高考第一轮复习数学向量的概念向量的加法与减法实数与向量的积 21页

七．平面向量 ‎7.1 本章说明 充分认识平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，是数形结合的重要体现，因此，平面向量容易成为中学数学知识的一个交汇点。‎ ‎7.2基本知识储备：‎ ‎7.2.1基本概念 ‎1.向量的基本要素：大小和方向. ‎2.向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a；‎ 坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.因此向量可以分解为任意不共线的两个方向的向量之和。‎ ‎3.向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜. ‎4.特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O. 单位向量aO为单位向量｜aO｜＝1. ‎5.相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2） ‎6. 相反向量：a=-bb=-aa+b=0‎ ‎7.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量. ‎(1)平面向量基本定理 e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. ‎(2)两个向量平行的充要条件 a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝O. ‎(3)两个向量垂直的充要条件 a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y2＝O. ‎7.2.2 向量的运算 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质（坐标+几何）‎ 向量的 加法 ‎1.平行四边形法则 ‎2.三角形法则 向量的 减法 三角形法则 , 数 乘 向 量 ‎1.是一个向量,满足: ‎2.>0时, 同向;‎ <0时, 异向;‎ =0时, .‎ 向 量 的 数 量 积 是一个数 ‎1.时，‎ .‎ ‎2. ‎ 说明：1.加减法的几何表示 ‎2.运算性质运用时通常是代数与几何结合使用。‎ ‎3.向量的数量积：‎ ‎①a·b=|a||b|cosθ， ‎ 夹角公式：；‎ ‎ 平行：A||bb=λa ；‎ ‎ 垂直：ab(a0)a·b=0。‎ ‎②||cos称为在的方向上的投影，·的几何意义是：的长度||在的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。 ‎ ‎4. 向量的数量积与实数的积的相同点：‎ 实数的乘积 向量的数量积 运算的结果是一个实数 运算的结果是一个实数 交换律 分配律 ‎ 且 ‎ |‎ 向量的数量积与实数的积的不同点：‎ 实数的乘积 向量的数量积 结合律 或 ‎ ‎ ‎7.2.3 向量的运用 ‎1. 线段的定比分点公式 设点P分有向线段所成的比为λ，即，则 ＝＋ (线段的定比分点的向量公式) (线段定比分点的坐标公式) 当λ＝1时，得中点公式： ＝（＋）或 ‎ ‎2. 平移公式 点按向量a=平移后得到点 ‎ 始终不变的是这个关系式：＝+a, 即 ，故有：‎ m= m= 但向量平移，向量的坐标是不会变化的。‎ ‎3. 正、余弦定理 正弦定理： 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. ‎ 附：三角形的五个“心”设为所在平面上一点，角所对边长分别为：‎ 重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点 ‎ 三角形面积计算公式：‎ 设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.‎ ①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R ④S△=1/2sinC·ab=1/‎2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= [海伦公式] ‎ ⑥S△=1/2（b+c-a）ra=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb ‎[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.‎ ‎7.3 考查方式 ‎7.3.1 考题主要特点 特点一:考小题,重在于基础.‎ 有关平面向量的小题,其考查的重点在于基础知识:其中,平面向量数量积、加减运算是考查的重点，向量共线，向量垂直，向量的模，坐标运算等内容的试题都突出了对平面向量基础知识的考查.‎ 特点二:考大题,与其它知识结合.‎ 考查平面向量的大题，经常与三角、圆锥曲线、函数结合，与三角函数相结合的试题难度不大，属中档题，与圆锥曲线、函数相结合的试题，属中等偏难，主要考查学生对基本知识,基本方法,基本技能的理解,掌握和应用情况.‎ 特点三:考方法,常体现数形结合的思想方法.‎ 向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示．在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起．因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证．也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标， 体现了数形结合的思想。‎ 7.3.2 主要考查内容：‎ ‎1.考查向量的基本概念和几何意义，这部分以小题为主：‎ A组 题型1：平面向量的概念 例1．（1）给出下列命题：‎ ‎①若||＝||，则=；‎ ‎②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；‎ ‎③若=，=，则=；‎ ‎④=的充要条件是||=||且//；‎ ‎⑤ 若//，//，则//；‎ 其中正确的序号是 。‎ ‎（2）设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=||·;(2)若与a0‎ 平行，则=||·；（3）若与平行且||=1，则=。上述命题中，假命题个数是（ ）‎ A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ 解析：（1）①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；‎ ‎②正确；∵ ，∴ 且，‎ 又 A，B，C，D是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，且，‎ 因此，。