2011和2012全国各地高考数学概率统计试题汇编 34页

‎2012全国各地高考数学试题分类汇编 ‎（概率统计）‎ ‎1.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】选 ‎2.某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道类试题和一道类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有道试题，其中有道类型试题和道类型试题，以表示两次调题工作完成后，试题库中类试题的数量。‎ ‎（Ⅰ）求的概率；‎ ‎（Ⅱ）设，求的分布列和均值（数学期望）。‎ ‎【解析】（I）表示两次调题均为类型试题，概率为 ‎（Ⅱ）时，每次调用的是类型试题的概率为 ‎ 随机变量可取 ‎，，‎ 答：（Ⅰ）的概率为 ‎ （Ⅱ）求的均值为 ‎3.若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过‎1mm ‎ 时，则视为合格品，否则视为不合格品。在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品。计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm）, 将所得数据分组，得到如下频率分布表：‎ 分组 频数 频率 ‎[-3, -2)‎ ‎　‎ ‎0.10‎ ‎[-2, -1)‎ ‎8‎ ‎　‎ ‎（1,2]‎ ‎　‎ ‎0.50‎ ‎（2,3]‎ ‎10‎ ‎　‎ ‎（3,4]‎ ‎　‎ ‎　‎ 合计 ‎50‎ ‎1.00‎ ‎（Ⅰ）将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置；‎ ‎（Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率；‎ ‎（Ⅲ）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品。据此估算这批产品中的合格品的件数。‎ ‎【解析】（I）‎ 分组 频数 频率 ‎[-3, -2)‎ ‎0.1‎ ‎[-2, -1)‎ ‎8‎ ‎（1,2]‎ ‎0.5‎ ‎（2,3]‎ ‎10‎ ‎（3,4]‎ 合计 ‎50‎ ‎1‎ ‎（Ⅱ）不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率为 ‎（Ⅲ）合格品的件数为（件）‎ 答：（Ⅱ）不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率为 ‎（Ⅲ）合格品的件数为（件）‎ ‎4‎ ‎．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；‎ （1） 试估计厨余垃圾投放正确的概率；‎ （2） 试估计生活垃圾投放错误的概率；‎ （3） 假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a﹥0，a+b+c=600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值。‎ ‎（求：，其中为数据x1，x2，…，xn的平均数）‎ 解:（1）由题意可知：‎ ‎（2）由题意可知：‎ ‎（3）由题意可知：，因此有当，，时，有．‎ ‎5.受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计书数据如下： ‎ 将频率视为概率，解答下列问题：‎ ‎（I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；‎ ‎（II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为，生产一辆乙品牌轿车的利润为，分别求，的分布列；‎ ‎（III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。‎ ‎ 解：（I）首次出现故障发生在保修期内的概率为 ‎（II）随机变量的分布列为 随机变量的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（III）(万元)‎ ‎ (万元)‎ ‎ 所以应该生产甲品牌汽车。‎ ‎0.054‎ ‎0.006‎ ‎0.01‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎100‎ 成绩 图4‎ ‎6.某班50位学生期中考试数学成绩的频率 分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：，‎ ‎，，，，。‎ ‎（1）求图中的值；‎ ‎（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，‎ 该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，‎ 求得数学期望。‎ 解：(1) （0.0063+0.01+0.054+）×10=1‎ ‎ =0.018 ‎ ‎(2) 的人数=0.0181050=9‎ ‎ 的人数=0.0061050=3‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 当时,‎ 当时, ‎ 当时,‎ ‎++=‎ 的数学期望为.‎ ‎7. 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：‎ 甲运动员得分：13、25、8、16、20、7、15、11、22、28‎ 乙运动员得分：12、17、20、10、15、12、18、6、24、16‎ （1） 把甲、乙得分数据做成茎叶图；‎ （2） 把甲、乙得分数据做成频率分布直方表；‎ （3） 分别求出甲乙的平均数及方差。‎ 解：（1）如图1所示；‎ ‎ 图1 图2‎ ‎（2）如图2所示；‎ ‎（3） ，=45.45‎ ‎ ，=28.3‎ ‎8．某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：‎ ‎，，，，．‎ (1) 求图中a的值 (2) 根据频率分布直方图，估计这100名学生语文 成绩的平均分；‎ (3) 若这100名学生语文成绩某些分数段的 人数与数学成绩相应分数段的人数 之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数．‎ 分数段 x：y ‎1：1‎ ‎2：1‎ ‎3：4‎ ‎4：5‎ 解(1):‎ ‎(2):50-60段语文成绩的人数为：3.5分 ‎60-70段语文成绩的人数为：4分 ‎70-80段语文成绩的人数为：‎ ‎80-90段语文成绩的人数为：‎ ‎90-100段语文成绩的人数为：‎ ‎(3):依题意：50-60段数学成绩的人数=50-60段语文成绩的人数为=5人……………………9分 ‎60-70段数学成绩的的人数为= 50-60段语文成绩的人数的一半=……10分 ‎70-80段数学成绩的的人数为= ……………11分 ‎80-90段数学成绩的的人数为= …………12分 ‎90-100段数学成绩的的人数为=………13分 ‎9．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工 随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数(人)‎ x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55％.‎ ‎（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；‎ ‎（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）‎ 解：（Ⅰ）由已知得，，所以，．