高考真题——理科数学浙江卷 7页

‎2014年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（浙江卷）‎ 一．选择题：每小题5分，共50分。‎ ‎ 1．设全集，集合，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ 2．已知是虚数单位，，则“”是“”的（ ）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎3．某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的表面积是（ ） ‎ ‎（A）90 （B）129 ‎ ‎（C）132 （D）138‎ ‎4．为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ） （A）向右平移个单位 （B）向左平移个单位 ‎ ‎（C）向右平移个单位 （D）向左平移个单位 ‎5．在的展开式中，记项的系数为，则（ ） （A）45 （B）60 （C）120 （D）210‎ ‎ 6．已知函数，且，则（ ） （A） （B） （C） （D）‎ ‎7．在同一直角坐标系中，函数，的图像可能是（ ） ‎ ‎8．记，，设为平面向量，则（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎9．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中。⑴放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；⑵放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为。则（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎10．设函数，，，，记，则（ ） ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 二．填空题：每小题4分，共28分。‎ ‎ 11．若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________。‎ ‎ 12．随机变量的取值为，若，，则 ________。‎ ‎ 13．当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是________。‎ ‎ 14．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖。将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种（用数字作答）。‎ ‎ 15．设函数，若，则实数的取值范围是________。‎ ‎ 16．设直线与双曲线 两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是________。‎ ‎ 17．如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练。已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小。若，，，则的最大值等于________。（仰角为直线与平面所成角）‎ 三．解答题：本大题共5小题，共72分。‎ ‎18．（本题满分14分）在中，内角所对边分别为。已知，，。‎ ⑴求角的大小；⑵若，求的面积。‎ ‎ 19．（本题满分14分）已知数列和满足，若为等比数列，且，。⑴求与；⑵设。记数列的前项和为。①求；②求正整数，使得对任意，均有。‎ ‎ 20．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面平面,，，，。⑴证明：平面；⑵求二面角的大小。‎ ‎ 21．（本题满分15分）如图，设椭圆：，动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限。⑴已知直线的斜率为，用表示点的坐标；⑵若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为。‎ ‎22．（本题满分14分）已知函数。⑴若在上的最大值和最小值分别记为，求；⑵设，若 对恒成立，求的取值范围。‎ ‎2014年普通高校招生全国统考数学试卷浙江卷解答 一．BADCC CDDAB 二．11．6；12．；13．；14．60；15．；16．；17．‎ ‎18．解：⑴由题即，也即。由得，又，故。从而可得；‎ ⑵由，，得，由得，从而，故，所以的面积为。‎ ‎19．解：⑴由题，，知，又，得公比（舍去），所以数列的通项公式为，所以，故数列的通项公式为，；‎ ⑵①由⑴知，所以；‎ ②因为；当时，，而，得，所以当时，，综上对任意恒有，故。‎ ‎20．解：⑴在直角梯形中，由，得，‎ ‎，由，则，即，又平面平面，从而平面，所以，又，从而平面；‎ ⑵法一：作，与交于点，过作，与交于点，连结，由⑴知，则，所以是二面角的平面角。在直角梯形中，由得，又平面平面，得平面，从而，由于平面，得。在中，由，，得。在中，，，得。在中，，，，得，，从而，在中，利用余弦定理分别可得，在中，，所以，即二面角的大小是。‎ 法二：以为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，由题可知，设平面的法向量为，平面的法向量为，可算得，，，由得，可取。由得，可取。于是，由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角的大小是。‎ ‎21．解：⑴设直线的方程为，由，消去得，，由于直线与椭圆只有一个公共点，故，解得点的坐标为。由点在第一象限，故点的坐标为；‎ ⑵由题：，故到的距离，整理得。因为，所以，当且仅当时等号成立，所以点到直线的距离的最大值为。‎ ‎22．解：⑴因为，所以，由于，①当时，有，故，此时在上是增函数，因此，，；‎ ②当时，若，在上是增函数；若，在上是减函数。所以，，由于，因此，当时，，当时，；③当时，有，故，此时在上是减函数，因此，，故 ‎。综上；‎ ⑵令，则，，因为，对恒成立，即对恒成立，所以由⑴知，①当时，在上是增函数，在上的最大值是，最小值是，则，且，矛盾；②当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，从而且，令，则，在上单增，故，因此；③当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，解得；④当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，解得，综上。‎