高考真题——文科数学大纲版解析版 8页

‎2014年普通高等学校统一考试（大纲）‎ 文科 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合，则中元素的个数为（ ）‎ A．2 B．3 C．5 D．7‎ ‎2. 已知角的终边经过点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 不等式组的解集为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4.已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 函数的反函数是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6. 已知为单位向量，其夹角为，则（ ）‎ A．－1 B．0 C．1 D．2‎ ‎7. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）‎ A．60种 B．70种 C．75种 D．150种 ‎ ‎8. 设等比数列的前n项和为，若则（ ）‎ A．31 B．32 C．63 D．64‎ ‎9. 已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 双曲线C：的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（ ）‎ A．2 B． C．4 D．‎ ‎12. 奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则 A．－2 B．－1 C．0 D．1 （ ）‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 的展开式中的系数为 .（用数字作答）‎ ‎14. 函数的最大值为 .‎ ‎15. 设x、y满足约束条件，则的最大值为 .‎ ‎16. 直线和是圆的两条切线，若与的交点为（1,3），则与的夹角的正切值等于 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 数列满足.‎ ‎（1）设，证明是等差数列；‎ ‎（2）求的通项公式.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，求B.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ ‎ 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．‎ ‎(1) 求同一工作日至少3人需使用设备的概率；‎ ‎(2) 实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x (a≠0)．‎ ‎(1) 讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2) 若f(x)在区间(1，2)是增函数，求a的取值范围．‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线y＝4与 y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.‎ ‎(1) 求C的方程；‎ ‎(2) 过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．‎ ‎2014高考大纲版理科数学参考答案 一、选择题 ‎1．B　[解析] 根据题意知M∩N＝{1，2，4，6，8}∩{1，2，3，5，6，7}＝{1，2，6}，所以M∩N中元素的个数是3.‎ ‎2．D　[解析] 根据题意，cos α＝＝－.‎ ‎3．C　[解析] 由得即0－1，所以y∈R，所以函数y＝‎ ln(＋1)(x>－1)的反函数是y＝(ex－1)3(x∈R)．‎ ‎6．B　[解析] 因为a，b为单位向量，且其夹角为60°，所以(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cos 60°－|b|2＝0.‎ ‎7．C　[解析] 由题意，从6名男医生中选出2名，5名女医生中选出1名组成一个医疗小组，不同的选法共有CC＝75(种)．‎ ‎8．C　[解析] 设等比数列{an}的首项为a，公比为q，易知q≠1，根据题意可得解得q2＝4，＝－1，所以S6＝＝(－1)(1－43)＝63.‎ ‎9．A　[解析] 根据题意，因为△AF1B的周长为4，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，所以a＝.又因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎10．A　[解析] 如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AE＝AC＝.设球心为O，球的半径为R，则OE＝4－R，OA＝R.又因为△AOE为直角三角形，所以OA2＝OE2＋AE2，即R2＝(4－R)2＋2，解得R＝，所以该球的表面积S＝4πR2＝4π2＝.‎ ‎11．C　[解析] 易知双曲线－＝1的渐近线方程是y＝±x，不妨设焦点(c，0)到其中一条渐近线x－y＝0的距离为，则＝，整理得b＝.又双曲线C的离心率e＝＝2，c2＝a2＋b2，所以c＝2，即2c＝4，即双曲线C的焦距等于4.‎ ‎12．D　[解析] 因为f(x＋2)为偶函数，所以其对称轴为直线x＝0，所以函数f(x)的图像的对称轴为直线x＝2.又因为函数f(x)是奇函数，其定义域为R，所以f(0)＝0，所以f(8)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(0)＝0，故f(8)＋f(9)＝0＋f(－5)＝－f(5)＝－f(－1)＝f(1)＝1.‎ 二、填空题 ‎13．－160　[解析] (x－2)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r(－2)r，令6－r＝3，解得r＝3.因为C(－2)3＝－160，所以x3的系数为－160.‎ ‎14. 　[解析] 因为y＝cos 2x＋2sin x＝1－2sinx2＋2sin x＝－2＋，所以当sin x＝时函数y＝cos 2x＋2sin x取得最大值，最大值为.‎ ‎15．5　[解析] 如图所示，满足约束条件的可行域为△ABC 的内部(包括边界)，z＝x＋4y的最大值即为直线y＝－x＋z的截距最大时z的值．结合题意知，当y＝－x＋z经过点A时，z取得最大值，联立x－y＝0和x＋2y＝3，可得点A的坐标为(1，1)，所以zmax＝1＋4＝5.‎ ‎16. 　[解析] 如图所示，根据题意知，OA⊥PA，OA＝，OP＝，所以PA＝＝2 ，所以tan ∠OPA＝＝＝，故tan ∠APB＝＝，即l1与l2的夹角的正切值等于.‎ 三、解答题 ‎17．解：(1)由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，‎ 即bn＋1＝bn＋2. 又b1＝a2－a1＝1，‎ 所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．‎ ‎(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)，‎ 即an＋1－an＝2n－1.‎ 于是 ，‎ 所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.