
由(2)(4)得:
由(7)(8)知:成等差,成等差;设公差分别为:
由(5)(6)得:
由(9)(10)得:成等差,设公差为d,
在(1)(2)中分别取n=4,n=5得:
15.(2011年高考江苏卷23)(本小题满分10分)
设整数,是平面直角坐标系中的点,其中
(1)记为满足的点的个数,求;
(2)记为满足是整数的点的个数,求
解析:考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力,较难题。
(1)因为满足的每一组解构成一个点P,所以。
(2)设,则
对每一个k对应的解数为:n-3k,构成以3为公差的等差数列;
当n-1被3整除时,解数一共有:
当n-1被3除余1时,解数一共有:
当n-1被3除余2时,解数一共有:
16.(2011年高考北京卷理科20)(本小题共13分)
若数列满足,数列为数列,记=.
(Ⅰ)写出一个满足,且〉0的数列;
(Ⅱ)若,n=2000,证明:E数列是递增数列的充要条件是=2011;
(Ⅲ)对任意给定的整数n(n≥2),是否存在首项为0的E数列,使得=0?如果存在,写出一个满足条件的E数列;如果不存在,说明理由。
解:(Ⅰ)0,1,2,1,0是一具满足条件的E数列A5。
(答案不唯一,0,1,0,1,0也是一个满足条件的E的数列A5)
(Ⅱ)必要性:因为E数列A5是递增数列,
所以.
所以A5是首项为12,公差为1的等差数列.
所以a2000=12+(2000—1)×1=2011.
充分性,由于a2000—a1000≤1,
a2000—a1000≤1
……
a2—a1≤1
所以a2000—a≤19999,即a2000≤a1+1999.
又因为a1=12,a2000=2011,
所以a2000=a1+1999.
故是递增数列.
综上,结论得证。
(Ⅲ)令
因为
……
所以
因为
所以为偶数,
所以要使为偶数,
即4整除.
当
时,有
当的项满足,
当不能被4整除,此时不存在E数列An,
使得
17.(2011年高考福建卷理科16)(本小题满分13分)
已知等比数列{an}的公比q=3,前3项和S3=。
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)若函数在处取得最大值,且最大值为a3,求函数f(x)的解析式。
解:(I)由
解得
所以
(II)由(I)可知
因为函数的最大值为3,所以A=3。
因为当时取得最大值,
所以
又
所以函数的解析式为
18.(2011年高考上海卷理科22)(18分)已知数列和的通项公式分别为,(),将集合
中的元素从小到大依次排列,构成数列
。
(1)求;
(2)求证:在数列中.但不在数列中的项恰为;
(3)求数列的通项公式。
解:⑴;
⑵① 任意,设,则,即
② 假设(矛盾),∴
∴ 在数列中.但不在数列中的项恰为。
⑶,
,,
∵
∴ 当时,依次有,……
∴。