‎ ‎　　　　 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次 购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物 的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 ‎（分钟）．‎ ‎（Ⅱ）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，‎ ‎　　　分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， ‎ ‎“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”， ‎ ‎“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”． 将频率视为概率得 ‎，，．‎ 因为，且是互斥事件，所以 ‎．‎ 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为．‎ ‎10．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：‎ 降水量X 工期延误天数 ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：‎ ‎（Ⅰ）工期延误天数的均值与方差； ‎ ‎（Ⅱ）在降水量X至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率. ‎ 解析：（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎.‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎ ‎ 于是，；‎ ‎.‎ ‎ 故工期延误天数的均值为3，方差为. ‎ ‎（Ⅱ）由概率的加法公式，‎ 又. ‎ ‎ 由条件概率，得 ‎.‎ 故在降水量X至少是mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是. ‎ ‎11．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工 随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数(人)‎ x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55％．‎ ‎（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；‎ ‎（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，‎ 求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）‎ 解：（Ⅰ）由已知得，，所以，．‎ ‎　　　　 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次 购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，‎ 将频率视为概率得 ‎，，，‎ ‎，．‎ X的分布列为 X ‎1‎ ‎1．5‎ ‎2‎ ‎2．5‎ ‎3‎ Ｐ X的数学期望为 ‎．‎ ‎（Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，‎ ‎　　　为该顾客前面第位顾客的结算时间，则 ‎ ．‎ ‎　　　由于各顾客的结算相互独立，且的分布列都与X的分布列相同，所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为．‎ ‎12．某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产Ａ部件6件，或Ｂ部件3件，或Ｃ部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）．‎ ‎（Ⅰ）设生产Ａ部件的人数为，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；‎ ‎（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的 时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．‎ 解：（Ⅰ）设完成A，B，C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为由题设有 ‎ ‎ 其中均为1到200之间的正整数．‎ ‎（Ⅱ）完成订单任务的时间为 其定义域为 易知，为减函数，为增函数．‎ 注意到于是 ‎（1）当时， 此时 ‎ ．‎ 由函数的单调性知，当时取得最小值，‎ 解得．由于，而，‎ ‎．‎ 故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为．‎ ‎（2）当时， 由于为正整数，故，此时 ‎，‎ 记，易知为增函数，则 ‎．‎ 由函数的单调性知，当时取最小值，解得．由于，‎ 而 此时完成订单任务的最短时间大于．‎ ‎（3）当时， 由于为正整数，故，此时 由函数的单调性知，当时取最小值，‎ 解得．类似（1）的讨论．此时完成订单任务的最短时间为，大于．‎ 综上所述，当时，完成订单任务的时间最短，此时，生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数分别为44，88，68．‎ ‎13. 设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时.‎ （1） 求概率 （2） 求的分布列，并求其数学期望.‎ 解(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的一个,过任意一个顶点恰有三条棱,所以共有对相交棱,因此 若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的有6对,故 于是 所以随机变量的分布列为 ‎0 ‎ ‎1‎ P 因此.‎ ‎14.如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0,1,0,）B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点。‎ （1） 求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；‎ （2） 求这3点与原点O共面的概率。‎ ‎【解析】（1）总的结果数为20种，则满足条件的种数为2种所以所求概率为[来源:Z§xx§k.Com]‎ ‎（2）满足条件的情况为,,,,,‎ ‎,所以所求概率为.‎ ‎15.电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：‎ 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”‎ ‎（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷“人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差 附：，‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而列联表如下：‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ ‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将列联表中的数据代入公式计算，得 ‎ 因为，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关. ‎ ‎（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为.‎ 由题意，从而的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎，. ‎ ‎16.