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  • 2021-05-13 发布

高考真题——文科数学大纲版解析版

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‎2014年普通高等学校统一考试(大纲)‎ 文科 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合,则中元素的个数为( )‎ A.2 B.3 C.5 D.7‎ ‎2. 已知角的终边经过点,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 不等式组的解集为( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎4.已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 函数的反函数是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎6. 已知为单位向量,其夹角为,则( )‎ A.-1 B.0 C.1 D.2‎ ‎7. 有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )‎ A.60种 B.70种 C.75种 D.150种 ‎ ‎8. 设等比数列的前n项和为,若则( )‎ A.31 B.32 C.63 D.64‎ ‎9. 已知椭圆C:的左、右焦点为、,离心率为,过的直线交C于A、B两点,若的周长为,则C的方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10. 正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高位4,底面边长为2,则该球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 双曲线C:的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于( )‎ A.2 B. C.4 D.‎ ‎12. 奇函数的定义域为R,若为偶函数,且,则 A.-2 B.-1 C.0 D.1 ( )‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13. 的展开式中的系数为 .(用数字作答)‎ ‎14. 函数的最大值为 .‎ ‎15. 设x、y满足约束条件,则的最大值为 .‎ ‎16. 直线和是圆的两条切线,若与的交点为(1,3),则与的夹角的正切值等于 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. (本小题满分10分)‎ 数列满足.‎ ‎(1)设,证明是等差数列;‎ ‎(2)求的通项公式.‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知,求B.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 如图,三棱柱中,点在平面ABC内的射影D在AC上,,.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)设直线与平面的距离为,求二面角的大小.‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ ‎ 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.‎ ‎(1) 求同一工作日至少3人需使用设备的概率;‎ ‎(2) 实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k的最小值.‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 函数f(x)=ax3+3x2+3x (a≠0).‎ ‎(1) 讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2) 若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.‎ ‎22. (本小题满分12分)‎ 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与 y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.‎ ‎(1) 求C的方程;‎ ‎(2) 过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.‎ ‎2014高考大纲版理科数学参考答案 一、选择题 ‎1.B [解析] 根据题意知M∩N={1,2,4,6,8}∩{1,2,3,5,6,7}={1,2,6},所以M∩N中元素的个数是3.‎ ‎2.D [解析] 根据题意,cos α==-.‎ ‎3.C [解析] 由得即0-1,所以y∈R,所以函数y=‎ ln(+1)(x>-1)的反函数是y=(ex-1)3(x∈R).‎ ‎6.B [解析] 因为a,b为单位向量,且其夹角为60°,所以(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cos 60°-|b|2=0.‎ ‎7.C [解析] 由题意,从6名男医生中选出2名,5名女医生中选出1名组成一个医疗小组,不同的选法共有CC=75(种).‎ ‎8.C [解析] 设等比数列{an}的首项为a,公比为q,易知q≠1,根据题意可得解得q2=4,=-1,所以S6==(-1)(1-43)=63.‎ ‎9.A [解析] 根据题意,因为△AF1B的周长为4,所以|AF1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4,所以a=.又因为椭圆的离心率e==,所以c=1,b2=a2-c2=3-1=2,所以椭圆C的方程为+=1.‎ ‎10.A [解析] 如图所示,因为正四棱锥的底面边长为2,所以AE=AC=.设球心为O,球的半径为R,则OE=4-R,OA=R.又因为△AOE为直角三角形,所以OA2=OE2+AE2,即R2=(4-R)2+2,解得R=,所以该球的表面积S=4πR2=4π2=.‎ ‎11.C [解析] 易知双曲线-=1的渐近线方程是y=±x,不妨设焦点(c,0)到其中一条渐近线x-y=0的距离为,则=,整理得b=.又双曲线C的离心率e==2,c2=a2+b2,所以c=2,即2c=4,即双曲线C的焦距等于4.‎ ‎12.D [解析] 因为f(x+2)为偶函数,所以其对称轴为直线x=0,所以函数f(x)的图像的对称轴为直线x=2.又因为函数f(x)是奇函数,其定义域为R,所以f(0)=0,所以f(8)=f(-4)=-f(4)=-f(0)=0,故f(8)+f(9)=0+f(-5)=-f(5)=-f(-1)=f(1)=1.‎ 二、填空题 ‎13.-160 [解析] (x-2)6的展开式的通项为Tr+1=Cx6-r(-2)r,令6-r=3,解得r=3.因为C(-2)3=-160,所以x3的系数为-160.‎ ‎14.  [解析] 因为y=cos 2x+2sin x=1-2sinx2+2sin x=-2+,所以当sin x=时函数y=cos 2x+2sin x取得最大值,最大值为.‎ ‎15.5 [解析] 如图所示,满足约束条件的可行域为△ABC 的内部(包括边界),z=x+4y的最大值即为直线y=-x+z的截距最大时z的值.结合题意知,当y=-x+z经过点A时,z取得最大值,联立x-y=0和x+2y=3,可得点A的坐标为(1,1),所以zmax=1+4=5.‎ ‎16.  [解析] 如图所示,根据题意知,OA⊥PA,OA=,OP=,所以PA==2 ,所以tan ∠OPA===,故tan ∠APB==,即l1与l2的夹角的正切值等于.‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)由an+2=2an+1-an+2,得an+2-an+1=an+1-an+2,‎ 即bn+1=bn+2. 又b1=a2-a1=1,‎ 所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.‎ ‎(2)由(1)得bn=1+2(n-1),‎ 即an+1-an=2n-1.‎ 于是 ,‎ 所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.‎ 又a1=1,所以{an}的通项公式an=n2-2n+2.‎ ‎18.解:由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A,故3tan Acos C=2sin C.‎ 因为tan A=,所以cos C=2sin C,所以tan C=,‎ 所以tan B=tan[180°-(A+C)]‎ ‎=-tan(A+C)==-1,‎ 所以B=135°.‎ ‎19.解:方法一:(1) 证明:因为A1D⊥平面ABC,A1D⊂平面AA1C1C,故平面AA1C1C⊥平面ABC.又BC⊥AC,平面AA1C1C∩平面ABC=AC,所以BC⊥平面AA1C1C.‎ 连接A1C,因为侧面AA1C1C为菱形,故AC1⊥A1C.‎ 由三垂线定理得AC1⊥A1B.‎ ‎(2) BC⊥平面AA1C1C,BC⊂平面BCC1B1,故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1.‎ 作A1E⊥CC1,E为垂足,则A1E⊥平面BCC1B1.‎ 又直线AA1∥平面BCC1B1,因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离,即A1E=.‎ 因为A1C为∠ACC1的平分线,故A1D=A1E=.‎ 作DF⊥AB,F为垂足,连接A1F.由三垂线定理得A1F⊥AB,‎ 故∠A1FD为二面角A1 AB C的平面角.‎ 由AD==1,得D为AC中点,‎ 所以DF=,tan∠A1FD==,所以cos∠A1FD=.‎ 所以二面角A1 AB C的大小为arccos.‎ 方法二:以C为坐标原点,射线CA为x轴的正半轴,以CB的长为单位长,建立如图所示的空间直线坐标系C xyz.由题设知A1D与z轴平行,z轴在平面AA1C1C内.‎ ‎(1) 证明:设A1(a,0,c),由题设有a≤2,A(2,0,0),B(0,1,0),则=(-2,1,0),=(-2,0,0),=(a-2,0,c),=+=(a-4,0,c),=(a,-1,c).‎ 由||=2,得=2,即 a2-4a+c2=0.  ①‎ 又·=a2-4a+c2=0,所以AC1⊥A1B.‎ ‎(2) 设平面BCC1B1的法向量m=(x,y,z),‎ 则m⊥,m⊥,即m·CB=0,m·=0.‎ 因为=(0,1,0),==(a-2,0,c),所以y=0,且(a-2)x+cz=0.‎ 令x=c,则z=2-a,所以m=(c,0,2-a),故点A到平面BCC1B1的距离为||·|cos〈m,〉|===c.‎ 又依题设,A到平面BCC1B1的距离为,所以c=,‎ 代入①,解得a=3(舍去)或a=1,于是=(-1,0,).‎ 设平面ABA1 的法向量n=(p,q,r),则n⊥,n⊥,即n·=0,n·=0,‎ 所以-p+r=0,且-2p+q=0.令p=,则q=2 ,r=1,所以n=(,2 ,1).‎ 又p=(0,0,1)为平面ABC的法向量,故 cos〈n,p〉==,‎ 所以二面角A1 AB C的大小为arccos.‎ ‎20.解:记A1表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2.‎ B表示事件:甲需使用设备.‎ C表示事件:丁需使用设备.‎ D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.‎ E表示事件:同一工作日4人需使用设备.‎ F表示事件:同一工作日需使用设备的人数大于k.‎ ‎(1) 因为P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=C0.52,i=0,1,2,‎ 所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2·B·C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2·B·C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31.‎ ‎(2) 由(1)知,若k=2,则P(F)=0.31>0.1,‎ P(E)=P(B·C·A2)=P(B)P(C)P(A2)=0.06.‎ 若k=3,则P(F)=0.06<0.1,‎ 所以k的最小值为3.‎ ‎21.解:(1)f′(x)=3ax2+6x+3,f′(x)=0的判别式Δ=36(1-a).‎ ‎(i) 若a≥1,则f′(x)≥0,且f′(x)=0当且仅当a=1,x=-1时成立.故此时f(x)在R上是增函数.‎ ‎(ii) 由于a≠0,故当a<1时,f′(x)=0有两个根;‎ x1=,x2=.‎ 若0<a<1,则当x∈(-∞,x2)或x∈(x1,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)分别在(-∞,x2),(x1,+∞)是增函数;‎ 当x∈(x2,x1)时,f′(x)<0,故f(x)在(x2,x1)是减函数.‎ 若a<0,则当x∈(-∞,x1)或(x2,+∞)时,f′(x)<0,故f(x)分别在(-∞,x1),(x2,+∞)是减函数;‎ 当x∈(x1,x2)时f′(x)>0,故f(x)在(x1,x2)是增函数.‎ ‎(2) 当a>0,x>0时,f′(x)=3ax2+6x+3>0,故当a>0时,f(x)在区间(1,2)是增函数.‎ 当a<0时,f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当f′(1)≥0且f′(2)≥0,解得-≤a<0.‎ 综上,a的取值范围是∪(0,+∞).‎ ‎22.解:(1)设Q(x0,4),代入y2=2px,得x0=,‎ 所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.‎ 由题设得+=,解得p=-2(舍去)或p=2,‎ 所以C的方程为y2=4x.‎ ‎(2) 依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).‎ 代入y2=4x,得y2-4my-4=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.‎ 故线段AB的中点为D(2m2+1,2m),‎ ‎|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).‎ 又直线l′的斜率为-m,所以l′的方程为x=-y+2m2+3.‎ 将上式代入y2=4x,并整理得y2+ y-4(2m2+3)=0.‎ 设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).‎ 故线段MN的中点为E,‎ ‎|MN|=|y3-y4|=.‎ 由于线段MN垂直平分线段AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而 |AB|2+|DE|2=|MN|2,即 ‎4(m2+1)2++=‎ ,‎ 化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.‎ 所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.‎