2020-2021学年高考数学（理）考点：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 29页

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 ‎1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 Ax＋By＋C>0‎ 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线 Ax＋By＋C≥0‎ 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 ‎2.线性规划中的基本概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的不等式(组)‎ 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y)‎ 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 概念方法微思考 ‎1．不等式x≥0表示的平面区域是什么？‎ 提示　不等式x≥0表示的区域是y轴的右侧(包括y轴)．‎ ‎2．可行解一定是最优解吗？二者有何关系？‎ 提示　不一定．最优解是可行解中的一个或多个．‎ 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一．‎ ‎1．（2020•浙江）若实数，满足约束条件，则的取值范围是　　‎ A．， B．， C．， D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出实数，满足约束条件所示的平面区域，如图：‎ 将目标函数变形为，‎ 则表示直线在轴上截距，截距越大，越大，‎ 当目标函数过点时，截距最小为，随着目标函数向上移动截距越来越大，‎ 故目标函数的取值范围是，．‎ 故选B．‎ ‎2．（2019•天津）设变量，满足约束条件则目标函数的最大值为　　‎ A．2 B．3 C．5 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】由约束条件作出可行域如图：‎ 联立，解得，‎ 化目标函数为，由图可知，当直线过时，有最大值为5．‎ 故选C．‎ ‎3．（2019•浙江）若实数，满足约束条件则的最大值是　　‎ A． B．1 C．10 D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】由实数，满足约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得，‎ 化目标函数为，‎ 由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，‎ 有最大值：10．‎ 故选C．‎ ‎4．（2019•北京）若，满足，且，则的最大值为　　‎ A． B．1 C．5 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】由作出可行域如图，‎ 联立，解得，‎ 令，化为，‎ 由图可知，当直线过点时，有最大值为．‎ 故选C．‎ ‎5．（2018•天津）设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为　　‎ A．6 B．19 C．21 D．45‎ ‎【答案】C ‎【解析】由变量，满足约束条件，‎ 得如图所示的可行域，由解得．‎ 当目标函数经过时，直线的截距最大，‎ 取得最大值．‎ 将其代入得的值为21，‎ 故选C．‎ ‎6．（2018•北京）设集合，，，则　　‎ A．对任意实数， B．对任意实数， ‎ C．当且仅当时， D．当且仅当时，‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，集合，，，，，显然不满足，，，所以不正确；‎ 当，集合，，，，，显然在可行域内，满足不等式，所以不正确；‎ 当，集合，，，，，显然，所以当且仅当错误，所以不正确；‎ 故选D．‎ ‎7．（2020•上海）已知、满足，则的最大值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由约束条件作出可行域如图阴影部分，‎ 化目标函数为，‎ 由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，‎ 联立，解得，即．‎ 有最大值为．‎ 故答案为：．‎ ‎8．（2020•新课标Ⅱ）若，满足约束条件则的最大值是_________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由得，‎ 平移直线由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，‎ 此时最大，‎ 由，解得，‎ 此时，‎ 故答案为：8．‎ ‎9．（2020•新课标Ⅲ）若，满足约束条件则的最大值为_________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】先根据约束条件画出可行域，由解得，‎ 如图，当直线过点时，目标函数在轴上的截距取得最大值时，此时取得最大值，即当，时，．‎ 故答案为：7．‎ ‎10．（2020•新课标Ⅰ）若，满足约束条件则的最大值为_________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】，满足约束条件，‎ 不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 由，可得时，目标函数，可得，‎ 当直线过点时，在轴上截距最大，‎ 此时取得最大值：．‎ 故答案为：1．‎ ‎11．