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- 2021-05-13 发布
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2009年高考数学试题分类汇编
一 集合与逻辑 函数
一、填空题
1.(2009年广东卷文)已知全集,则正确表示集合和关系的韦恩(Venn)图是
【答案】B
【解析】由,得,则,选B.
2.(2009浙江理)设,,,则( )
A. B. C. D.
答案:B
【解析】 对于,因此.
3.(2009浙江理)已知是实数,则“且”是“且”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:C
【解析】对于“且”可以推出“且”,反之也是成立的
4.(2009浙江文)“”是“”的( ).
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
A 【命题意图】本小题主要考查了命题的基本关系,题中的设问通过对不等关系的分析,考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度.
【解析】对于“”“”;反之不一定成立,因此“”是“”的充分而不必要条件.
5.(2009北京文)设集合,则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.
∵,
∴ ,故选A.
6.(2009山东卷理)集合,,若,则的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
【解析】:∵,,∴∴,故选D.
答案:D
【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.
7.(2009广东卷理)已知全集,集合和的关系的韦恩(Venn)图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有
A. 3个 B. 2个
C. 1个 D. 无穷多个
【解析】由得,则,有2个,选B.
8.(2009安徽卷理)若集合则A∩B是
(A) (B) (C) (D)
[解析]集合,∴选D
9.(2009安徽卷文)“”是“且”的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】易得时必有.若时,则可能有,选A。
【答案】A
10.(2009江西卷文)下列命题是真命题的为
A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则
答案:A
【解析】由得,而由得,由,不一定有意义,而得不到 故选A.
11.(2009湖北卷理)
已知是两个向量集合,则
A.{〔1,1〕} B. {〔-1,1〕} C. {〔1,0〕} D. {〔0,1〕}
【答案】A
【解析】因为代入选项可得故选A.
12.(2009辽宁卷文)已知集合M=﹛x|-3<x5﹜,N=﹛x|x<-5或x>5﹜,则MN=
(A) ﹛x|x<-5或x>-3﹜ (B) ﹛x|-5<x<5﹜
(C) ﹛x|-3<x<5﹜ (D) ﹛x|x<-3或x>5﹜
【解析】直接利用并集性质求解,或者画出数轴求解.
【答案】A
13.(2009陕西卷文)设不等式的解集为M,函数的定义域为N,则为
(A)[0,1) (B)(0,1) (C)[0,1] (D)(-1,0]
答案:A.
解析:,则,故选A.
14.(2009天津卷理)命题“存在R,0”的否定是.
(A)不存在R, >0 (B)存在R, 0
(C)对任意的R, 0 (D)对任意的R, >0
【考点定位】本小考查四种命题的改写,基础题。
解析:由题否定即“不存在,使”,故选择D。
15.(2009年广东卷文)若函数是函数的反函数,且,则
A. B. C. D.2
【答案】A
【解析】函数的反函数是,又,即,
所以,,故,选A.
16.(理科做)(2009年广东卷文)函数的单调递增区间是
A. B.(0,3) C.(1,4) D. 21世纪教育网
【答案】D
【解析】,令,解得,故选D
17.(2009北京文)为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点 ( )
A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
【答案】C
.w【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查.
A.,
B.,
C.,
D..
故应选C.
18. (2009山东卷理)函数的图像大致为( ).
1
x
y
1
O
A
x
y
O
1
1
B
x
y
O
1
1
C
x
y
1
1
D
O
【解析】:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A.
答案:A.
【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.
19. (2009山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ,则f(3)的值为( )
A.-1 B. -2 C.1 D. 2
【解析】:由已知得,,,
,,故选B.
答案:B.
【命题立意】:本题考查对数函数的运算以及推理过程.
20.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ,则f(2009)的值为( )
A.-1 B. 0 C.1 D. 2
【解析】:由已知得,,,
,,
,
,,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f(2009)= f(5)=1,故选C.
答案:C.
【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.
21.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).
