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  • 2021-05-13 发布

高考山东文科数学试题及答案word解析版

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‎2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)‎ 数学(文科)‎ 第Ⅰ卷(共50分)‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)【2014年山东,文1,5分】已知,是虚数单位. 若,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得,,,故选A.‎ ‎【点评】本题主要考查两个复数相等的充要条件,两个复数代数形式的乘法法则,属于基础题.‎ ‎(2)【2014年山东,文2,5分】设集合,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】,数轴上表示出来得到,故选C.‎ ‎【点评】本题是简单的计算题,一般都是在高考的第一题出现,答题时要注意到端点是否取得到,计算也是高考中的考查点,学生在平时要加强这方面的练习,考试时做到细致悉心,一般可以顺利解决问题.‎ ‎(3)【2014年山东,文3,5分】函数的定义域为( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】故,故选C.‎ ‎【点评】本题是对基本计算的考查,注意到“真数大于0”和“开偶数次方根时,被开方数要大于等于0”,及“分母不为0”,即可确定所有条件.高考中对定义域的考查,大多属于容易题.‎ ‎(4)【2014年山东,文4,5分】用反证法证明命题“设,则方程至少有一个实根”时要做的假设是( )‎ ‎ (A)方程没有实根 (B)方程至多有一个实根 ‎(C)方程至多有两个实根 (D)方程恰好有两个实根 ‎【答案】A ‎【解析】反证法证明问题时,反设实际是命题的否定,∴用反证法证明命题“设,为实数,则方程 至少有一个实根”时,要做的假设是:方程没有实根,故选A.‎ ‎【点评】本题考查反证法证明问题的步骤,基本知识的考查.‎ ‎(5)【2014年山东,文5,5分】已知实数满足,则下列关系式恒成立的是( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】,排除C,D,对于B,是周期函数,排除B,故选A.‎ ‎【点评】本题主要考查函数值的大小比较,利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键.‎ ‎(6)【2014年山东,文6,5分】已知函数(,为常数,其中,)的图像如右图,则下列结论成立的是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵函数单调递减,∴,当时,即, ‎ 即,当时,即,即,故选D.‎ ‎【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质,利用对数函数的单调性是解决本题的关键,比较基础.‎ ‎(7)【2014年山东,文7,5分】已知向量,.若向量的夹角为,则实数 ‎( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】由题意可得,解得,故选B.‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用,属于基础题.‎ ‎(8)【2014年山东,文8,5分】为了研究某药厂的疗效,选取若干名志愿者进行临床 试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),‎ ‎[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五 组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有20人,‎ 第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )‎ ‎(A)6 (B)8 (C)12 (D)18‎ ‎【答案】C ‎【解析】第一组与第二组频率之和为,,,‎ ‎,故选C.‎ ‎【点评】本题考查古典概型的求解和频率分布的结合,列举对事件是解决问题的关键,属中档题.‎ ‎(9)【2014年山东,文9,5分】对于函数,若存在常数,使得取定义域内的每一个值,都有,则称为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于函数,若存在常数,使得取定义域内的每一个值,都有,则称为准偶函数,∴函数的对称轴是,,选项A函数没有对称轴;选项B、函数的对称轴是,选项C函数没有对称轴.函数,有对称轴,且不是对称轴,选项D正确,故选D.‎ 点评:本题考查函数的对称性的应用,新定义的理解,基本知识的考查.‎ ‎(10)【2014年山东,文10,5分】已知满足的约束条件,当目标函数在该约束条件下取得最小值时,的最小值为( )‎ ‎(A)5 (B)4 (C) (D)2‎ ‎【答案】B ‎【解析】作可行域如图,联立,解得:.化目标函数为直线 ‎ 方程得:.由图可知,当直线过点时,直线在轴上 ‎ 的截距最小,最小,,即.则的最小值为,故选B.‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,考查了数学转化思想方法,训练了点到直线距离公式的应用,是中档题.‎ ‎ 第II卷(共100分)‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分.‎ ‎(11)【2014年山东,文11,5分】执行下面的程序框图,若输入的的值为1,则输出的的 值为 .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】根据判断条件,得,输入 第一次判断后循环,;‎ 第二次判断后循环,;‎ 第三次判断后循环,;‎ 第四次判断不满足条件,退出循环,输出.‎ ‎【点评】本题考查循环结构的应用,注意循环的结果的计算,考查计算能力.‎ ‎(12)【2014年山东,文12,5分】函数的最小正周期为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,.‎ ‎【点评】本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式,正弦函数的周期性,属于基础题.‎ ‎(13)【2014年山东,文13,5分】一个六棱锥的体积为,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设六棱锥的高为,斜高为,则由体积,得:, , 侧面积为.