（2020•上海）不等式的解集为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，‎ 则，即，解得，‎ 所以不等式的解集是，‎ 故答案为：．‎ ‎12．（2019•上海）已知，满足，则的最小值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出不等式组表示的平面区域，‎ 由即，表示直线在轴上的截距的相反数的倍，‎ 平移直线，当经过点时，取得最小值，‎ 故答案为：．‎ ‎13．（2019•天津）设，使不等式成立的的取值范围为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，将分解因式即有：‎ ‎；；‎ 由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”‎ 可得：；‎ 即：；或；‎ 故答案为：．‎ ‎14．（2019•新课标Ⅱ）若变量，满足约束条件则的最大值是_________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】由约束条件作出可行域如图：‎ 化目标函数为，由图可知，当直线过时，‎ 直线在轴上的截距最小，有最大值为9．‎ 故答案为：9．‎ ‎15．（2019•北京）若，满足则的最小值为_________，最大值为_________．‎ ‎【答案】，1‎ ‎【解析】由约束条件作出可行域如图，‎ ‎，，‎ 令，作出直线，由图可知，‎ 平移直线，当直线过时，有最小值为，过时，有最大值1．‎ 故答案为：，1．‎ ‎16．（2018•浙江）若，满足约束条件，则的最小值是_________，最大值是_________．‎ ‎【答案】；8‎ ‎【解析】作出，满足约束条件表示的平面区域，‎ 如图：‎ 其中，．‎ 设，‎ 将直线进行平移，观察直线在轴上的截距变化，‎ 可得当经过点时，目标函数达到最小值．‎ ‎．‎ 可得当经过点时，目标函数达到最最大值：‎ ‎．‎ 故答案为：；8．‎ ‎17．（2018•新课标Ⅲ）若变量，满足约束条件，则的最大值是_________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】画出变量，满足约束条件表示的平面区域如图：由解得．‎ 变形为，作出目标函数对应的直线，‎ 当直线过时，直线的纵截距最小，最大，‎ 最大值为，‎ 故答案为：3．‎ ‎18．（2018•北京）若，满足，则的最小值是_________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 设，则，‎ 平移，‎ 由图象知当直线经过点时，‎ 直线的截距最小，此时最小，‎ 由得，即，‎ 此时，‎ 故答案为：3．‎ 强化训练 ‎1．（2020•杭州模拟）设为不等式所表示的平面区域，则位于内的点是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】把代入不等式，‎ 得，成立，点不在不等式组表示的平面区域内；‎ 把代入不等式，‎ 得，成立但不成立，点不在不等式组表示的平面区域内；‎ 把代入不等式，‎ 得，成立且，点在不等式组表示的平面区域内；‎ 把代入不等式，‎ 得，不成立，点不在不等式组表示的平面区域内．‎ 故选C．‎ ‎2．（2020•德阳模拟）不等式组表示的平面区域为，则　　‎ A．， B．， ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】不等式组对应的平面区域如图：‎ ‎；；‎ 令，平移，则当其过点时，取最大值：，‎ 当其过点时，取最小值：；‎ 即：；‎ 故都错；‎ 设表示平面区域内的点与定点连线的斜率；‎ 由图可得：或；‎ 错对；‎ 故选D．‎ ‎3．（2020•驻马店模拟）设不等式组表示的平面区域为，若从圆 的内部随机选取一点，则取自的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出中在圆内部的区域，如图所示，‎ 因为直线，的倾斜角分别为，，‎ 所以由图可得取自的概率为．‎ 故选B．‎ ‎4．（2020•龙凤区校级一模）已知点和在直线的两侧，则的取值范围是　　‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，若点和在直线的两侧，‎ 则有，‎ 即，‎ 解可得；‎ 故选A．‎ ‎5．（2020•香坊区校级一模）若实数，满足不等式组，则的最小值为　　‎ A． B． C．4 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出满足条件的平面区域，‎ 如图示：‎ ‎，‎ 由，解得：，‎ 由得，‎ 结合图象直线过，时，最大，即最小，‎ 故的最小值是：，‎ 故选D．‎ ‎6．（2020•江西模拟）已知实数，满足约束条件，目标函数且的最大值为2，则的最小值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得，‎ ‎，，直线的斜率，‎ 作出不等式对应的平面区域如图：‎ 平移直线得，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．‎ 由，解得，‎ 此时目标函数的最大值为2，‎ 即，，‎ ‎，‎ 当且仅当，并且时取等号．‎ 故最小值为，‎ 故选A．‎ ‎7．（2020•湖北模拟）当前疫情阶段，口罩成为热门商品，为了赚钱，小明决定在家制作两种口罩：口罩和口罩．已知制作一只口罩需要2张熔喷布和2张针刺棉，制作一只口罩需要3张熔喷布和1张针刺棉，现小明手上有35张熔喷布和19张针刺棉，且一只口罩有4元利润，一只口罩有3元利润．为了获得最大利润，那么小明应该制作　　‎ A．5只口罩，8只口罩 B．6只口罩，6只口罩 ‎ C．7只口罩，6只口罩 D．6只口罩，7只口罩 ‎【答案】D ‎【解析】设小明应该制作只口罩，只口罩，‎ 则，‎ 再设小明所获利润为，则．‎ 由不等式组作出可行域如图所示，‎ 联立，解得，即，‎ 又，，过作直线，把直线向左下平移至点时，‎ 有最大值为．