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  • 2021-05-13 发布

高考真题——理科数学天津卷

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‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理)(天津卷)‎ 一.选择题(共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)‎ ‎1.设全集为,集合,,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2.变量满足约束条件,则目标函数的最大值是( ) (A)6 (B)19 (C)21 (D)45‎ ‎3.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为20,则输出的值为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ ‎4.设,则“”是“”的( )‎ ‎(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎5.已知,,,则的大小关系为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎6.将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( )‎ ‎ (A)在区间上单调递增 (B)在区间上单调递减 ‎(C)在区间上单调递增 (D)在区间上单调递减 ‎7.已知双曲线的离心率为2,过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点。设到双曲线同一条渐近线的距离分别为,且,则双曲线的方程为( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎8.如图,在平面四边形中,,,,。若点为边上的动点,则( ) ‎ ‎(A) (B) (C) (D)3‎ 二.填空题(共6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎9.是虚数单位,复数 。‎ ‎10.在的展开式中,的系数为____________。‎ ‎11.已知正方体的棱长为1,除面外,该正方体其余各面的中心分别为点(如图),则四棱锥的体积为__________。‎ ‎12.已知圆的圆心为,直线 (为参数)与该圆相交于两点,则的面积为___________。‎ ‎13.已知,且,则的最小值为_____________。‎ ‎14.已知,函数。若关于的方程恰有2个互异的实数解,则的取值范围是______________。‎ 三.解答题(本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(本小题13分)在中,内角所对的边分别为。已知。⑴求角的大小;⑵设,,求和的值。‎ ‎16.(本小题13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为,现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查。⑴应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?⑵若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查。①用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量的分布列与数学期望;②设为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件发生的概率。‎ ‎17.(本小题13分)如图,且,,且,且,平面,‎ ‎。⑴若为的中点,为的中点,求证:‎ 平面;⑵求二面角的正弦值;⑶若点在线段上,且直线与平面所成的角为,求线段的长。 18.(本小题13分)设是等比数列,公比大于0,其前项和为,是等差数列。已知,,,。⑴求和的通项公式;⑵设数列的前项和为,①求;②证明:。‎ ‎19.(本小题14分)设椭圆的左焦点为,上顶点为。已知椭圆的离心率为,点的坐标为,且。⑴求椭圆的方程;⑵设直线:与椭圆在第一象限的交点为,且与直线交于点。若 (为原点),求的值。‎ ‎20.(本小题14分)已知函数,,其中。⑴求函数的单调区间;⑵若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行,证明:;⑶证明:当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线。‎ ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)解答 一.选择题 BCBAD ACA 二.填空题 9.;10.;11.;12.;13.;14.‎ ‎15.解:⑴由正弦定理可得,故由题可得,从而可得。又因为,所以;‎ ⑵由余弦定理可得,故。又,故 ‎。因,故,从而,,所以。‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎16.解:⑴由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人;‎ ⑵①的可能取值为,,所以,随机变量的分布列如右表所示,随机变量的数学期望 ‎;‎ ②设事件为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则,且与互斥,由①知,,,故所求概率。‎ ‎17.解:依题意,可以建立以为原点,分别以的方向为轴的正方向的空间直角坐标系(如图),可得,,,,,,,,。‎ ⑴由题,。设是平面的法向量,则,即,取得。又 ‎,故。又因为直线平面,所以平面; ‎ ⑵由题,,。设是平面的法向量,则,即,取得。设是平面的法向量,则,即,取得。故,从而,所以二面角的正弦值为;‎ ⑶设线段的长为,则,故。易知,为平面的一个法向量,故。由题意得,解得。所以线段的长为。‎ ‎18.解:⑴设的公比为,的公差为。则由得,因,故,从而。由得,解得,故。所以;‎ ⑵①由⑴知,故;‎ ②因,故 ‎。‎ ‎19.解:⑴设椭圆的焦距为,由已知知,又由,可得。由已知可得,,,而,故,从而。所以,椭圆的方程为;‎ ⑵设,,则。又 ‎,且,故,可得。由消去可得。易知:,由消去可得。因,故,整理得,解得或。‎ ‎0‎ ‎0‎ 极小值 ‎20.解:⑴由题,故。令得,由知当x变化时,,的变化情况如右表所示。故函数的单调递减区间为,单调递增区间为;‎ ⑵由可知曲线在点处的切线斜率为,由可知曲线在点处的切线斜率为。因这两条切线平行,故,即。两边取对数得,所以;‎ ⑶曲线在点处的切线:,曲线在点处的切线:。要证明当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线,只需证明当时,存在,,使得和重合。即只需证明当时,方程组有解。由方程组消去得,因此,只需证明当时,关于的方程存在实数解。设,则要证明当时,函数存在零点。因为,所以时,时单调递减。又,‎ ‎,故存在唯一的,使得,即。因此在上单增,在上单减。在处取得极大值。因,故,所以。下面证明存在实数,使得。由⑴得,当时,有 ‎。所以存在实数,使得。因此,当时,存在,使得。所以,当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线。‎