电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：‎ ‎0 10 20 30 40 50 60‎ ‎0.025‎ ‎0.020‎ ‎0.022‎ ‎0.018‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性。‎ ‎ （I）根据已知条件完成下面列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 ‎ （II）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率。‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ 附：‎ ‎，‎ ‎【答案与解析】‎ 解(1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中“体育迷”为25人,从而完成列联表如下:‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将列联表中的数据代入公式计算得,‎ 因为3.030<3.841.所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关.‎ (1) 由频率分布直方图可知, “超级体育迷”为5人,从而一切可能结果所组成的基本事件空间为 其中表示男性,表示女性.‎ 由10个基本事件组成,而且这些基本事件的发生是等可能的,用A表示“任选2人中,至少有一人为女性”‎ 这一事件,则事件A由7个鸡巴事件组成,‎ 所以 ‎17. 某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，‎ 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。‎ ‎（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量 ‎（单位：枝，）的函数解析式。 ‎ （1） 花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：‎ 日需求量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。‎ ‎（i）若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；‎ ‎（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。‎ 解:（1）当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 得：‎ ‎ （2）（i）可取，，‎ ‎ ‎ ‎ 的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （ii）购进17枝时，当天的利润为 ‎ 得：应购进17枝 ‎18. 现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得2分，没有命中得0分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。‎ ‎（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；‎ ‎（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX 解析：（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎,‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.‎ ‎19.袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.‎ ‎(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；‎ ‎(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.‎ 解：(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为.‎ ‎(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为.‎ ‎20. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和.‎ ‎（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；‎ ‎（Ⅱ）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望.‎ 解：（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么 ‎1-P（C）=1-P= ，解得P=………………………………4 分 ‎ ‎（2）由题意，P（=0）=‎ P（=1）=‎ P（=2）=‎ P（=3）=‎ 所以，随机变量的概率分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎ P 故随机变量X的数学期望为：‎ E=0 ……………………12分.‎ ‎21．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统 和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和．‎ ‎（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．‎ 解：（Ⅰ）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么．‎ ‎，解得．‎ ‎（或，解得．）‎ ‎（Ⅱ）设“系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D，那么. ‎ ‎ 答：系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．‎ ‎22.现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.‎ ‎（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率： ‎ ‎（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率： ‎ ‎（Ⅲ）用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.‎ 解:依题意这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.‎ ‎ 设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件，则 ‎ ，‎ （1） 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 （2） 设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，‎ 则，由于与互斥，故 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.‎ ‎(3)的所有可能值为0,2,4,由于与互斥,与互斥,故 所以的分布列为 ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ 随机变量的数学期望.‎ ‎23.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。‎ ‎（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。