高考第一轮复习数学132数列的极限 10页

‎13.2 数列的极限 ‎●知识梳理 ‎1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限.‎ 注：a不一定是｛an｝中的项.‎ ‎2.几个常用的极限：①C=C（C为常数）;②=0;③qn=0（|q|＜1）.‎ ‎3.数列极限的四则运算法则：设数列｛an｝、｛bn｝，‎ 当an=a, bn=b时， （an±bn）=a±b;‎ （an·bn）=a·b; =（b≠0）.‎ 特别提示 ‎（1）an、bn的极限都存在时才能用四则运算法则；‎ ‎（2）可推广到有限多个.‎ ‎●点击双基 ‎1.下列极限正确的个数是 ‎①=0（α＞0） ②qn=0‎ ‎③=－1 ④C=C（C为常数）‎ A.2 B.3‎ C.4 D.都不正确 解析:①③④正确.‎ 答案:B ‎2. ［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］等于 A.0 B‎.1 ‎ C.2 D.3‎ 解析: ［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］‎ ‎=［n××××…×］‎ ‎==2.‎ 答案:C ‎3.下列四个命题中正确的是 A.若an2＝A2，则an＝A B.若an＞0，an＝A，则A＞0‎ C.若an＝A，则an2＝A2‎ D.若（an－b）＝0，则an＝bn 解析:排除法，取an＝（－１）n，排除A；‎ 取an＝，排除Ｂ；取an＝bn＝n，排除D．‎ 答案:C ‎4.（2005年春季上海,2） =__________.‎ 解析:原式===0.‎ 答案:0‎ ‎5.（2005年春季北京,9） =____________.‎ 解析:原式==.‎ 答案: 思考讨论 求数列极限时，如是不定型（,,∞－∞等），应先变形，再求极限，一般应如何变形？‎ ‎●典例剖析 ‎【例1】 求下列极限：‎ ‎（1）;（2） （－n）;‎ ‎（3）（++…+）.‎ 剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.‎ 解:（1）==.‎ ‎（2） （－n）= ==.‎ ‎（3）原式===（1+）=1.‎ 评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式===1,②∵（2n 2+n+7）, （5n2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误： ①（－n）= －n=∞－∞=0;②原式=－n=∞－∞不存在.对于（3）要避免出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误.‎ ‎【例2】 已知数列｛an｝是由正数构成的数列，a1＝3，且满足lgan＝lgan－1＋lgc，其中n是大于1的整数，c是正数．‎ ‎（1）求数列｛an｝的通项公式及前n和Sn；‎ ‎（2）求的值．‎ 解:（1）由已知得an＝ｃ·an－1,‎ ‎∴｛an｝是以a1＝3，公比为c的等比数列，则an＝3·ｃn－1.‎ ‎∴Sn＝ ‎（2） ＝.‎ ‎①当c=2时，原式＝－;‎ ‎②当ｃ＞2时，原式＝＝－;‎ ‎③当0＜ｃ＜2时，原式=＝.‎ 评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.‎ ‎【例3】 已知直线l:x－ny=0（n∈N *）,圆M:（x+1）2+（y+1）2=1,抛物线:y=（x－1）2,又l与M交于点A、B，l与交于点C、D，求.‎ 剖析:要求的值，必须先求它与n的关系.‎ 解:设圆心M（－1,－1）到直线l的距离为d,则d2=.‎ 又r=1,∴|AB|2=4（1－d2）=.‎ 设点C（x1,y1）, D（x2,y2），‎ 由nx2－（2n+1）x+n=0,‎ ‎∴x1+x2=, x1·x2=1.‎ ‎∵（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2=,（y1－y2）2=（－）2=,‎ ‎∴|CD|2=（x1－x2）2+（y1－y2）2‎ ‎=（4n+1）（n2+1）.‎ ‎∴===2.‎ 评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求,这就要求掌握求弦长的方法.‎ ‎【例4】 若数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,an与an+1恰为方程x2－bnx+cn=0的两根,其中0＜|c|＜1,当 （b1+b2+…+bn）≤3,求c的取值范围.‎ 解:首先,由题意对任意n∈N*,an·an+1=cn恒成立.‎ ‎∴===c.又a1·a2=a2=c.‎ ‎∴a1,a3,a5,…,a2n－1,…是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,…,a2n,…是首项为c,公比为c的等比数列.其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立.‎ ‎∴==c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=‎2c,‎ ‎∴b1,b3,b5,…,b2n－1,…是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,…,b2n,…是首项为‎2c,公比为c的等比数列,‎ ‎∴ （b1+b2+b3+…+bn）= （b1+b3+b5+…）+ （b2+b4+…）=+≤3.‎ 解得c≤或c＞1.∵0＜|c|＜1,∴0＜c≤或－1＜c＜0.‎ 故c的取值范围是（－1,0）∪（0,］.‎ 评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将{bn}的各项和表示为关于c的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.‎ ‎●闯关训练 夯实基础 ‎1.