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  • 2021-05-13 发布

2020-2021学年高考数学(理)考点:二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

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‎2020-2021学年高考数学(理)考点:二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 ‎1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 Ax+By+C>0‎ 直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线 Ax+By+C≥0‎ 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 ‎2.线性规划中的基本概念 名称 意义 约束条件 由变量x,y组成的不等式(组)‎ 线性约束条件 由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 关于x,y的函数解析式,如z=2x+3y等 线性目标函数 关于x,y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x,y)‎ 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 概念方法微思考 ‎1.不等式x≥0表示的平面区域是什么?‎ 提示 不等式x≥0表示的区域是y轴的右侧(包括y轴).‎ ‎2.可行解一定是最优解吗?二者有何关系?‎ 提示 不一定.最优解是可行解中的一个或多个.‎ 最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解,最优解不一定唯一.‎ ‎1.(2020•浙江)若实数,满足约束条件,则的取值范围是  ‎ A., B., C., D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出实数,满足约束条件所示的平面区域,如图:‎ 将目标函数变形为,‎ 则表示直线在轴上截距,截距越大,越大,‎ 当目标函数过点时,截距最小为,随着目标函数向上移动截距越来越大,‎ 故目标函数的取值范围是,.‎ 故选B.‎ ‎2.(2019•天津)设变量,满足约束条件则目标函数的最大值为  ‎ A.2 B.3 C.5 D.6‎ ‎【答案】C ‎【解析】由约束条件作出可行域如图:‎ 联立,解得,‎ 化目标函数为,由图可知,当直线过时,有最大值为5.‎ 故选C.‎ ‎3.(2019•浙江)若实数,满足约束条件则的最大值是  ‎ A. B.1 C.10 D.12‎ ‎【答案】C ‎【解析】由实数,满足约束条件作出可行域如图,‎ 联立,解得,‎ 化目标函数为,‎ 由图可知,当直线过时,直线在轴上的截距最大,‎ 有最大值:10.‎ 故选C.‎ ‎4.(2019•北京)若,满足,且,则的最大值为  ‎ A. B.1 C.5 D.7‎ ‎【答案】C ‎【解析】由作出可行域如图,‎ 联立,解得,‎ 令,化为,‎ 由图可知,当直线过点时,有最大值为.‎ 故选C.‎ ‎5.(2018•天津)设变量,满足约束条件,则目标函数的最大值为  ‎ A.6 B.19 C.21 D.45‎ ‎【答案】C ‎【解析】由变量,满足约束条件,‎ 得如图所示的可行域,由解得.‎ 当目标函数经过时,直线的截距最大,‎ 取得最大值.‎ 将其代入得的值为21,‎ 故选C.‎ ‎6.(2018•北京)设集合,,,则  ‎ A.对任意实数, B.对任意实数, ‎ C.当且仅当时, D.当且仅当时,‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时,集合,,,,,显然不满足,,,所以不正确;‎ 当,集合,,,,,显然在可行域内,满足不等式,所以不正确;‎ 当,集合,,,,,显然,所以当且仅当错误,所以不正确;‎ 故选D.‎ ‎7.(2020•上海)已知、满足,则的最大值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由约束条件作出可行域如图阴影部分,‎ 化目标函数为,‎ 由图可知,当直线过时,直线在轴上的截距最大,‎ 联立,解得,即.‎ 有最大值为.‎ 故答案为:.‎ ‎8.(2020•新课标Ⅱ)若,满足约束条件则的最大值是_________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域如图:‎ 由得,‎ 平移直线由图象可知当直线经过点时,直线的截距最大,‎ 此时最大,‎ 由,解得,‎ 此时,‎ 故答案为:8.‎ ‎9.(2020•新课标Ⅲ)若,满足约束条件则的最大值为_________.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】先根据约束条件画出可行域,由解得,‎ 如图,当直线过点时,目标函数在轴上的截距取得最大值时,此时取得最大值,即当,时,.‎ 故答案为:7.‎ ‎10.(2020•新课标Ⅰ)若,满足约束条件则的最大值为_________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】,满足约束条件,‎ 不等式组表示的平面区域如图所示,‎ 由,可得时,目标函数,可得,‎ 当直线过点时,在轴上截距最大,‎ 此时取得最大值:.‎ 故答案为:1.‎ ‎11.(2020•上海)不等式的解集为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得,‎ 则,即,解得,‎ 所以不等式的解集是,‎ 故答案为:.‎ ‎12.