高考 数学 全国卷 理 33页

2006 年普通高等学校招生全国统一考试 如果事件 A、B 互斥，那么 球的表面积公式 P（A+B）=P（A）+P（B） S=4πR2 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 P（A·B）=P（A）· P（B） 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 一．选择题 （1）设集合 ，则 （A） （B） （C） （D） R （2）已知函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，则 （A） R） （B） · （ ） （C） R） （D） （ ） （3）双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m= （A） （B）－4 （C）4 （D） （4）如果复数 是实数，则实数 m= （A）1 （B）－1 （C） （D）－ （5）函数 的单调增区间为 （A） Z （B） Z （C） Z （D） Z （6）△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等比数列，且 （A） （B） （C） （D） 3 3 4 RV π= knkk nn PPCkP −−= )1()( }2|||{},0|{ 2 <=<−= xxNxxxM =NM  ∅ MNM = MNM = =NM  xey = )(xfy = xy = ∈= xexf x ()2( 2 2ln)2( =xf xln 0>x ∈= xexf x (2)2( += xxf ln)2( 2ln 0>x 122 =+ ymx 4 1− 4 1 )1)(( 2 miim ++ 2 2 )4tan()( π+= xxf ∈+− kkk ),2,2( ππππ ∈+ kkk ),)1(,( ππ ∈+− kkk ),4,4 3( ππππ ∈+− kkk ),4 3,4( ππππ == Bac cos,2 则 4 1 4 3 4 2 3 2 （7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表 面积是 （A）16 （B）20 （C）24 （D）32 （8）抛物线 上的点到直线 距离的最小值是 （A） （B） （C） （D）3 （9）设平面向量 a1、a2、a3 的和 a1+a2+a3=0. 如果平面向量 b1、b2、b3 满足 顺时针旋转 30°后与 bi 同向，其中 i=1，2，3，则 （A） （B） （C） （D） （10）设 是公差为正数的等差数列，若 =80，则 = （A）120 （B）105 （C）90 （D）75 （11）用长度分别为 2、3、4、5、6（单位：cm）的 5 根细木棒围成一个三角形 （允许连接，但 不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 （A） cm2 （B） cm2 （C） cm2 （D）20cm2 （12）设集合 ，选择 I 的两个非空子集 A 和 B，要使 B 中最小的数 大于 A 中 最大的数，则不同的选择方法共有 （A）50 种 （B）49 种 （C）48 种 （D）47 种 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 第Ⅱ卷 注意事项： 1．答题前，考生先在答题卡上用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写 清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．第 II 卷共 2 页，请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， π π π π 2xy −= 0834 =−+ yx 3 4 5 7 5 8 iii aab 且|,|2|| = 0321 =++− bbb 0321 =+− bbb 0321 =−+ bbb 0321 =++ bbb }{ na 321321 ,15 aaaaaa =++ 131211 aaa ++ 58 106 553 }5,4,3,2,1{=I 在试题卷上作答无效。 3．本卷共 10 小题，共 90 分。 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分. 把答案填在横线上. （13）已知正四棱锥的体积为 12，底面对角线的长为 ，则侧面与底面所成 的二面角等于 . （14）设 ，式中变量 x、y 满足下列条件 则 z 的最大值为 . （15）安排 7 位工作人员在 5 月 1 日至 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、 乙二人都不安排在 5 月 1 日和 2 日.不同的安排方法共有 种.（用 数字作答） （16）设函数 若 是奇函数，则 = . 三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤. （17）（本小题满分 12 分） △ABC 的三个内角为 A、B、C，求当 A 为何值时, 取得最 大值,并求出这个最大值. 62 xyz −= 2         ≥ ≤+ −≥− ,1 ,2323 ,12 y yx yx ).0)(3cos()( πϕϕ <<+= xxf )()( xfxf ′+ ϕ 2cos2cos CBA ++ （18）（本小题满分 12） A、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验 组由 4 只小白鼠组成，其中 2 只服用 A，另 2 只服用 B，然后观察疗效. 若在一 个试验组中，服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多，就称该试验组为 甲类组. 设每只小白鼠服用 A 有效的概率为 ，服用 B 有效的概率为 . （Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率； （Ⅱ）观察 3 个试验组，用 表示这 3 个试验组中甲类组的个数. 求 的 分布列和数学期望. （19）（本小题满分 12 分） 如图， 、 是相互垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段. 点 A、B 在 上，C 在 上，AM = MB = MN. （Ⅰ）证明 ； （Ⅱ）若 ，求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值. 3 2 2 1 ξ ξ 1l 2l 1l 2l NBAC ⊥ 60=∠ACB （20）（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 中，有一个以 和 为焦点、离心 率为 的椭 圆. 设椭圆在第一象限的部分为曲线 C，动点 P 在 C 上，C 在点 P 处的切线与 x、 y 轴的交点分别为 A、B，且向量 . 求： （Ⅰ）点 M 的轨迹方程； （Ⅱ）| |的最小值. （21）（本小题满分 14 分） 已知函数 （Ⅰ）设 ，讨论 的单调性； （Ⅱ）若对任意 恒有 ，求 a 的取值范围. （22）（本小题满分 12 分） xOy )3,0(1 −F )3,0(2F 2 3 OBOAOM += OM .1 1)( axex xxf − − += 0>a )(xfy = )1,0(∈x 1)( >xf 设数列 的前 n 项的和 （Ⅰ）求首项 与通项 ； （Ⅱ）设 证明： . 