‎ ‎（II）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，‎ ‎ （1）列出所有可能的抽取结果；‎ ‎（2）求抽取的2所学校均为小学的概率。‎ 解（ⅰ）从小学，中学，大学中分别抽取的学校数目为3，2，1.‎ ‎ （ⅱ）（1）在抽取的6所学校中，3所小学分别记为2所中学分别记为 大学记为，则抽取2所学校的所有可能结果为种。‎ ‎ （2）从6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件B）的所有可能结果有种，‎ 所以.‎ ‎24．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．‎ ‎(Ⅰ)求X的分布列；‎ ‎(Ⅱ)求X的数学期望E(X)．‎ ‎【解析】本题主要考察分布列，数学期望等知识点。‎ ‎(Ⅰ) X的可能取值有：3，4，5，6．‎ ‎ ； ;‎ ‎； ．‎ 故，所求X的分布列为 X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎ (Ⅱ) 所求X的数学期望E(X)为：‎ E(X)＝．‎ ‎2011年全国各地高考概率与统计（理科）试题解答 ‎1.（2011江苏5）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为 1/3 ‎ ‎2．(2011安徽理20）（本小题满分13分）‎ 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．‎ ‎(Ⅰ)如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？‎ ‎(Ⅱ)若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数字期望）EX；‎ ‎(Ⅲ)假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。‎ 解：(Ⅰ)无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是 ‎，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，‎ 并等于 ‎ (Ⅱ)当依次派出的三人各自完成任务的概率分别为时，随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P q1‎ ‎(1-q1)q2‎ ‎(1-q1) (1-q2)‎ ‎ 所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是 ‎ ‎ ‎ (Ⅲ)（方法一）由（II）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，‎ ‎ ‎ ‎ 根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.‎ ‎ 下面证明：对于的任意排列，都有 ‎ ……………………（*）‎ ‎ 事实上，‎ ‎ 即（*）成立.‎ ‎ （方法二）（i）可将（II）中所求的EX改写为若交换前两人的派出顺序，则变为.由此可见，当时，交换前两人的派出顺序可减小均值.‎ ‎ （ii）也可将（II）中所求的EX改写为，或交换后两人的派出顺序，则变为.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.‎ ‎ 序　　综合(i)(ii)知，当时，EX达到最小. 即完成任务概率 大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.‎ ‎4.（2011北京理17）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。‎ ‎ (1)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；‎ ‎ (2)如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。‎ ‎ （注：方差，其中为的平均数）‎ 解：(1)当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，‎ 所以平均数为，方差为 ‎ (2)当X=9时，甲组棵数是：9，9，11，11；乙组棵数是：9，8，9，10．基本事件的总数为4×4=16， Y的可能取值为17，18，19，20，21．事件“Y=‎17”‎等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”∴该事件有2种可能的结果，∴P(Y=17)=2/16=1/8．同理P(Y=18)=1/4，P(Y=19)=1/4，P(Y=20)=1/4，P(Y=21)=1/8．‎ 所以随机变量Y的分布列为：‎ Y ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ P ‎1/8‎ ‎ 1/4‎ ‎1/4‎ ‎1/4‎ ‎1/8‎ EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）‎ ‎=17×(1/8) +18×+19×(1/4) +20×(1/4) +21×(1/8)=19‎ ‎5．(2011福建理13)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于 3/5 ‎ ‎6．(2011福建理19)（本小题满分13分）‎ 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准．‎ ‎(I)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：‎ X1‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎0．4‎ a b ‎0．1‎ 且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；‎ ‎(II)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：‎ ‎ 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4‎ ‎ 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3‎ ‎8 3 4 3 4 4 7 5 6 7‎ 用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．‎ ‎ (III)在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．‎ 注：(1)产品的“性价比”=；‎ ‎ (2)“性价比”大的产品更具可购买性．‎ 解：(I)∵EX1=6，∴5×0.4+6a+7b+8×0.1=6，即6a+7b=3.2‎ 又由X1的概率分布列得0.4+a+b+0.1=1，即a+b=0.5，解得a=0.3，b=0.2．‎ ‎（II）由已知得，样本的频率分布表如下：‎ X2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ f ‎0．3‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ 用这个样本频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得X2的概率分布列如下：‎ X2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎0．3‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎∴EX2=4.8, 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.