‎ ‎③正确；∵ =，∴ ，的长度相等且方向相同；‎ 又＝，∴ ，的长度相等且方向相同，‎ ‎∴ ，的长度相等且方向相同，故＝。‎ ‎ ④不正确；当//且方向相反时，即使||=||，也不能得到=，故||=||且//不是=的充要条件，而是必要不充分条件；‎ ‎ ⑤不正确；考虑=这种特殊情况；‎ ‎ 综上所述，正确命题的序号是②③。‎ 点评：本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多，因而容易遗忘。为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。‎ ‎（2）向量是既有大小又有方向的量，与||模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若与平行，则与方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时=－||，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答案选D。‎ 点评：向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。‎ 题型2：平面向量的运算法则 例2．（1）如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量，，， 表示出来。‎ ‎（2）（06上海理，13）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）‎ A．＝ B．＋＝ C．－＝ D．＋＝ ‎（3）（06广东，4）如图1所示，D是△‎ ABC的边AB上的中点，则向量（ ）‎ A． B． C． D． ‎（1）解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。‎ 因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，‎ 所以，=＋，= =+，‎ 由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以=＋=+=++=2+，‎ 同样在平行四边形 BCDO中，＝＝＝＋(＋)＝＋2，＝＝－。‎ 点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 ，表示，且可用规定其中任两个向量为，，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示。‎ ‎（2）C．‎ ‎（3），故选A。‎ 例3．设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：‎ ‎①，②，③。‎ 解析：①原式= ；‎ ‎②原式= ；‎ ‎③原式= 。‎ 例4．设为未知向量，、为已知向量，解方程2-(5+3-4)+ -3=0‎ 解析：原方程可化为：(2 - 3) + (-5+) + (4-3) = 0，‎ ‎∴ =+ 。‎ 点评：平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则，求解时兼顾到向量的性质。‎ 题型3：平面向量的坐标及运算 例5．已知中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC边上的高为AD，求。‎ 解析：设D(x,y)，则 ‎∵ 得 所以。‎ 例6．已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标。‎ 解析：设，则 因为是与的交点，所以在直线上，也在直线上。‎ 即得，由点得，。‎ 得方程组，解之得。‎ 故直线与的交点的坐标为。‎ 题型4：平面向量的性质 例7．平面内给定三个向量，回答下列问题：‎ ‎（1）求满足的实数m,n；‎ ‎（2）若，求实数k；‎ ‎（3）若满足，且，求。‎ 解析：（1）由题意得，所以，得。‎ ‎（2），‎ ；‎ ‎（3） 由题意得，得或。‎ 例8．已知 ‎（1）求；‎ ‎（2）当为何实数时，与平行， 平行时它们是同向还是反向？‎ 解析：（1）因为 所以 则 ‎（2）， 因为与平行，所以即得。‎ 此时，，则，即此时向量与方向相反。‎ 点评：上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。‎ 题型5：共线向量定理及平面向量基本定理 例9．（2002天津文12，理10）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（－1，3），若点C满足，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（ ）‎ A．3x+2y－11=0 B．（x－1）2+（y－2）2=5‎ C．2x－y=0 D．x+2y－5=0‎ 解法一：设，则。‎ 由得，‎ 于是，先消去，由得。‎ 再消去得，所以选取D。‎ 解法二：由平面向量共线定理，‎ 当，时，A、B、C共线。‎ 因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程得即选D。‎ 点评：熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算；两个向量平行的坐标表示；运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。‎ 例10．（1）（06福建理，11）已知︱︱=1，︱︱=,=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n(m、n∈R)，则等于（ ）‎ A． B．‎3 C． D． A B O M 图 ‎（2）（06湖南文，10）如图：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对（x,y）可以是（ ）‎ A．　　　　　B. C. D. 解析：（1）B；（2）C。‎ 练习：‎ 例1、（07北京）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　Ａ　）‎ Ａ． Ｂ． ‎ Ｃ． Ｄ． 例2（07浙江）若非零向量满足，则（　Ｃ　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 例3(07山东) 在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（　C　）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） 例4（08全国）在中，，．若点满足，则（ A ）‎ A． B． C． D． 例5、（2007陕西）如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1，‎ ‎|| ＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,‎ 则λ+μ的值为 6 .