A. B.
C. D.
【解析】:因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,,,又因为在R上是奇函数, ,得,,而由得,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以,所以,即,故选D.
答案:D.
【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题.
22.(2009全国卷Ⅱ文)函数y=(x0)的反函数是
(A)(x0) (B)(x0)
(B)(x0) (D)(x0)
答案:B
解析:本题考查反函数概念及求法,由原函数x0可知AC错,原函数y0可知D错,选B.
23.(2009全国卷Ⅱ文)函数y=的图像
(A) 关于原点对称 (B)关于主线对称
(C) 关于轴对称 (D)关于直线对称
答案:A
解析:本题考查对数函数及对称知识,由于定义域为(-2,2)关于原点对称,又f(-x)=-f(x),故函数为奇函数,图像关于原点对称,选A。
24.(2009全国卷Ⅱ文)设则
(A) (B) (C) (D)
答案:B
解析:本题考查对数函数的增减性,由1>lge>0,知a>b,又c=lge, 作商比较知c>b,选B。
25.(2009广东卷理)若函数是函数的反函数,其图像经过点,则
A. B. C. D.
【解析】,代入,解得,所以,选B.
26.(2009广东卷理)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为(如图2所示).那么对于图中给定的,下列判断中一定正确的是
A. 在时刻,甲车在乙车前面
B. 时刻后,甲车在乙车后面
C. 在时刻,两车的位置相同
D. 时刻后,乙车在甲车前面
【解析】由图像可知,曲线比在0~、0~与轴所围成图形面积大,则在、时刻,甲车均在乙车前面,选A.
27.(2009江西卷文)已知函数是上的偶函数,若对于,都有,且当时,,则的值为
A. B. C. D.
答案:C
【解析】,故选C.
28.(2009江西卷)若存在过点的直线与曲线和都相切,则等于
A.或 B.或 C.或 D.或
答案:A
【解析】设过的直线与相切于点,所以切线方程为
即,又在切线上,则或,
当时,由与相切可得,
当时,由与相切可得,所以选.
29.(2009江西卷理)函数的定义域为
A. B. C. D.
答案:C
【解析】由.故选C
30.(2009江西卷理)设函数,曲线在点处的切线方程为,则曲线在点处切线的斜率为
A. B. C. D.
答案:A
【解析】由已知,而,所以故选A
31.(2009天津卷文)设,则
A a
的是
A.= B. = C .= D
【答案】:A
[解析]依题意可得函数应在上单调递减,故由选项可得A正确。
38. (2009辽宁卷文)已知函数满足:x≥4,则=;当x<4时=,则=
(A) (B) (C) (D)
【解析】∵3<2+log23<4,所以f(2+log23)=f(3+log23)
且3+log23>4
∴=f(3+log23)
=
39.(2009辽宁卷文)已知偶函数在区间单调增加,则满足<的x 取值范围是
(A)(,) (B) [,) (C)(,) (D) [,)
【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)=f(|x|)
∴得f(|2x-1|)<f(),再根据f(x)的单调性
得|2x-1|< 解得<x<
【答案】A
40.(2009陕西卷文)函数的反函数为
(A) (B)
(C) (D)学科
答案:D. 解析:令原式 则
故 故选D.
41.(2009陕西卷文)定义在R上的偶函数满足:对任意的,有.则
(A) (B)
(C) (D)
答案:A.
解析:由等价,于则在上单调递增, 又是偶函数,故在单调递减.且满足时, , ,得,故选A.
42.(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数满足:对任意
的,有.