‎ ‎(III)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：‎ ‎∵甲厂产品的等级系数的期望等于6，　价格为6元/件，∴性价比为 ‎∵乙厂产品的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，∴性价比为 据此，乙厂的产品更具可购买性。‎ ‎8.（2011广东理13）某数学老师身高‎176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是‎173cm、‎170cm和‎182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 ‎185 cm．‎ ‎8.（2011广东理6）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢 一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，‎ 则甲队获得冠军的概率为( D )‎ ‎ A.1/2　　　　 B.3/‎5　‎　　　　　　C.2/3　　　　　 D.3/4‎ ‎8.（2011广东理17）（本小题满分13分）‎ ‎ 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ x ‎169‎ ‎178‎ ‎166‎ ‎175‎ ‎180‎ y ‎75‎ ‎80‎ ‎77‎ ‎70‎ ‎81‎ ‎(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；‎ ‎(2)当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；‎ ‎(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列极其均值（即数学期望）。‎ 解：(1)，即乙厂生产的产品数量为35件。‎ ‎ (2)易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品有2/5‎ ‎ 故乙厂生产有大约（件）优等品，‎ ‎ (3)ξ的取值为0,1,2. ‎ ‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎3/10‎ ‎6/10‎ ‎1/10‎ ‎ 故ξ的均值为Eξ=4/5．‎ ‎9.（2011湖北理5）已知随机变量ξ服从正态分布N(2,a2)，且Ｐ(ξ＜4)＝，‎ 则Ｐ(0＜ξ＜2)＝ ( C )‎ ‎ Ａ．0.6 B．‎0.4 ‎‎ C．0.3 D．0.2‎ ‎10．(2011湖北理7)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统。当正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0．9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( B )‎ ‎ A．0.960 B．‎0.864 ‎ C．0.720 D．0.576‎ ‎11．(2011湖北理12)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为 28/145 （结果用最简分数表示）‎ ‎12．(2011湖北理15)给个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：‎ 由此推断，当时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 21 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 43 种，（结果用数值表示）‎ ‎13．(2011湖南理4)．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：‎ ‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由 算得 附表： ‎ P(K2≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参照附表，得到的正确结论是 ( C )‎ ‎ A．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ ‎ B．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎ C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ ‎ D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎14．(2011湖南理15)如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的 内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该图内，用A表示事件“豆子 落在正方形EFGH内”， B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）‎ 内”，则(1)P（A）= 2/π ; (2)P（B|A）= 1/4 ‎ ‎15．(2011湖南理18)（本小题满分12分）‎ 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：‎ 日销售量（件）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎5‎ 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。‎ ‎(1)求当天商品不进货的概率；‎ ‎(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期型。‎ 解：(1)P（“当天商品不进货”）‎ ‎=P（“当天商品销售量为0件”）+P（“当天商品销售量为1件”）=1/20+5/20=3/10‎ ‎(2)由题意知，X的可能取值为2,3.‎ ‎ P(X=2)=P(“当天商品销售量为1件”)=5/20=1/4，‎ ‎ P(X=3)=P(“当天商品销售量为0件”)+P(“当天商品销售量为3件”)‎ ‎=1/20+9/20+5/20=3/4，‎ ‎ 故X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎ P ‎1/4‎ ‎3/4‎ ‎ X的数学期望为EX=2×(1/4)+3×(3/4)=11/4．‎ ‎16.（2011江西理6）变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则 ( C )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎17.（2011江西理12）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于1/2，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于1/4，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为 13/16 ‎ ‎18.（2011江西理16）（本小题满分12分）‎ 某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．‎ ‎ （1）求X的分布列；‎ ‎ （2）求此员工月工资的期望。‎ 解：(1)X的所有可能取值为：0,1,2,3,4，，即 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎1/70‎ ‎16/70‎ ‎36/70‎ ‎16/70‎ ‎1/70‎ ‎ （2）令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100，2800，3500‎ 所以新录用员工月工资的期望为2280元.