‎ 例6（2008湖南）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与( A )‎ A.反向平行 B.同向平行 ‎ C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 例7（2008安徽）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则（ B ）‎ A． （－2，－4） B．（－3，－5） C．（3，5） D．（2，4） ‎ 例8（2009上海）直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形中，若，则的可能值个数是（　B　）‎ Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4‎ 例9（2008广东）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（ B ）‎ A． B． C． D． ‎2. 考查向量的数量积和相关运算 平面向量本身的综合，特别是平面向量的坐标表示，线性运算，基本定理以及内积的应用，以及课本例题的教学价值，例如2002年的选择题 ‎ （2002—文(12)，理(10)）‎ 平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，，若点满足，其中，且，则点的轨迹方程为（　　　）．‎ ‎　　（Ａ）　 （Ｂ） ‎（Ｃ）　　　　　　（Ｄ） 这道题可以用向量的坐标表示计算。‎ 设，由题意．‎ 于是　　　　　　　　‎ ‎①＋②×2得 ‎　　　　．　‎ 于是点的轨迹方程为．‎ 但是如果利用平面向量基本定理一节中课本的一道例题例5，已知不共线，，，则有 ，‎ 如果用表示，表示，则有．　 ‎ 这里给出了共线的一个条件．而2002年选择题恰恰就是这个例题的变化，因此点在两点确定的直线上，利用两点式直线方程公式立即有　‎ 　，即　．‎ 从这道试题可以启发我们，在教学中一定要落实课本，落实课本的例题，挖掘课本例题在培养数学能力上的作用．‎ 题型1：数量积的概念 例1．判断下列各命题正确与否：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）若，则；‎ ‎（4）若，则当且仅当时成立；‎ ‎（5）对任意向量都成立；‎ ‎（6）对任意向量，有。‎ 解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。‎ 点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚为零向量，而为零。‎ 例2．（1）（2002上海春，13）若、、为任意向量，m∈R，则下列等式不一定 成立的是（ ）‎ A． B． C．m（）=m+m D． ‎（2）(2000江西、山西、天津理，4)设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ‎①（·）－（·）= ②||－||<|－| ③（·）－（·）不与垂直 ‎④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命题的有（ ）‎ A.①② B.②③ C.③④ D.②④‎ 解析：（1）答案：D；因为，而；而方向与方向不一定同向。‎ ‎（2）答案：D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假；②由向量的减法运算可知||、||、|－|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［（·）－（·）］·=（·）·－（·）·=0，所以垂直.故③假；④（3+2）（3－2）=9··－4·=9||2－4||2成立。故④真。‎ 点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。‎ 题型2：向量的夹角 例3．（1）（06全国1文，1）已知向量、满足、，且，则与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D． ‎（2）（06北京文，12）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是 。‎ ‎（3）已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。‎ ‎（4）（2005北京3）| |=1，| |=2，= + ，且⊥，则向量与 的夹角为 （ ）‎ ‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ 解析：（1）C；（2）；‎ ‎（3）由题意，，且与的夹角为，‎ 所以，，‎ ，‎ ，‎ 同理可得。‎ 而，‎ 设为与的夹角，‎ 则。‎ ‎（4）C；设所求两向量的夹角为 ‎ 　　　 ‎ 　　即： 所以 点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式，要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握。‎ 例4．（1）（06全国1理，9）设平面向量、、的和。如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（ ）‎ A．－++= B．-+= C．+-= D．++= ‎（2）（06湖南理，5）已知 且关于的方程有实根, 则与的夹角的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． 解析：（1）D；（2）B；‎ 点评：对于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题。‎ 题型3：向量的模 例5．（1）（06福建文，9）已知向量与的夹角为，则等于（ ）‎ ‎ A．5　　　　B．‎4　‎　　　C．3　　　　D．1‎ ‎（2）（06浙江文，5）设向量满足,,则（ ）‎ A．1 B．‎2 C．4 D．5‎ 解析：（1）B；（2）D；‎ 点评：掌握向量数量积的逆运算，以及。‎ 例6．已知＝（3，4），＝（4，3），求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1。‎ 解析：由＝（3，4），＝（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)；‎ 又（x+y）⊥(x+y)·＝０3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；‎ 即25x+24y＝０ ①；‎ 又｜x+y｜=1｜x+y｜２＝１；‎ （３x+4y）２＋（４x+3y）２＝１；‎ 整理得25x２＋48xy+25y２＝１即x(25x+24y)+24xy+25y２＝１ ②；‎ 由①②有24xy+25y２＝１ ③；‎ 将①变形代入③可得：y=±；‎ 再代回①得：。