(2019•上海)已知,满足,则的最小值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出不等式组表示的平面区域,‎ 由即,表示直线在轴上的截距的相反数的倍,‎ 平移直线,当经过点时,取得最小值,‎ 故答案为:.‎ ‎13.(2019•天津)设,使不等式成立的的取值范围为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,将分解因式即有:‎ ‎;;‎ 由一元二次不等式的解法“小于取中间,大于取两边”‎ 可得:;‎ 即:;或;‎ 故答案为:.‎ ‎14.(2019•新课标Ⅱ)若变量,满足约束条件则的最大值是_________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】由约束条件作出可行域如图:‎ 化目标函数为,由图可知,当直线过时,‎ 直线在轴上的截距最小,有最大值为9.‎ 故答案为:9.‎ ‎15.(2019•北京)若,满足则的最小值为_________,最大值为_________.‎ ‎【答案】,1‎ ‎【解析】由约束条件作出可行域如图,‎ ‎,,‎ 令,作出直线,由图可知,‎ 平移直线,当直线过时,有最小值为,过时,有最大值1.‎ 故答案为:,1.‎ ‎16.(2018•浙江)若,满足约束条件,则的最小值是_________,最大值是_________.‎ ‎【答案】;8‎ ‎【解析】作出,满足约束条件表示的平面区域,‎ 如图:‎ 其中,.‎ 设,‎ 将直线进行平移,观察直线在轴上的截距变化,‎ 可得当经过点时,目标函数达到最小值.‎ ‎.‎ 可得当经过点时,目标函数达到最最大值:‎ ‎.‎ 故答案为:;8.‎ ‎17.(2018•新课标Ⅲ)若变量,满足约束条件,则的最大值是_________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】画出变量,满足约束条件表示的平面区域如图:由解得.‎ 变形为,作出目标函数对应的直线,‎ 当直线过时,直线的纵截距最小,最大,‎ 最大值为,‎ 故答案为:3.‎ ‎18.(2018•北京)若,满足,则的最小值是_________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域如图:‎ 设,则,‎ 平移,‎ 由图象知当直线经过点时,‎ 直线的截距最小,此时最小,‎ 由得,即,‎ 此时,‎ 故答案为:3.‎ 强化训练 ‎1.(2020•杭州模拟)设为不等式所表示的平面区域,则位于内的点是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】把代入不等式,‎ 得,成立,点不在不等式组表示的平面区域内;‎ 把代入不等式,‎ 得,成立但不成立,点不在不等式组表示的平面区域内;‎ 把代入不等式,‎ 得,成立且,点在不等式组表示的平面区域内;‎ 把代入不等式,‎ 得,不成立,点不在不等式组表示的平面区域内.‎ 故选C.‎ ‎2.(2020•德阳模拟)不等式组表示的平面区域为,则  ‎ A., B., ‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】不等式组对应的平面区域如图:‎ ‎;;‎ 令,平移,则当其过点时,取最大值:,‎ 当其过点时,取最小值:;‎ 即:;‎ 故都错;‎ 设表示平面区域内的点与定点连线的斜率;‎ 由图可得:或;‎ 错对;‎ 故选D.‎ ‎3.(2020•驻马店模拟)设不等式组表示的平面区域为,若从圆 的内部随机选取一点,则取自的概率为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出中在圆内部的区域,如图所示,‎ 因为直线,的倾斜角分别为,,‎ 所以由图可得取自的概率为.‎ 故选B.‎ ‎4.(2020•龙凤区校级一模)已知点和在直线的两侧,则的取值范围是  ‎ A. B. C.或 D.或 ‎【答案】A ‎【解析】根据题意,若点和在直线的两侧,‎ 则有,‎ 即,‎ 解可得;‎ 故选A.‎ ‎5.(2020•香坊区校级一模)若实数,满足不等式组,则的最小值为  ‎ A. B. C.4 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出满足条件的平面区域,‎ 如图示:‎ ‎,‎ 由,解得:,‎ 由得,‎ 结合图象直线过,时,最大,即最小,‎ 故的最小值是:,‎ 故选D.‎ ‎6.(2020•江西模拟)已知实数,满足约束条件,目标函数且的最大值为2,则的最小值为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得,‎ ‎,,直线的斜率,‎ 作出不等式对应的平面区域如图:‎ 平移直线得,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最大,此时最大.‎ 由,解得,‎ 此时目标函数的最大值为2,‎ 即,,‎ ‎,‎ 当且仅当,并且时取等号.‎ 故最小值为,‎ 故选A.‎ ‎7.(2020•湖北模拟)当前疫情阶段,口罩成为热门商品,为了赚钱,小明决定在家制作两种口罩:口罩和口罩.已知制作一只口罩需要2张熔喷布和2张针刺棉,制作一只口罩需要3张熔喷布和1张针刺棉,现小明手上有35张熔喷布和19张针刺棉,且一只口罩有4元利润,一只口罩有3元利润.为了获得最大利润,那么小明应该制作  ‎ A.5只口罩,8只口罩 B.6只口罩,6只口罩 ‎ C.7只口罩,6只口罩 D.6只口罩,7只口罩 ‎【答案】D ‎【解析】设小明应该制作只口罩,只口罩,‎ 则,‎ 再设小明所获利润为,则.‎ 由不等式组作出可行域如图所示,‎ 联立,解得,即,‎ 又,,过作直线,把直线向左下平移至点时,‎ 有最大值为.‎ 小明要获得最大利润,应该制作6只口罩,7只口罩.‎ 故选D.‎ ‎8.