‎ ‎19．(2011辽宁理5）从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）=( B )‎ A.1/8 B.1/‎4 C.2/5 D.1/2‎ ‎20.（辽宁理19）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．‎ ‎(1)假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；‎ ‎(2)试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：‎ 品种甲 ‎403‎ ‎397‎ ‎390‎ ‎404‎ ‎388‎ ‎400‎ ‎412‎ ‎406‎ 品种乙 ‎419‎ ‎403‎ ‎412‎ ‎418‎ ‎408‎ ‎423‎ ‎400‎ ‎413‎ 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？‎ 附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数．‎ 解：(1)X可能的取值为0，1，2，3，4，且 即X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎1/70‎ ‎8/35‎ ‎18/35‎ ‎8/15‎ ‎1/70‎ ‎∴X的数学期望为E(X)=2．‎ ‎(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：‎ 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：‎ 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.‎ ‎21．(2011全国理7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( B )‎ ‎ A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 ‎22．(2011全国理18)（本小题满分12分）‎ ‎ 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立 ‎(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；‎ ‎(2)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。 ‎ 解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；‎ ‎ B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；‎ ‎ C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；‎ ‎ D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；‎ ‎ (1)P(A)=0.5，P(B)=0.3，C=A+B，P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8‎ ‎ 　 X～B(100,0.2) ，即X服从二项分布，‎ ‎　　　　所以期望EX=100×0.2=20．‎ ‎23．(2011全国课标理4文6）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ A ）‎ ‎ A.1/3 B.1/‎2 C.2/3 D.3/4‎ ‎24．(2011全国课标理19）（本小题满分12分）‎ 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：‎ A配方的频数分布表 指标值分组 ‎[90,94）‎ ‎[94,98）‎ ‎[98,102)‎ ‎[102,106）‎ ‎[106,110]‎ 频数 ‎8‎ ‎20‎ ‎42‎ ‎22‎ ‎8‎ B配方的频数分布表 指标值分组 ‎[90,94）‎ ‎[94,98）‎ ‎[98,102)‎ ‎[102,106）‎ ‎[106,110]‎ 频数 ‎4‎ ‎12‎ ‎42‎ ‎32‎ ‎10‎ ‎(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；‎ ‎(2)已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元）．求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．‎ 解：(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为，‎ 所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．‎ 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，‎ 所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42‎ ‎(2)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90,94),[94,102),[102,110]‎ 的频率分别为0.04，，054，0.42，因此P(X=-2)=0.04， P(X=2)=0.54， P(X=4)=0.42，‎ 即X的分布列为 X ‎-2‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎0.04‎ ‎0.54‎ ‎0.42‎ X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68‎ ‎25．(2011山东理7)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 广告费用x（万元）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y（万元）‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程中的为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( B )‎ ‎ A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元 ‎26．(2011山东理18)（本小题满分12分）‎ 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。‎ ‎(1)求红队至少两名队员获胜的概率；‎ ‎(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.‎ 解：(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，‎ 则分别表示甲不胜A、乙不胜B，丙不胜C的事件。‎ ‎∵P(D)=0.6，P(E)=0.5，P(F)=0.5，∴红队至少两人获胜的概率为 ‎．‎ ‎ (2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3．‎ 所以ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0．1‎ ‎0．35‎ ‎0．4‎ ‎0．15‎ 因此Eξ=1.6．‎ ‎27.(2011陕西理)设··· ，是变量x和 y的n次方个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到 的线性回归直线（如图），以下结论正确的是( D )‎ ‎ A.x和y的相关系数为直线的斜率 ‎ B.x和y的相关系数在0到1之间 ‎ C.