‎ 小明要获得最大利润，应该制作6只口罩，7只口罩．‎ 故选D．‎ ‎8．（2020•雨花区校级模拟）若实数，满足，且恒成立，则的取值范围是　　‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出不等式组，对应的可行域，它为，‎ 其中，，，‎ 则对于可行域内任一点，都有，‎ ‎，，‎ 即为恒成立，‎ 转化为求的最大值，‎ 又即为点和点连线的斜率，‎ 由图可知：，‎ 即，，，．‎ 故选D．‎ ‎9．（2020•河南模拟）已知实数，满足约束条件则的最小值为　　‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由实数，满足约束条件作出可行域如图，‎ 由解得，‎ 化目标函数为，‎ 由图可知，当直线过时直线在轴上的截距最大，有最小值，‎ 等于．‎ 故选B．‎ ‎10．（2020•唐山二模）已知，满足约束条件则的最大值为　　‎ A． B．0 C．2 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】，满足约束条件的对应的平面区域如图：（阴影部分）．‎ 由得，平移直线，‎ 由平移可知当直线，经过点时，‎ 直线的截距最小，此时取得最大值，‎ 由，解得代入得，‎ 即的最大值是0，‎ 故选B．‎ ‎11．（2020•杜集区校级模拟）已知实数、满足则的最大值为　　‎ A． B． C．4 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意作出其平面区域，经过可行域的点时，直线在轴上的截距取得最大值，此时取得最大值，‎ 由题意可知，‎ 即，时，有最大值，‎ 故选C．‎ ‎12．（2020•青羊区校级模拟）若实数，满足约束条件，则的最大值为　　‎ A．1 B．2 C． D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出实数，满足约束条件所对应的可行域（如图阴影），‎ 的几何意义是可行域内的点与定点连线的斜率，‎ 由图象知可知的斜率最大，此时与直线重合，‎ 即的最大值为1，‎ 故选A．‎ ‎13．（2020•河南模拟）已知实数，满足约束条件则的最小值为　　‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，令，得，作出不等式对应的可行域（阴影部分），‎ 平移直线，由平移可知当直线，‎ 经过点时，直线的截距最大，此时取得最小值，的也取得最小值，‎ 由，解得 将的坐标代入，得，‎ 即目标函数的最小值为．‎ 故选B．‎ ‎14．（2020•东湖区校级模拟）已知点在表示的平面区域内，则的最小值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】表示的平面区域如图阴影部分，‎ 点在表示的平面区域内，可得，所以，，‎ 所以，‎ 则的最小值为可行域内的点与原点距离的平方的一半．‎ 由可行域可知，可行域内的点与坐标原点的距离的最小值为到原点的距离，即原点到直线的距离，所以距离的最小值为：，‎ 所以的最小值为．‎ 故选D．‎ ‎15．（2020•三模拟）已知非负实数，满足，，，，则的最小值等于　　‎ A． B． C．0 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，作出四个不等式，，，组合后表示的可行域（四边形），‎ 解得可行域的四个顶点：，，，，，‎ 一一代入计算，比较得，‎ 故选B．‎ ‎16．（2020•梅河口市校级模拟）已知实数，满足，若的最大值为2019，则实数的值为　　‎ A． B．673 C．504 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出实数，满足，可行域如图：‎ 由于目标函数的最大值是2019，‎ 可得直线与直线的交点，‎ 使目标函数取得最大值，‎ 将，，可得得：‎ 故选B．‎ ‎17．（2020•桃城区校级模拟）设变量，满足线性约束条件，若取得最大值时的最优解不唯一，则实数的值为　　‎ A．或1 B．1或 C．或 D．或2‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示，‎ 因为目标函数取得最大值时的最优解不唯一，‎ 所以当时，直线与直线重合，此时；‎ 当时，直线与直线重合，此时，‎ 所以或．‎ 故选B．‎ ‎18．（2020•东湖区校级模拟）已知，满足区域，则的取值范围是　　‎ A．， B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】作出不等式表示的平面区域如图所示，‎ 联立，解得，联立，解得．‎ 令，则，，，，‎ ‎．‎ 由对勾函数的单调性可知，当时，取得最小值为；‎ 而当时，，当时，，‎ 即的最大值为1．‎ 的取值范围是，．‎ 故选C．‎ ‎19．（2020•襄城区校级四模）若，满足约束条件，则的整数解的个数为　　‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得．直线经过点，，解得，，则的整数解的的只能取0，1，2，3，对应，3，1，；‎ 则的整数解的个数为4个．‎ 故选D．‎ ‎20．（2020•永康市模拟）已知在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积是__________，周长为__________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】不等式组表示的可行域为：‎ 如图所示：‎ 所以，解得，即．‎ 同理解得，‎ 所以．‎ ‎．‎ 故答案为：，．‎ ‎21．（2020•合肥模拟）不等式组，则表示区域的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出满足条件的平面区域，如图示：‎ 分别求出，，，，‎ ‎，‎ 故答案为：．‎