高考真题——理科数学天津卷 7页

‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（天津卷）‎ 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）‎ ‎1．设全集为，集合，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2．变量满足约束条件，则目标函数的最大值是（ ） （A）6 （B）19 （C）21 （D）45‎ ‎3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎4．设，则“”是“”的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎5．已知，，，则的大小关系为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）‎ ‎ （A）在区间上单调递增 （B）在区间上单调递减 ‎（C）在区间上单调递增 （D）在区间上单调递减 ‎7．已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点。设到双曲线同一条渐近线的距离分别为，且，则双曲线的方程为（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎8．如图，在平面四边形中，，，，。若点为边上的动点，则（ ） ‎ ‎（A） （B） （C） （D）3‎ 二．填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9．是虚数单位，复数 。‎ ‎10．在的展开式中，的系数为____________。‎ ‎11．已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点(如图)，则四棱锥的体积为__________。‎ ‎12．已知圆的圆心为，直线 (为参数)与该圆相交于两点，则的面积为___________。‎ ‎13．已知，且，则的最小值为_____________。‎ ‎14．已知，函数。若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________。‎ 三．解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎15．（本小题13分）在中，内角所对的边分别为。已知。⑴求角的大小；⑵设，，求和的值。‎ ‎16．（本小题13分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查。⑴应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？⑵若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查。①用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望；②设为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件发生的概率。‎ ‎17．（本小题13分）如图，且，，且，且，平面，‎ ‎。⑴若为的中点，为的中点，求证：‎ 平面；⑵求二面角的正弦值；⑶若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长。 18．（本小题13分）设是等比数列，公比大于0，其前项和为，是等差数列。已知，，，。⑴求和的通项公式；⑵设数列的前项和为，①求；②证明：。‎ ‎19．（本小题14分）设椭圆的左焦点为，上顶点为。已知椭圆的离心率为，点的坐标为，且。⑴求椭圆的方程；⑵设直线：与椭圆在第一象限的交点为，且与直线交于点。若 (为原点)，求的值。‎ ‎20．（本小题14分）已知函数，，其中。⑴求函数的单调区间；⑵若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明：；⑶证明：当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线。‎ ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）解答 一．选择题 BCBAD ACA 二．填空题 9．；10．；11．；12．；13．；14．‎ ‎15．解：⑴由正弦定理可得，故由题可得，从而可得。又因为，所以；‎ ⑵由余弦定理可得，故。又，故 ‎。因，故，从而，，所以。‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎16．解：⑴由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人；‎ ⑵①的可能取值为，，所以，随机变量的分布列如右表所示，随机变量的数学期望 ‎；‎ ②设事件为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则，且与互斥，由①知，，，故所求概率。‎ ‎17．解：依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得，，，，，，，，。‎ ⑴由题，。设是平面的法向量，则，即，取得。又 ‎，故。又因为直线平面，所以平面； ‎ ⑵由题，，。设是平面的法向量，则，即，取得。设是平面的法向量，则，即，取得。故，从而，所以二面角的正弦值为；‎ ⑶设线段的长为，则，故。易知，为平面的一个法向量，故。由题意得，解得。所以线段的长为。‎ ‎18．解：⑴设的公比为，的公差为。则由得，因，故，从而。由得，解得，故。所以；‎ ⑵①由⑴知，故；‎ ②因，故 ‎。‎ ‎19．解：⑴设椭圆的焦距为，由已知知，又由，可得。由已知可得，，，而，故，从而。所以，椭圆的方程为；‎ ⑵设，，则。又 ‎，且，故，可得。由消去可得。易知：，由消去可得。因，故，整理得，解得或。‎ ‎0‎ ‎0‎ 极小值 ‎20．解：⑴由题，故。令得，由知当x变化时，，的变化情况如右表所示。故函数的单调递减区间为，单调递增区间为；‎ ⑵由可知曲线在点处的切线斜率为，由可知曲线在点处的切线斜率为。因这两条切线平行，故，即。两边取对数得，所以；‎ ⑶曲线在点处的切线：，曲线在点处的切线：。要证明当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得和重合。即只需证明当时，方程组有解。由方程组消去得，因此，只需证明当时，关于的方程存在实数解。设，则要证明当时，函数存在零点。因为，所以时，时单调递减。又，‎ ‎，故存在唯一的，使得，即。因此在上单增，在上单减。在处取得极大值。因，故，所以。下面证明存在实数，使得。由⑴得，当时，有 ‎。所以存在实数，使得。因此，当时，存在，使得。所以，当时，存在直线，使是曲线的切线，也是曲线的切线。‎