当n为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同 D.直线过点 ‎28.(2011陕西理10)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( D )‎ ‎ A．1/36 B．1/‎9 ‎ C．5/36 D．1/6‎ ‎29.(2011陕西理20)（本小题满分13分）‎ 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：‎ 时间（分钟）‎ ‎10~20‎ ‎20~30‎ ‎30~40‎ ‎40~50‎ ‎50~60‎ L1的频率 ‎0．1‎ ‎0．2‎ ‎0．3‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ L2的频率 ‎0‎ ‎0．1‎ ‎0．4‎ ‎0．4‎ ‎0．1‎ 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。‎ ‎(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？‎ ‎(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望。‎ 解：(1)A1，A2，分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；‎ B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站。‎ 由(2)知P(A1）=0.1+0.2+0.3=0.6，P(A2)=0.1+0.4=0.5， P(A1)>P(A2)，∴甲应选L1.‎ P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9，P(B2）＞P(B1)，‎ ‎∴ 乙应选择L2．‎ ‎(2)A,B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许时间内赶到火车站，由(1)知 ‎ P(A)=0.6，P(B)=0.9，又由题意知，A,B独立，‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0．04‎ ‎0．42‎ ‎0．54‎ ‎ ∴X的分布列为 ‎ ∴EX=1.5．‎ ‎30．(2011上海理12文13)随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率 是 0.985 （默认每月天数相同，结果精确到0.001）．‎ ‎31．(2011四川理1文2)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：‎ ‎[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5，27.5) 18‎ ‎[27.5，31.5) ‎1l [31.5，35.5) 12 [35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 3‎ 根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占( B )‎ ‎ A.2/11 B.1/‎3 C.1/2 D.2/3‎ ‎32．(2011四川理12)在集合{1,2,3,4}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量=(a,b)．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过的平行四边形的个数为，则 ( D )‎ ‎ A．4/15 B．1/‎3 ‎‎ C．2/5 D．2/3‎ ‎32．(2011四川理18)（本小题共12分）‎ 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为1/4,1/2；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为1/2,1/4；两人租车时间都不会超过四小时。‎ ‎(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；‎ ‎(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ；‎ 解：(1)所付费用相同即为0,2,4元,则付0元,2元,4元的概率分别为 ‎，，‎ 则所付费用相同的概率为 ‎(2)ξ为0,2,4,6,8，‎ 分布列为 ξ P ‎1/8‎ ‎5/16‎ ‎5/16‎ ‎3/16‎ ‎1/16‎ Eξ=7/2．‎ ‎33.（2011天津理9）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为 12 ‎ ‎34.（2011天津理16）（本小题满分13分）‎ 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）‎ ‎(1)求在1次游戏中，‎ ‎ (i)摸出3个白球的概率； (ii)获奖的概率；‎ ‎(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X).‎ 解：(1)(i)设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则 ‎ ‎ ‎ (ii)设“在1次游戏中获奖”为事件B，∵‎ ‎ 且A2，A3互斥，所以P(B)=P(A2+A3)=1/2+1/5=7/10.‎ ‎ (2)由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.‎ ‎ ‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎9/100‎ ‎21/50‎ ‎49/100‎ ‎ X的数学期望 ‎35．(2011浙江理9)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率( B )‎ ‎ A.1/5 B.2/‎5 C.3/5 D.4/5‎ ‎36．(2011浙江理15)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为2/3，得到乙丙公司面试的概率为，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X为该毕业生得到面试得公司个数。若P(X=0)=1/12，则随机变量X的期望E(X)= 5/3 ‎ ‎37．(2011重庆理13)将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率 11/32 ‎ ‎38．(2011重庆理17)（本小题满分13分）（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）‎ 某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：‎ ‎ (1)恰有2人申请A片区房源的概率；‎ ‎ (2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望 解：这是等可能性事件的概率计算问题.‎ ‎ (1)法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式 种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为 法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.‎ 记“申请A片区房源”为事件A，则P(A)=1/3．‎ ‎∴恰有2人申请A片区房源的概率为 ‎ (2)ξ的所有可能值为1，2，3.又 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1/27‎ ‎4/27‎ ‎4/9‎ 从而有 ‎ ‎