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  • 2021-05-13 发布

高考数学试题分类汇编——集合与逻辑

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‎2009年高考数学试题分类汇编 一 集合与逻辑 函数 一、填空题 ‎1.(2009年广东卷文)已知全集,则正确表示集合和关系的韦恩(Venn)图是 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由,得,则,选B.‎ ‎2.(2009浙江理)设,,,则( ) ‎ A. B. C. D. ‎ 答案:B ‎ ‎【解析】 对于,因此.‎ ‎3.(2009浙江理)已知是实数,则“且”是“且”的 ( ) ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ 答案:C ‎ ‎【解析】对于“且”可以推出“且”,反之也是成立的 ‎4.(2009浙江文)“”是“”的( ). ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ A 【命题意图】本小题主要考查了命题的基本关系,题中的设问通过对不等关系的分析,考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度.‎ ‎【解析】对于“”“”;反之不一定成立,因此“”是“”的充分而不必要条件.‎ ‎5.(2009北京文)设集合,则 ( )‎ ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎∵,‎ ‎∴ ,故选A.‎ ‎6.(2009山东卷理)集合,,若,则的值为( )‎ A.0 B‎.1 C.2 D.4‎ ‎【解析】:∵,,∴∴,故选D.‎ 答案:D ‎【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.‎ ‎7.(2009广东卷理)已知全集,集合和的关系的韦恩(Venn)图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个 ‎【解析】由得,则,有2个,选B.‎ ‎8.(2009安徽卷理)若集合则A∩B是 ‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎[解析]集合,∴选D ‎9.(2009安徽卷文)“”是“且”的 ‎ ‎ A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 ‎ ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【解析】易得时必有.若时,则可能有,选A。‎ ‎【答案】A ‎10.(2009江西卷文)下列命题是真命题的为 ‎ A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 ‎ 答案:A ‎【解析】由得,而由得,由,不一定有意义,而得不到 故选A. ‎ ‎11.(2009湖北卷理)‎ 已知是两个向量集合,则 A.{〔1,1〕} B. {〔-1,1〕} C. {〔1,0〕} D. {〔0,1〕}‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为代入选项可得故选A.‎ ‎12.(2009辽宁卷文)已知集合M=﹛x|-3<x5﹜,N=﹛x|x<-5或x>5﹜,则MN=‎ ‎(A) ﹛x|x<-5或x>-3﹜ (B) ﹛x|-5<x<5﹜‎ ‎(C) ﹛x|-3<x<5﹜ (D) ﹛x|x<-3或x>5﹜‎ ‎【解析】直接利用并集性质求解,或者画出数轴求解.‎ ‎【答案】A ‎13.(2009陕西卷文)设不等式的解集为M,函数的定义域为N,则为 ‎(A)[0,1) (B)(0,1) (C)[0,1] (D)(-1,0] ‎ 答案:A. ‎ 解析:,则,故选A.‎ ‎14.(2009天津卷理)命题“存在R,‎0”‎的否定是. ‎ ‎(A)不存在R, >0 (B)存在R, 0 ‎ ‎(C)对任意的R, 0 (D)对任意的R, >0‎ ‎【考点定位】本小考查四种命题的改写,基础题。‎ 解析:由题否定即“不存在,使”,故选择D。‎ ‎15.(2009年广东卷文)若函数是函数的反函数,且,则 ‎ A. B. C. D.2 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的反函数是,又,即,‎ 所以,,故,选A.‎ ‎16.(理科做)(2009年广东卷文)函数的单调递增区间是 ‎ A. B.(0,3) C.(1,4) D. 21世纪教育网 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,令,解得,故选D ‎17.(2009北京文)为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点 ( )‎ ‎ A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 ‎ B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 ‎ C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 ‎ D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 ‎【答案】C ‎.w【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ A.,‎ B.,‎ C.,‎ D..‎ 故应选C.‎ ‎18. (2009山东卷理)函数的图像大致为( ).‎ ‎1 ‎ x ‎ y ‎ ‎1 ‎ O ‎ A ‎ x ‎ y ‎ O ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ B ‎ x ‎ y ‎ O ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ C ‎ x ‎ y ‎ ‎1 ‎ ‎1 ‎ D ‎ O ‎ ‎【解析】:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A. ‎ 答案:A.