已知a、b、c是实常数，且=2, =3,则的值是 A.2 B‎.3 C. D.6‎ 解析:由=2,得a=2b.‎ 由=3,得b=‎3c,∴c=b.‎ ‎∴=6.‎ ‎∴== =6.‎ 答案:D ‎2.（2003年北京）若数列{an}的通项公式是an=,n=1,2,…,则 （a1+a2+…+an）等于 A. B. C. D. 解析:an= 即an= ‎∴a1+a2+…+an=（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）.‎ ‎∴（a1+a2+…+an）=+= 答案:C ‎3.（2004年春季上海）在数列{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n,点（,）在直线x－y－=0上，则=__________________.‎ 解析:由题意得－= （n≥2）.‎ ‎∴{}是公差为的等差数列，=.‎ ‎∴=+（n－1）·=n.‎ ‎∴an=3n2.‎ ‎∴= ‎==3.‎ 答案:3‎ ‎4.（2004年 上海,4）设等比数列{an}（n∈N）的公比q=－,且（a1+a3+a5+…+a2n－1）=,则a1=_________________.‎ 解析:∵q=－,∴ （a1+a3+a5+…+a2n－1）==.∴a1=2.‎ 答案:2‎ ‎5.（2004年湖南,理8）数列{an}中,a1=,an+an+1=,n∈N*,则（a1+a2+…+an ‎）等于 A. B. C. D. 解析:2（a1+a2+…+an）=a1+［（a1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+…+（an－1+an）］+an=+[++…+]+an.‎ ‎∴原式=［++an］=（++an）.‎ ‎∵an+an+1=,∴an+an+1=0.‎ ‎∴an=0.‎ 答案:C ‎6.已知数列｛an｝满足（n－1）an+1=（n+1）（an－1）且a2=6,设bn=an+n（n∈N*）.‎ ‎（1）求{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求（+++…+）的值.‎ 解:（1）n=1时，由（n－1）an+1=（n+1）（an－1）,得a1=1.‎ n=2时，a2=6代入得a3=15.同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想bn=2n2.‎ 要证bn=2n2,只需证an=2n2－n.‎ ‎①当n=1时，a1=2×12－1=1成立.‎ ‎②假设当n=k时，ak=2k2－k成立.‎ 那么当n=k+1时，由（k－1）ak+1=（k+1）（ak－1）,得a k+1=（ak－1）‎ ‎=（2k2－k－1）=（2k+1）（k－1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）2－（k+1）.‎ ‎∴当n=k+1时，an=2n2－n正确，从而bn=2n2.‎ ‎（2）（++…+）=（++…+）‎ ‎=［++…+］‎ ‎=［1－+－+…+－］‎ ‎=［1+－－］=.‎ 培养能力 ‎7.已知数列{an}、{bn}都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且 =,求极限 （++…+）的值.‎ 解:{an}、{bn}的公差分别为d1、d2.‎ ‎∵2b2=a2+a3,即2（2+d2）=（3+d1）+（3+2d1）,‎ ‎∴2d2－3d1=2.‎ 又===,即d2=2d1,‎ ‎∴d1=2,d2=4.‎ ‎∴an=a1+（n－1）d1=2n+1,bn=b1+（n－1）d2=4n－2.‎ ‎∴==（－）.‎ ‎∴原式=（1－）=.‎ ‎8.已知数列｛an｝、{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中p＞q且p≠1,q≠1,设cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和，求.‎ 解:Sn=+,‎ 当p＞1时，p＞q＞0,得0＜＜1,上式分子、分母同除以pn－1，得 ‎∴=p.‎ 当p＜1时，0＜q＜p＜1, ==1.‎ 探究创新 ‎9.已知数列{an}满足a1=0,a2=1,an=,求an.‎ 解:由an=,得 ‎2an+an－1=2an－1+an－2,∴{2an+an－1}是常数列.‎ ‎∵2a2+a1=2,∴2an+an－1=2.‎ ‎∴an－=－（an－1－）.‎ ‎∴{an－}是公比为－,首项为－的等比数列.‎ ‎∴an－=－×（－）n－1.‎ ‎∴an=－×（－）n－1.‎ ‎∴an=.‎ ‎●思悟小结 ‎1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点：‎ ‎（1）各数列的极限必须存在；‎ ‎（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算.‎ ‎2.熟练掌握如下几个常用极限：‎ ‎（1） C=C（C为常数）;‎ ‎（2） （）p=0（p＞0）;‎ ‎（3） =（k∈N *,a、b、c、d∈R且c≠0）;‎ ‎（4） qn=0（|q|＜1）.‎ ‎●教师下载中心 教学点睛 ‎1.数列极限的几种类型：∞－∞,,0－0,等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限，另外还有先求和，约分后再求极限，对含参数的题目一定要控制好难度，不要太难了.‎ ‎2.重视在日常学习过程中化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用.‎ 拓展题例 ‎【例题】 已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且有（－qn）=,求首项a1的取值范围.‎ 解: （－qn）=,‎ ‎∴qn一定存在.∴0＜|q|＜1或q=1.‎ 当q=1时，－1=,∴a1=3.‎ 当0＜|q|＜1时，由（－qn）=得=,∴2a1－1=q.‎ ‎∴0＜|2a1－1|＜1.∴0＜a1＜1且a1≠.‎ 综上,得0＜a1＜1且a1≠或a1=3.‎