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  • 2021-05-13 发布

江苏高考数学二轮复习练习4平面向量有答案

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专题限时集训(四) 平面向量 ‎(对应学生用书第86页)‎ ‎(限时:120分钟)‎ 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案填写在题中横线上.)‎ ‎1.(广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试)已知向量=,=,则∠ABC=________.‎ ‎60° [cos∠ABC= ‎= ‎=,所以∠ABC=60°.]‎ ‎2.已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),则实数t的值为________.‎ ‎-5 [∵a=(1,-1),b=(6,-4),∴ta+b=(t+6,-t-4).‎ 又a⊥(ta+b),则a·(ta+b)=0,即t+6+t+4=0,解得t=-5.]‎ ‎3.(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)已知a,b均为单位向量,且(‎2a+b)·(a-2b)=-, 则向量a,b的夹角为________. ‎ ‎【导学号:56394025】‎  [向量a,b的夹角为θ,因为|a|=|b|=1,所以(‎2a+b)·(a-2b)=-‎3a·b=-3cos θ=-,即cos θ=,θ=.]‎ ‎4.(四川省凉山州2017届高中毕业班第一 次诊断性检测)设向量a=(cos x,-sin x),b=,且a=tb,t≠0,则sin 2x的值等于________.‎ ‎±1 [因为b==(-sin x,cos x),a=tb,所以cos xcos x-(-sin x)(-sin x)=0,即cos2x-sin2x=0,所以tan2x=1,tan x=±1,x=+(k∈Z),2x=kπ+(k∈Z),sin 2x=±1.]‎ ‎5.(河北唐山市2017届高三年级期末)设向量a与b 的夹角为θ,且a=(-2,1),a+2b=(2,3),则cos θ=________.‎ ‎- [因为(a+2b)-a=2b=(4,2),所以b=(2,1),所以cos θ===-.]‎ ‎6.(天津六校2017届高三上学期期中联考)设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|=________.‎  [因为a⊥b⇒a·b=0⇒x-2=0⇒x=2,所以|a+b|=|(3,-1)|=. ]‎ ‎7.(2017·江苏省无锡市高考数学一模)在△ABC中,已知AB=1,AC=2,∠A=60°,若点P满足=+λ,且·=1,则实数λ的值为________.‎ ‎-或1 [△ABC中,AB=1,AC=2,∠A=60°,点P满足=+λ,‎ ‎∴-=λ,∴=λ;‎ 又=-=(+λ)-=+(λ-1),‎ ‎∴·=λ·[+(λ-1)]‎ ‎=λ·+λ(λ-1)2‎ ‎=λ×2×1×cos 60°+λ(λ-1)×22=1,‎ 整理得4λ2-3λ-1=0,解得λ=-或λ=1,‎ ‎∴实数λ的值为-或1.]‎ ‎8.(天津六校2017届高三上学期期中联考)D为△ABC的边BC上一点,=-2,过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F,若=λ,=μ,其中λ>0,μ>0,则+=________.‎ ‎3 [因为=+=m+n=mλ+nμ(m+n=1),所以mλ=,nμ=⇒+=‎3m+3n=3.]‎ ‎9.(2017·江苏省盐城市高考数学二模)已知平面向量=(1,2),=(-2,2),则·的最小值为________.‎ ‎- [设A(a,b),B(c,d),‎ ‎∵=(1,2),=(-2,2),‎ ‎∴C(a+1,b+2),D(c-2,d+2),‎ 则=(c-a,d-b),=(c-a-3,d-b),‎ ‎∴·=(c-a)(c-a-3)+(b-d)2‎ ‎=(c-a)2-3(c-a)+(b-d)2=2-+(b-d)2≥-.‎ ‎∴·的最小值为-.]‎ ‎10.(广东2017届高三上学期阶段测评(一) )已知向量,,满足=+,||=2,||=1,E,F分别是线段BC,CD的中点,若·=-,则向量与的夹角为________. ‎  [=-,=-,∴·=--+=-+·=-.‎ ‎∴·=1,cos〈,〉=,∴与的夹角为.]‎ ‎11.(2017·江苏省淮安市高考数学二模)如图4-8,在平面四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA=3,OC=5,若·=-7,则·的值是________. ‎ ‎【导学号:56394026】‎ 图4-8‎ ‎9 [平面四边形ABCD中,O为BD的中点,‎ 且OA=3,OC=5,∴+=0;‎ 若·=-7,‎ 则(+)·(+)=2+·+·+· ‎=2+·(+)-2‎ ‎=32-2=-7;‎ ‎∴2=16,‎ ‎∴||=||=4;‎ ‎∴·=(+)·(+)‎ ‎=·+·+·+2‎ ‎=-2+·(+)+2‎ ‎=-42+0+52=9.]‎ ‎12.