‎ ‎【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.‎ ‎19. (2009山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ,则f(3)的值为( )‎ A.-1 B. ‎-2 C.1 D. 2‎ ‎【解析】:由已知得,,,‎ ‎,,故选B.‎ 答案:B. ‎ ‎【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程.‎ ‎20.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ,则f(2009)的值为( )‎ A.-1 B. ‎0 C.1 D. 2‎ ‎【解析】:由已知得,,,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,,‎ 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f(2009)= f(5)=1,故选C.‎ 答案:C.‎ ‎【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.‎ ‎21.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ). ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【解析】:因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,,,又因为在R上是奇函数, ,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D. ‎ 答案:D.‎ ‎【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题. ‎ ‎22.(2009全国卷Ⅱ文)函数y=(x0)的反函数是 ‎ (A)(x0) (B)(x0)‎ ‎ (B)(x0) (D)(x0) ‎ 答案:B 解析:本题考查反函数概念及求法,由原函数x0可知AC错,原函数y0可知D错,选B.‎ ‎23.(2009全国卷Ⅱ文)函数y=的图像 ‎ (A) 关于原点对称 (B)关于主线对称 ‎ (C) 关于轴对称 (D)关于直线对称 答案:A 解析:本题考查对数函数及对称知识,由于定义域为(-2,2)关于原点对称,又f(-x)=-f(x),故函数为奇函数,图像关于原点对称,选A。‎ ‎24.(2009全国卷Ⅱ文)设则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ 答案:B 解析:本题考查对数函数的增减性,由1>lge>0,知a>b,又c=lge, 作商比较知c>b,选B。‎ ‎25.(2009广东卷理)若函数是函数的反函数,其图像经过点,则 A. B. C. D. ‎ ‎【解析】,代入,解得,所以,选B.‎ ‎26.(2009广东卷理)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为(如图2所示).那么对于图中给定的,下列判断中一定正确的是 A. 在时刻,甲车在乙车前面 ‎ B. 时刻后,甲车在乙车后面 C. 在时刻,两车的位置相同 D. 时刻后,乙车在甲车前面 ‎【解析】由图像可知,曲线比在0~、0~与轴所围成图形面积大,则在、时刻,甲车均在乙车前面,选A. ‎ ‎27.(2009江西卷文)已知函数是上的偶函数,若对于,都有,且当时,,则的值为 A.    B.    C.     D.‎ 答案:C ‎【解析】,故选C.‎ ‎28.(2009江西卷)若存在过点的直线与曲线和都相切,则等于 ‎ A.或 B.或 C.或 D.或 答案:A ‎【解析】设过的直线与相切于点,所以切线方程为 即,又在切线上,则或,‎ 当时,由与相切可得,‎ 当时,由与相切可得,所以选.‎ ‎29.(2009江西卷理)函数的定义域为 A.   B.   C.    D.‎ 答案:C ‎【解析】由.故选C ‎30.(2009江西卷理)设函数,曲线在点处的切线方程为,则曲线在点处切线的斜率为 A.   B.   C.    D.‎ 答案:A ‎【解析】由已知,而,所以故选A ‎31.(2009天津卷文)设,则 A a‎ 的是 A.= B. = C .= D ‎ ‎【答案】:A ‎[解析]依题意可得函数应在上单调递减,故由选项可得A正确。‎ ‎38. (2009辽宁卷文)已知函数满足:x≥4,则=;当x<4时=,则=‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【解析】∵3<2+log23<4,所以f(2+log23)=f(3+log23) 且3+log23>4‎ ‎ ∴=f(3+log23)‎ ‎ =‎ ‎39.(2009辽宁卷文)已知偶函数在区间单调增加,则满足<的x 取值范围是 ‎(A)(,) (B) [,) (C)(,) (D) [,)‎ ‎【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)=f(|x|)‎ ‎ ∴得f(|2x-1|)<f(),再根据f(x)的单调性 ‎ 得|2x-1|< 解得<x<‎ ‎【答案】A ‎40.(2009陕西卷文)函数的反函数为 ‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)学科 答案:D. 解析:令原式 则 ‎ ‎ 故 故选D.‎ ‎41.(2009陕西卷文)定义在R上的偶函数满足:对任意的,有.则 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ 答案:A. ‎ 解析:由等价,于则在上单调递增, 又是偶函数,故在单调递减.且满足时, , ,得,故选A.‎ ‎42.(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数满足:对任意 的,有.‎ 则当时,有 ‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (C) (D) ‎ 答案:C ‎43.(2009四川卷文)函数的反函数是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由,又因原函数的值域是,‎ ‎∴其反函数是 ‎44.