则当时,有
(A) (B)
(C) (C) (D)
答案:C
43.(2009四川卷文)函数的反函数是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由,又因原函数的值域是,
∴其反函数是
44.(2009全国卷Ⅰ文)已知函数的反函数为,则
(A)0 (B)1 (C)2 (D)4
【解析】本小题考查反函数,基础题。
解:由题令得,即,又,所以,故选择C。
45.(2009湖南卷理)若a<0,>1,则 (D)
A.a>1,b>0 B.a>1,b<0 C. 0<a<1, b>0 D. 0<a<1, b<0
【答案】:D
【解析】由得由得,所以选D项。
46.(2009天津卷理)已知函数若则实数的取值范围是
A B C D
【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。
解析:由题知在上是增函数,由题得,解得,故选择C。
47.(理科做)(2009四川卷理)已知函数连续,则常数的值是
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点定位】本小题考查函数的连续性,考查分段函数,基础题。
解析:由题得,故选择B。
解析2:本题考查分段函数的连续性.由,,由函数的连续性在一点处的连续性的定义知,可得.故选B.
48.(2009福建卷文)定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示,则在上,下列函数中与的单调性不同的是
A.
B.
C.
D.
解析 解析 根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反,故可知求在上单调递减,注意到要与的单调性不同,故所求的函数在上应单调递增。而函数在上递减;函数在时单调递减;函数在(上单调递减,理由如下y’=3x2>0(x<0),故函数单调递增,显然符合题意;而函数,有y’=-<0(x<0),故其在(上单调递减,不符合题意,综上选C。
二、填空题
1.(2009年上海卷理)已知集合,,且,则实数a的取值范围是______________________ . .
【答案】a≤1
【解析】因为A∪B=R,画数轴可知,实数a必须在点1上或在1的左边,所以,有a≤1。
2.(2009重庆卷文)若是小于9的正整数,是奇数,是3的倍数,则 .
【答案】 .
解法1,则所以,所以
解析2,而
3.(2009重庆卷理)若,,则 .
【答案】(0,3)
【解析】因为所以
4.(2009北京文)设A是整数集的一个非空子集,对于,如果且,那么是A的一个“孤立元”,给定,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有 个.
【答案】6
.w【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.
什么是“孤立元”?依题意可知,必须是没有与相邻的元素,因而无“孤立元”是指在集合中有与相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类:
因此,符合题意的集合是:共6个.
故应填6.
5.(2009陕西卷文)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有 人。
答案:8.
解析:由条件知,每名同学至多参加两个小组,
故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组, 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为,则. .
,
由公式
易知36=26+15+13-6-4- 故=8 即同时参加数学和化学小组的有8人.
6.(2009湖南卷文)某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 .
解: 设所求人数为,则只喜爱乒乓球运动的人数为,
故. 注:最好作出韦恩图!
7.(理科做)(2009辽宁卷文)若函数在处取极值,则
【解析】f’(x)=
f’(1)==0 Þ a=3
【答案】3
8.(2009重庆卷理)若是奇函数,则 .
【答案】
【解析】解法1
9.(2009上海卷文) 函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________.
【答案】
【解析】由y=x3+1,得x=,将y改成x,x改成y可得答案。
10.(2009北京文)已知函数若,则 .
.w.w.k.s.5【答案】
.w【解析】5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考查.
由,无解,故应填.
11.(2009北京理)若函数 则不等式的解集为____________.
【答案】
【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.
(1)由.
(2)由.
∴不等式的解集为,∴应填.
12.(2009江苏卷)函数的单调减区间为 .
【解析】 考查利用导数判断函数的单调性。
,
由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
13.(2009江苏卷)在平面直角坐标系中,点P在曲线上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为 .
【解析】 考查导数的几何意义和计算能力。
,又点P在第二象限内,点P的坐标为(-2,15)
14.(2009江苏卷)已知,函数,若实数、满足,则、的大小关系为 .
【解析】考查指数函数的单调性。
,函数在R上递减。由得:m0且a1)有两个零点,则实数a的取值范围是 .
【解析】: 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是
答案:
【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.
17.(理科做)(2009福建卷理)若曲线存在垂直于轴的切线,则实数取值范围是_____________.
【答案】:
解析:由题意可知,又因为存在垂直于轴的切线,
所以。
18.(2009重庆卷文)记的反函数为,则方程的解 .
【答案】2
解法1由,得,即,于是由,解得
解法2因为,所以