‎ ‎【点评】本题考查了棱锥的体积,侧面积的求法,解答的关键是能够正确利用体积与表面积公式解题.‎ ‎(14)【2014年山东,文14,5分】圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切,圆截轴所得的弦的长,则圆的标准方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设圆心,半径为. 由勾股定理得:圆心为,半径为2, ‎ 圆的标准方程为.‎ ‎【点评】此题综合考查了垂径定理,勾股定理及点到直线的距离公式.根据题意设出圆心坐标,找出圆的半径是解本题的关键.‎ ‎(15)【2014年山东,文15,5分】已知双曲线的焦距为,右顶点为,抛物线的焦点为,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为,且,则双曲线的渐近线方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知,抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为, 即代入双曲线方程 为,得,,渐近线方程为.‎ ‎【点评】熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键.‎ ‎ 三、解答题:本大题共6题,共75分.‎ ‎(16)【2014年山东,文16,12分】海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如右表所示,工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.‎ 地区 数量 ‎50‎ ‎150‎ ‎100‎ ‎(1)求这6件样品中来自各地区样品的数量;‎ ‎(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.‎ 解:(1),,三个地区商品的总数量为50+150+100=300,故抽样比,故地区抽取商品的 数量为;地区抽取的商品的数量为;C地区抽取的商品的数量为.‎ ‎ (2)在这6件样品中随机抽取2件共有:个不同的基本事件;且这些事件是等可能发生的,‎ 记“这2件商品来自相同地区”为事件,则中包含种不同的基本事件,‎ 故,即这2件商品来自相同地区的概率为.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是分层抽样,古典概型概率计算公式,难度不大,属于基础题.‎ ‎(17)【2014年山东,文17,12分】在中,角所对的边分别是.已知.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的面积.‎ 解:(1)由题意知:,,‎ 由正弦定理得:.‎ ‎(2)由余弦定理得:‎ ‎ 又因为为钝角,所以,即,所以.‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理的应用.解题过程中结合了同角三角函数关系,三角函数恒等变换的应用,注重了基础知识的综合运用.‎ ‎(18)【2014年山东,文18,12分】如图,四棱锥中, ,,,分别为线段的中点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求证:.‎ 解:(1)连接交于点,连接,不妨设,,则,,‎ ‎,四边形为菱形,‎ 又.‎ ‎(2),,,为 平行四边形,,,又为菱形,,‎ ‎,.‎ ‎【点评】本题考查直线与平面平行、垂直的判定,考查学生分析解决问题的能力,正确运用直 线与平面平行、垂直的判定是关键.‎ ‎(19)【2014年山东,文19,12分】在等差数列中,已知,是与等比中项.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,记,求.‎ 解:(1)由题意知:为等差数列,设,为与的等比中项,且,‎ 即, 解得:,.‎ ‎(2)由(1)知:,,‎ ①当为偶数时: ‎ ‎ ②当为奇数时:‎ ‎ ‎ ‎.‎ 综上:.‎ ‎【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论思想方法,属于中档题.‎ ‎(20)【2014年山东,文20,13分】设函数,其中为常数.‎ ‎(1)若,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(2)讨论函数的单调性.‎ 解:(1)当时,,,,直线过点,.‎ ‎(2),‎ ‎ ①当时,恒大于0,在定义域上单调递增.‎ ‎ ②当时,,在定义域上单调递增.‎ ‎ ③当时,,即,开口向下,在定义域上单调递减.‎ ‎ 当时,,,‎ 对称轴方程为且.在单调递减,‎ 单调递增,单调递减.‎ ‎ 综上所述,时,在定义域上单调递增;时,在定义域上单调递增;时,‎ 在定义域上单调递减;时,在单调递减,‎ 单调递增,单调递减.‎ ‎【点评】导数是高考中极易考察到的知识模块,导数的几何意义和导数的单调性是本题检查的知识点,特别是单调性的处理中,分类讨论是非常关键和必要的,分类讨论也是高考中经常考查的思想方法.‎ ‎(21)【2014年山东,文21,14分】在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,‎ 直线被椭圆截得的线段长为. ‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)过原点的直线与椭圆交于两点(不是椭圆的顶点),点在椭圆上,且,‎ 直线与轴、轴分别交于两点.‎ ‎(i)设直线的斜率分别为.证明存在常数使得,并求出的值;‎ ‎(ii)求面积的最大值.‎ 解:(1),,即,,,设直线与椭圆交于两点.不妨设点 为直线和椭圆在第一象限的交点.又弦长为,,,‎ ‎ 联立解得,,椭圆方程为.‎ ‎(2)(i)设,,则.∵直线的斜率,又,‎ ‎∴直线的斜率.设方程为,由题意知,.‎ 联立,得.∴.‎ 因此.由题意可得.‎ ‎∴直线的方程为.令,得,即.‎ 可得.∴,即.因此存在常数使得结论成立.‎ ‎(ii)直线方程为,令,得,即.由(i)知,‎ 可得的面积为.‎ 当且仅当时等号成立.∴面积的最大值为.‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法,主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用,直线与曲线联立,根据方程的根与系数的关系解题,是处理这类问题的最为常用的方法,但圆锥曲线的特点是计算量比较大,要求考试具备较强的运算推理的能力,是压轴题.‎