(2009全国卷Ⅰ文)已知函数的反函数为,则 ‎(A)0 (B)1 (C)2 (D)4‎ ‎【解析】本小题考查反函数,基础题。‎ 解:由题令得,即,又,所以,故选择C。‎ ‎45.(2009湖南卷理)若a<0,>1,则 (D)‎ A.a>1,b>0 B.a>1,b<‎0 C. 0<a<1, b>0 D. 0<a<1, b<0‎ ‎【答案】:D ‎【解析】由得由得,所以选D项。‎ ‎46.(2009天津卷理)已知函数若则实数的取值范围是 ‎ A B C D ‎ ‎【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。‎ 解析:由题知在上是增函数,由题得,解得,故选择C。‎ ‎47.(理科做)(2009四川卷理)已知函数连续,则常数的值是 A.2   B.3    C.4    D.5 ‎ ‎【考点定位】本小题考查函数的连续性,考查分段函数,基础题。‎ 解析:由题得,故选择B。‎ 解析2:本题考查分段函数的连续性.由,,由函数的连续性在一点处的连续性的定义知,可得.故选B.‎ ‎48.(2009福建卷文)定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示,则在上,下列函数中与的单调性不同的是 A.‎ B. ‎ C. ‎ D.‎ 解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反,故可知求在上单调递减,注意到要与的单调性不同,故所求的函数在上应单调递增。而函数在上递减;函数在时单调递减;函数在(上单调递减,理由如下y’=3x2>0(x<0),故函数单调递增,显然符合题意;而函数,有y’=-<0(x<0),故其在(上单调递减,不符合题意,综上选C。‎ 二、填空题 ‎1.(2009年上海卷理)已知集合,,且,则实数a的取值范围是______________________ . . ‎ ‎【答案】a≤1 ‎ ‎【解析】因为A∪B=R,画数轴可知,实数a必须在点1上或在1的左边,所以,有a≤1。‎ ‎2.(2009重庆卷文)若是小于9的正整数,是奇数,是3的倍数,则 .‎ ‎【答案】 . ‎ 解法1,则所以,所以 解析2,而 ‎3.(2009重庆卷理)若,,则 .‎ ‎【答案】(0,3)‎ ‎【解析】因为所以 ‎4.(2009北京文)设A是整数集的一个非空子集,对于,如果且,那么是A的一个“孤立元”,给定,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有 个.‎ ‎【答案】6‎ ‎.w【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.‎ ‎ 什么是“孤立元”?依题意可知,必须是没有与相邻的元素,因而无“孤立元”是指在集合中有与相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类:‎ 因此,符合题意的集合是:共6个.‎ ‎ 故应填6.‎ ‎5.(2009陕西卷文)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有 人。‎ 答案:8. ‎ 解析:由条件知,每名同学至多参加两个小组,‎ 故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组, 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为,则. . ‎ ‎,‎ 由公式 易知36=26+15+‎13-6-4‎- 故=8 即同时参加数学和化学小组的有8人.‎ ‎6.(2009湖南卷文)某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 .‎ 解: 设所求人数为,则只喜爱乒乓球运动的人数为,‎ 故. 注:最好作出韦恩图!‎ ‎7.(理科做)(2009辽宁卷文)若函数在处取极值,则 ‎ ‎【解析】f’(x)=‎ ‎ f’(1)==‎0 Þ a=3‎ ‎【答案】3‎ ‎8.(2009重庆卷理)若是奇函数,则 . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解法1‎ ‎9.(2009上海卷文) 函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由y=x3+1,得x=,将y改成x,x改成y可得答案。‎ ‎10.(2009北京文)已知函数若,则 . ‎ ‎.w.w.k.s.5【答案】‎ ‎.w【解析】5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ 由,无解,故应填.‎ ‎11.(2009北京理)若函数 则不等式的解集为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ (1)由.‎ ‎ (2)由.‎ ‎ ∴不等式的解集为,∴应填.‎ ‎12.(2009江苏卷)函数的单调减区间为 . ‎ ‎【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。‎ ‎,‎ 由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。‎ ‎13.(2009江苏卷)在平面直角坐标系中,点P在曲线上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为 . ‎ ‎【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。 ‎ ‎,又点P在第二象限内,点P的坐标为(-2,15)‎ ‎14.(2009江苏卷)已知,函数,若实数、满足,则、的大小关系为 . ‎ ‎【解析】考查指数函数的单调性。 ‎ ‎,函数在R上递减。由得:m0且a1)有两个零点,则实数a的取值范围是 .‎ ‎【解析】: 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是 答案: ‎ ‎【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.‎ ‎17.(理科做)(2009福建卷理)若曲线存在垂直于轴的切线,则实数取值范围是_____________.‎ ‎【答案】:‎ ‎ 解析:由题意可知,又因为存在垂直于轴的切线,‎ 所以。‎ ‎18.(2009重庆卷文)记的反函数为,则方程的解 .‎ ‎【答案】2‎ 解法1由,得,即,于是由,解得 解法2因为,所以