‎ 又a1＝1，所以{an}的通项公式an＝n2－2n＋2.‎ ‎18．解：由题设和正弦定理得3sin Acos C＝2sin Ccos A，故3tan Acos C＝2sin C.‎ 因为tan A＝，所以cos C＝2sin C，所以tan C＝，‎ 所以tan B＝tan[180°－(A＋C)]‎ ‎＝－tan(A＋C)＝＝－1，‎ 所以B＝135°.‎ ‎19．解：方法一：(1) 证明：因为A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，故平面AA1C1C⊥平面ABC.又BC⊥AC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，所以BC⊥平面AA1C1C.‎ 连接A1C，因为侧面AA1C1C为菱形，故AC1⊥A1C.‎ 由三垂线定理得AC1⊥A1B.‎ ‎(2) BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1.‎ 作A1E⊥CC1，E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1.‎ 又直线AA1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E＝.‎ 因为A1C为∠ACC1的平分线，故A1D＝A1E＝.‎ 作DF⊥AB，F为垂足，连接A1F.由三垂线定理得A1F⊥AB，‎ 故∠A1FD为二面角A1 AB C的平面角．‎ 由AD＝＝1，得D为AC中点，‎ 所以DF＝，tan∠A1FD＝＝，所以cos∠A1FD＝.‎ 所以二面角A1 AB C的大小为arccos.‎ 方法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直线坐标系C xyz.由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内．‎ ‎(1) 证明：设A1(a，0，c)，由题设有a≤2，A(2，0，0)，B(0，1，0)，则＝(－2，1，0)，＝(－2，0，0)，＝(a－2，0，c)，＝＋＝(a－4，0，c)，＝(a，－1，c)．‎ 由||＝2，得＝2，即 a2－4a＋c2＝0.　　①‎ 又·＝a2－4a＋c2＝0，所以AC1⊥A1B.‎ ‎(2) 设平面BCC1B1的法向量m＝(x，y，z)，‎ 则m⊥，m⊥，即m·CB＝0，m·＝0.‎ 因为＝(0，1，0)，＝＝(a－2，0，c)，所以y＝0，且(a－2)x＋cz＝0.‎ 令x＝c，则z＝2－a，所以m＝(c，0，2－a)，故点A到平面BCC1B1的距离为||·|cos〈m，〉|＝＝＝c.‎ 又依题设，A到平面BCC1B1的距离为，所以c＝，‎ 代入①，解得a＝3(舍去)或a＝1，于是＝(－1，0，)．‎ 设平面ABA1 的法向量n＝(p，q，r)，则n⊥，n⊥，即n·＝0，n·＝0，‎ 所以－p＋r＝0，且－2p＋q＝0.令p＝，则q＝2 ，r＝1，所以n＝(，2 ，1)．‎ 又p＝(0，0，1)为平面ABC的法向量，故 cos〈n，p〉＝＝，‎ 所以二面角A1 AB C的大小为arccos.‎ ‎20．解：记A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2.‎ B表示事件：甲需使用设备．‎ C表示事件：丁需使用设备．‎ D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．‎ E表示事件：同一工作日4人需使用设备．‎ F表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k.‎ ‎(1) 因为P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝C0.52，i＝0，1，2，‎ 所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.‎ ‎(2) 由(1)知，若k＝2，则P(F)＝0.31＞0.1，‎ P(E)＝P(B·C·A2)＝P(B)P(C)P(A2)＝0.06.‎ 若k＝3，则P(F)＝0.06＜0.1，‎ 所以k的最小值为3.‎ ‎21．解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3，f′(x)＝0的判别式Δ＝36(1－a)．‎ ‎(i) 若a≥1，则f′(x)≥0，且f′(x)＝0当且仅当a＝1，x＝－1时成立．故此时f(x)在R上是增函数．‎ ‎(ii) 由于a≠0，故当a＜1时，f′(x)＝0有两个根；‎ x1＝，x2＝.‎ 若0＜a＜1，则当x∈(－∞，x2)或x∈(x1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)分别在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函数；‎ 当x∈(x2，x1)时，f′(x)<0，故f(x)在(x2，x1)是减函数．‎ 若a＜0，则当x∈(－∞，x1)或(x2，＋∞)时，f′(x)＜0，故f(x)分别在(－∞，x1)，(x2，＋∞)是减函数；‎ 当x∈(x1，x2)时f′(x)＞0，故f(x)在(x1，x2)是增函数．‎ ‎(2) 当a＞0，x＞0时，f′(x)＝3ax2＋6x＋3＞0，故当a＞0时，f(x)在区间(1，2)是增函数．‎ 当a＜0时，f(x)在区间(1，2)是增函数当且仅当f′(1)≥0且f′(2)≥0，解得－≤a＜0.‎ 综上，a的取值范围是∪(0，＋∞)．‎ ‎22．解：(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px，得x0＝，‎ 所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.‎ 由题设得＋＝，解得p＝－2(舍去)或p＝2，‎ 所以C的方程为y2＝4x.‎ ‎(2) 依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．‎ 代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.‎ 故线段AB的中点为D(2m2＋1，2m)，‎ ‎|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．‎ 又直线l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.‎ 将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋ y－4(2m2＋3)＝0.‎ 设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．‎ 故线段MN的中点为E，‎ ‎|MN|＝|y3－y4|＝.‎ 由于线段MN垂直平分线段AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，从而 |AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即 ‎4(m2＋1)2＋＋＝‎ ，‎ 化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.‎ 所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.‎