(2020•雨花区校级模拟)若实数,满足,且恒成立,则的取值范围是  ‎ A., B., C., D.,‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出不等式组,对应的可行域,它为,‎ 其中,,,‎ 则对于可行域内任一点,都有,‎ ‎,,‎ 即为恒成立,‎ 转化为求的最大值,‎ 又即为点和点连线的斜率,‎ 由图可知:,‎ 即,,,.‎ 故选D.‎ ‎9.(2020•河南模拟)已知实数,满足约束条件则的最小值为  ‎ A. B. C. D.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由实数,满足约束条件作出可行域如图,‎ 由解得,‎ 化目标函数为,‎ 由图可知,当直线过时直线在轴上的截距最大,有最小值,‎ 等于.‎ 故选B.‎ ‎10.(2020•唐山二模)已知,满足约束条件则的最大值为  ‎ A. B.0 C.2 D.4‎ ‎【答案】B ‎【解析】,满足约束条件的对应的平面区域如图:(阴影部分).‎ 由得,平移直线,‎ 由平移可知当直线,经过点时,‎ 直线的截距最小,此时取得最大值,‎ 由,解得代入得,‎ 即的最大值是0,‎ 故选B.‎ ‎11.(2020•杜集区校级模拟)已知实数、满足则的最大值为  ‎ A. B. C.4 D.3‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意作出其平面区域,经过可行域的点时,直线在轴上的截距取得最大值,此时取得最大值,‎ 由题意可知,‎ 即,时,有最大值,‎ 故选C.‎ ‎12.(2020•青羊区校级模拟)若实数,满足约束条件,则的最大值为  ‎ A.1 B.2 C. D.3‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出实数,满足约束条件所对应的可行域(如图阴影),‎ 的几何意义是可行域内的点与定点连线的斜率,‎ 由图象知可知的斜率最大,此时与直线重合,‎ 即的最大值为1,‎ 故选A.‎ ‎13.(2020•河南模拟)已知实数,满足约束条件则的最小值为  ‎ A. B. C. D.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由,令,得,作出不等式对应的可行域(阴影部分),‎ 平移直线,由平移可知当直线,‎ 经过点时,直线的截距最大,此时取得最小值,的也取得最小值,‎ 由,解得 将的坐标代入,得,‎ 即目标函数的最小值为.‎ 故选B.‎ ‎14.(2020•东湖区校级模拟)已知点在表示的平面区域内,则的最小值为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】表示的平面区域如图阴影部分,‎ 点在表示的平面区域内,可得,所以,,‎ 所以,‎ 则的最小值为可行域内的点与原点距离的平方的一半.‎ 由可行域可知,可行域内的点与坐标原点的距离的最小值为到原点的距离,即原点到直线的距离,所以距离的最小值为:,‎ 所以的最小值为.‎ 故选D.‎ ‎15.(2020•三模拟)已知非负实数,满足,,,,则的最小值等于  ‎ A. B. C.0 D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】设,作出四个不等式,,,组合后表示的可行域(四边形),‎ 解得可行域的四个顶点:,,,,,‎ 一一代入计算,比较得,‎ 故选B.‎ ‎16.(2020•梅河口市校级模拟)已知实数,满足,若的最大值为2019,则实数的值为  ‎ A. B.673 C.504 D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出实数,满足,可行域如图:‎ 由于目标函数的最大值是2019,‎ 可得直线与直线的交点,‎ 使目标函数取得最大值,‎ 将,,可得得:‎ 故选B.‎ ‎17.(2020•桃城区校级模拟)设变量,满足线性约束条件,若取得最大值时的最优解不唯一,则实数的值为  ‎ A.或1 B.1或 C.或 D.或2‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示,‎ 因为目标函数取得最大值时的最优解不唯一,‎ 所以当时,直线与直线重合,此时;‎ 当时,直线与直线重合,此时,‎ 所以或.‎ 故选B.‎ ‎18.(2020•东湖区校级模拟)已知,满足区域,则的取值范围是  ‎ A., B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出不等式表示的平面区域如图所示,‎ 联立,解得,联立,解得.‎ 令,则,,,,‎ ‎.‎ 由对勾函数的单调性可知,当时,取得最小值为;‎ 而当时,,当时,,‎ 即的最大值为1.‎ 的取值范围是,.‎ 故选C.‎ ‎19.(2020•襄城区校级四模)若,满足约束条件,则的整数解的个数为  ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】D ‎【解析】由约束条件作出可行域如图,‎ 联立,解得.直线经过点,,解得,,则的整数解的的只能取0,1,2,3,对应,3,1,;‎ 则的整数解的个数为4个.‎ 故选D.‎ ‎20.(2020•永康市模拟)已知在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域面积是__________,周长为__________.‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】不等式组表示的可行域为:‎ 如图所示:‎ 所以,解得,即.‎ 同理解得,‎ 所以.‎ ‎.‎ 故答案为:,.‎ ‎21.(2020•合肥模拟)不等式组,则表示区域的面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出满足条件的平面区域,如图示:‎ 分别求出,,,,‎ ‎,‎ 故答案为:.‎