2014高考圆锥曲线中有关面积问题 5页

圆锥曲线系列问题三--面积问题 常见处理思路：‎ 例题：已知中心在原点，焦点在x轴上，离心率为的椭圆C过点（，）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设不过原点的直线与椭圆C交于、两点，满足直线，，的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为， ‎ 则， 解得， ‎ 所以，椭圆方程为． ‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，‎ 故可设直线的方程为，， ‎ 由 消去得， ‎ 则，‎ 且，．‎ 故．‎ 因为直线，，的斜率依次成等比数列，‎ 所以，，即， ‎ 又，所以，即．‎ 由于直线，的斜率存在，且△＞0，得且．‎ 设为点到直线的距离，则，‎ 所以的取值范围为．‎ 练习：1已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。‎ 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意 ‎，所求椭圆方程为。‎ ‎（Ⅱ）设，。‎ ‎（1）当轴时，。‎ ‎（2）当与轴不垂直时，‎ 设直线的方程为。‎ 由已知，得。‎ 把代入椭圆方程，整理得，‎ ‎，。‎ ‎。‎ 当且仅当，即时等号成立。当时，，‎ 综上所述。‎ 当最大时，面积取最大值。‎ ‎2椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率，过的直线与椭圆交于、两点，且，求面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程．‎ 解：设椭圆的方程为直线的方程为，‎ ‎ ，‎ 则椭圆方程可化为即，‎ 联立得 （*）‎ ‎ 有而由已知有，代入得 ‎ 所以，‎ 当且仅当时取等号 ‎ 由得，将代入（*）式得 所以面积的最大值为，取得最大值时椭圆的方程为 例2：已知椭圆的长轴长为，离心率为，分别为其左右焦点．一动圆过点，且与直线相切．‎ ‎(Ⅰ) (ⅰ)求椭圆的方程； (ⅱ)求动圆圆心轨迹的方程；‎ ‎(Ⅱ) 在曲线上有四个不同的点，满足与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值．‎ 解：(Ⅰ)(ⅰ)由已知可得，‎ 则所求椭圆方程.‎ ‎(ⅱ)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为. ‎ ‎(Ⅱ)由题设知直线的斜率均存在且不为零 设直线的斜率为，，则直线的方程为：‎ 联立 消去可得 ‎ 由抛物线定义可知:‎ 同理可得 ‎ 又 ‎(当且仅当时取到等号)‎ 所以四边形面积的最小值为.‎ 练习：已知椭圆E：，点P是椭圆上一点。‎ ‎（1）求的最值。‎ ‎（2）若四边形ABCD内接于椭圆E，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形面积的最大值。‎ 解：（1）由得，则 则 所以的最大值为25，最小值为16。‎ ‎（2）如图，由及椭圆方程得A（5，0）。同理C（0，4），设为椭圆上任一点，又AC方程为，即。所以B到AC的距离为 同理得D到直线AC的距离 所以四边形ABCD最大面积。‎