‎ 点评：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想。‎ 题型4：向量垂直、平行的判定 例7．(2005广东12)已知向量，，且，则 。‎ 解析：∵，∴，∴，∴。‎ 例8．已知，，，按下列条件求实数的值。（1）；（2）；。‎ 解析： ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ 。‎ 点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。‎ ‎3. 考查平面向量与其它知识的结合。‎ A．与平面几何的结合：‎ ‎①在平行四边形中，‎ 若，则，即菱形模型。‎ 若，则，即矩形模型。‎ ‎②在中，‎ ，是的外心；‎ 一定过的中点；通过的重心；‎ ，是的重心；‎ ，是的垂心；‎ 通过的内心；‎ 则是的内心；‎ ．‎ 例11．（2002年高考题）已知两点，且点P（x，y）使得，成公差小于零的等差数列。‎ ‎（1）求证；‎ ‎（2）若点P的坐标为，记与的夹角为，求。‎ 解析：（1）略解：，由直接法得 ‎（2）当P不在x轴上时，‎ 而 所以，当P在x轴上时，，上式仍成立。‎ 图1‎ 点评：由正弦面积公式得到了三角形面积与数量积之间的关系，由面积相等法建立等量关系。‎ 例12．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。‎ 已知：如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点（不与A、B重合），求证：∠APB＝90°。‎ 证明：联结OP，设向量，则且， ，即∠APB＝90°。‎ 点评：平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。‎ 题型7：平面向量在物理中的应用 例13．如图所示，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力、作用于同一点P，求五个力的合力。‎ 解析：所求五个力的合力为，如图3所示，以PA、PE为边作平行四边形PAOE，则，由正六边形的性质可知，且O点在PC上，以PB、PD为边作平行四边形PBFD，则，由正六边形的性质可知，且F点在PC的延长线上。‎ 由正六边形的性质还可求得 故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为，方向与的方向相同。‎ B．与代数的结合 弄清实数乘积与平面向量数量积的异同点：‎ 代数不等式：由, ，可得 ‎ 。‎ 例9．已知。‎ ‎ 分析：，可以看作向量的模的平方，而则是、的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式。‎ ‎ 证明：设 ‎ 则。‎ 点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如等。‎ 例10．已知，其中。‎ ‎ （1）求证：与互相垂直；‎ ‎ （2）若与（）的长度相等，求。‎ ‎ 解析：（1）因为 ‎ ‎ 所以与互相垂直。‎ ‎ （2），‎ ‎ ，‎ ‎ 所以，‎ ‎ ，‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 有，‎ ‎ 因为，故，‎ ‎ 又因为，‎ 所以。‎ 点评：平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性。若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理。可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度。‎ C．与解析几何结合 ‎①定比分点公式 若，则是的定比分点，为定比，满足。‎ ‎②点向式直线方程 已知点及方向向量，可确定过，以为方向向量的直线方程为 ‎ ‎ ‎（3）精选典型例题及练习题扩大学生的解题视野。‎ 例1、已知a=，b，c=a+b，是否存在实数，使a 与c的夹角为锐角，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由。（考查数量积的应用及严密的推理能力）‎ 例2、在坐标平面上有两个向量a，b，其中。‎ ‎（Ⅰ）证明（a+b）（a- b）；‎ ‎（Ⅱ） ka+b = a-kb ，求的值，其中为非零常数。（考查数量积与三角函数综合）‎ 例3、已知的面积为，且。‎ ‎（Ⅰ）若，求向量与的夹角的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）记，（），，若以为中心，为焦点的椭圆经过点，当取得最小值时，求此椭圆方程。（考查平面向量的数量积，三角函数的值，解析几何，函数最值的综合）‎ 例4、已知，，，若，，（）。‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若点在曲线上运动，求在时的最小值；‎ ‎（Ⅲ）把的图像按向量a平移得到曲线，过坐标原点作交于两点，直线交轴于点，当为锐角时，求的取值范围。（考查平面向量数量积的坐标表示，函数的最值，图像的平移，解不等式，解析几何的有关知识）‎ 例5、是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量的和与其余两个向量之和垂直。（存在性问题，向量的基本运算与平面几何综合）‎ 例6、一条河的两岸平行，河宽，一小船从 处出发航行到对岸，小船速度为v1，且 v1 /秒，水流速度为v2， v2 /秒。‎ ‎(Ⅰ)当v1，v2夹角为多大时，船才能到达对岸处，此时位移的大小，方向怎样？时间是多少？‎ ‎(Ⅱ) 当v1，v2夹角为多大时，小船航行的时间最少？此时位移的大小方向怎样？时间是多少？‎ ‎7.4 本章历年真题 ‎08‎ ‎1. 已知数列｜an｜对任意的p,q∈Nm满足ap+q=ap+aq,且aP=-6,那么ap+q等于 ‎（A）-165 (B)-33 (C)-30 (D)－21‎ ‎2. 已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜=|b|=4,那么b·（‎2a+b）的值为　　　　。‎ ‎07‎ ‎1. 已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　　）‎ Ａ． Ｂ． ‎ Ｃ． Ｄ． ‎06‎ ‎1. 若 a 与 b－c 都是非零向量，则“a·b=a·c”是“a⊥（b－c）”的 ‎ ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎ ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎ ‎05 ‎ ‎1. 若，且，则向量与的夹角为 ‎ （A）30° （B）60° （C）120° （D）150°‎