(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E,F,且交其对角线AC于K,若 =2,=3,=λ(λ∈R),则λ=________.‎ ‎5 [由平行四边形法则,知=+,所以==(+)=(2+3)=+,又E,K,F三点共线,所以+=1,解得λ=5.]‎ ‎13.(江苏省南京市2017届高考三模)在凸四边形ABCD中,BD=2,且·=0,(+)·(+)=5,则四边形ABCD的面积为________.‎ ‎3 [∵·=0,∴AC⊥BD,‎ ‎∵(+)·(+)=5,‎ ‎∴(+++)·(+++)=(+)·(+)=2-2=5,‎ ‎∴2=2+5=9,∴AC=3.‎ ‎∴四边形ABCD的面积S=×AC×BD=×3×2=3.]‎ ‎14.(江苏省扬州市2017届高三上学期期末)已知△ABC是边长为3的等边三角形,点P是以A为圆心的单位圆上一动点,点Q满足=+,则||的最小值是________.‎  [如图建立平面直角坐标系,设P(cos θ,sin θ),则A(0,0),B,C;‎ =+=(cos θ,sin θ)+=.‎ =+=,‎ 则||==≥==.]‎ 二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.(本小题满分14分)已知直线l1与圆C:(x-1)2+(y-2)2=4相交于不同的A,B两点,对平面内任意的点Q都有=λ+(1-λ).设P为直线l2:3x+4y+4=0上的动点,求·的最小值.‎ ‎[解] 由=λ+(1-λ)可知,A,B,C三点共线,即弦AB为圆C的直径. 4分 又因为P为直线l2:3x+4y+4=0上的动点,且·=(+)·(+)=2-2=2-4,故·的最小值为2-4的最小值. 10分 又因为圆心C(1,2)到直线l2:3x+4y+4=0的距离为=3,故||min=3,所以·的最小值为9-4=5. 14分 ‎16.(本小题满分14分)(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知向量m=(cos x,-1),n=(sin x,cos2x).‎ ‎(1)当x=时,求m·n的值;‎ ‎(2)当x∈,且m·n=-,求cos 2x的值.‎ ‎[解] (1)当x=时,m=,n=,∴m·n=-=. 6分 ‎(2)m·n=sin xcos x-cos2x=sin 2x-cos 2x-=sin-,8分 若m·n=-,则sin=,‎ ‎∵x∈,∴2x-∈,‎ ‎∴cos=.‎ ‎∴cos 2x=cos=coscos-sinsin =×-×=. 14分 ‎17.(本题满分14分)(无锡市普通高中2017届高三上学期期中基础性检测)已知三点A(1,-1),B(3,0),C(2,1),P为平面ABC上的一点,=λ+μ且·=0,·=3.‎ ‎(1)求·;‎ ‎(2)求λ+μ的值. ‎ ‎【导学号:56394027】‎ ‎[解] (1)因为=(2,1),=(1,2), 2分 所以·=2+2=4.4分 ‎(2)因为·=0,所以⊥,‎ 因为=(2,1),设=(a,-‎2a), 6分 因为·=3,所以(a,-‎2a)·(1,2)=3,a-‎4a=3,a=-1,8分 =(-1,2),因为=(1,2),所以(-1,2)=λ(2,1)+μ(1,2),10分 所以则λ+μ=. 14分 ‎18.(本小题满分16分)如图4-9,已知点O为△ABC的外心,∠BAC,∠ABC,∠ACB的对边分别为a,b,c,且2+3+4=0.‎ 图4-9‎ ‎(1)求cos∠BOC的值;‎ ‎(2)若△ABC的面积为,求b2+c2-a2的值.‎ ‎[解] (1)设△ABC外接圆的半径为R,由2+3+4=0得3+4=-2,‎ 两边平方得9R2+16R2+24R2cos∠BOC=4R2,‎ 所以cos∠BOC==-. 6分 ‎(2)由题意可知∠BOC=2∠BAC,∠BAC∈,cos∠BOC=cos 2∠BAC=2cos2∠BAC-1=-,从而cos∠‎ BAC=,10分 所以sin∠BAC==,‎ ‎△ABC的面积S=bcsin∠BAC=bc=,故bc=8,从而b2+c2-a2=2bccos∠BAC=2×8×=4.16分 ‎19.(本小题满分16分)已知两定点M(4,0),N(1,0),动点P满足||=2||.‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程;‎ ‎(2)若点G(a,0)是轨迹C内部一点,过点G的直线l交轨迹C于A,B两点,令f (a)=·,求f (a)的取值范围.‎ ‎[解] (1)设P的坐标为(x,y),则=(4-x,-y),=(1-x,-y).‎ ‎∵动点P满足||=2||,∴=2,‎ 整理得x2+y2=4. 6分 ‎(2)(a)当直线l的斜率不存在时,直线的方程为x=a,不妨设A在B的上方,直线方程与x2+y2=4联立,可得A(a,),B(a,-),∴f (a)=·=(0,)·(0,-)=a2-4; 8分 ‎(b)当直线l的斜率存在时,设直线的方程为y=k(x-a),‎ 代入x2+y2=4,整理可得(1+k2)x2-2ak2x+(k‎2a2-4)=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=,x1x2=,‎ ‎∴f (a)=·=(x1-a,y1)·(x2-a,y2)=x1x2-a(x1+x2)+a2+k2(x1-a)(x2-a)=a2-4.‎ 由(a)(b)得f (a)=a2-4. 14分 ‎∵点G(a,0)是轨迹C内部一点,‎ ‎∴-2