2007 年全国普通高考全国卷一（理）全解全析 }{ na ,3,2,1,3 223 1 3 4 1 =+×−= + naS n nn 1a na ,,3,2,1,2 == nST n n n ∑ = < n i iT 1 2 3 一、选择题 1． 是第四象限角， ，则 A． B． C． D． 2．设 a 是实数，且 是实数，则 A． B．1 C． D．2 3．已知向量 ， ，则 与 A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且 反向 4．已知双曲线的离心率为 2，焦点是 ， ，则双曲线方程为 A． B． C． D． 5．设 ，集合 ，则 A．1 B． C．2 D． 6．下面给出的四个点中，到直线 的距离为 ，且位于 表示的平面区域内的点是 A． B． C． D． 7．如图，正棱柱 中， ，则异面直 线 与 所成角的余弦值为 A． B． C． D． 8．设 ，函数 在区间 上的最大值与最小值 之差为 ，则 A． B．2 C． D．4 9． ， 是定义在 R 上的函数， ，则“ ， 均为 偶函数”是“ 为偶函数”的 A．充要条件 B．充分而不必要的条件 α 5tan 12 α = − sinα = 1 5 1 5 − 5 13 5 13 − 1 1 2 a i i +++ a = 1 2 3 2 ( 5,6)a = − (6,5)b = a b ( 4,0)− (4,0) 2 2 14 12 x y− = 2 2 112 4 x y− = 2 2 110 6 x y− = 2 2 16 10 x y− = ,a b R∈ {1, , } {0, , }ba b a ba + = b a− = 1− 2− 1 0x y− + = 2 2 1 0 1 0 x y x y + − <  − + > (1,1) ( 1,1)− ( 1, 1)− − (1, 1)− 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 2AA AB= 1A B 1AD 1 5 2 5 3 5 4 5 1a > ( ) logaf x x= [ ,2 ]a a 1 2 a = 2 2 2 ( )f x ( )g x ( ) ( ) ( )h x f x g x= + ( )f x ( )g x ( )h x D C BA C1 B1 D1 A1 C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件 10． 的展开式中，常数项为 15，则 n= A．3 B．4 C．5 D．6 11．抛物线 的焦点为 F，准线为 l，经过 F 且斜率为 的直线与抛物线 在 x 轴上方的部分相交于点 A， ，垂足为 K，则△AKF 的面积是 A．4 B． C． D．8 12．函数 的一个单调增区间是 A． B． C． D． 二、填空题 13．从班委会 5 名成员中选出 3 名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育 委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。（用数 字作答） 14．函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称， 则 ____________。 15．等比数列 的前 n 项和为 ，已知 ， ， 成等差数列，则 的 公比为______。 16．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三 棱柱的底面边长为 2，则该三角形的斜边长为__________。 三、解答题 17．设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， （Ⅰ）求 B 的大小； （Ⅱ）求 的取值范围。 2 1( )nx x − 2 4y x= 3 AK l⊥ 3 3 4 3 2 2( ) cos 2cos 2 xf x x= − 2( , )3 3 π π ( , )6 2 π π (0, )3 π ( , )6 6 π π− ( )y f x= 3log ( 0)y x x= > y x= ( )f x = { }na nS 1S 22S 33S { }na 2 sina b A= cos sinA C+ 18．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款， 其利润为 250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元， 表示经销一件该商品 的利润。 （Ⅰ）求事件 A：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款” 的概率 ； （Ⅱ）求 的分布列及期望 。 19．四棱锥 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 底面 ABCD，已 知 ， ， ， 。 （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大 小。 ξ ξ η ( )P A η Eη S ABCD− SBC ⊥ 45ABC∠ = ° 2AB = 2 2BC = 3SA SB= = SA BC⊥ D BC A S 20．设函数 （Ⅰ）证明： 的导数 ； （Ⅱ）若对所有 都有 ，求 a 的取值范围。 21．已知椭圆 的左右焦点分别为 、 ，过 的直线交椭圆于 B、D 两点，过 的直线交椭圆于 A、C 两点，且 ，垂足为 P （Ⅰ）设 P 点的坐标为 ，证明： ； （Ⅱ）求四边形 ABCD 的面积的最小值。 ( ) x xf x e e−= − ( )f x '( ) 2f x ≥ 0x ≥ ( )f x ax≥ 2 2 13 2 x y+ = 1F 2F 1F 2F AC BD⊥ 0 0( , )x y 2 2 0 0 13 2 x y+ < 22．已知数列 中， ， ， （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）若数列 中， ， ， ，证明： ， { }na 1 2a = 1 ( 2 1)( 2)n na a+ = − + 1,2,3,n =  { }na { }nb 1 2b = 1 3 4 2 3 n n n bb b+ += + 1,2,3,n =  4 32 n nb a −< ≤ 1,2,3,n =  2007 年普通高等学校招生全国统一考试试题卷 理科数学（必修 + 选修Ⅱ） 一、选择题 （1） （A） （B） （C） （D） （2）函数 的一个单调增区间是 （A） （B） （C） （D） （3）设复数 z 满足 （A）－2+i （B）－2－i （C）2－i （D）2+i （4）下列四个数中最大的是 （A） （B） （C） （D） （5）在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 （A） （B） （C） （D） （6）不等式 的解集是 （A）（－2，1） （B）（2，+∞） （C） （D） （7）已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等,则 AB1 与侧面 ACC1A 所成的角的正弦值等于 （A） （B） （C） （D） （8）已知双曲线 的一条切的斜率为 ，则切点的横坐标为 （A）3 （B）2 （C）1 （D） （9）把函数 的图像按向量 a =（2,3）平移,得到 的图像,则 （A） （B） （C） （D） =210sin 2 3 2 3− 2 1 2 1− |sin| xy = )4,4( ππ− )4 3,4( ππ )2 3,( ππ )2,2 3( ππ ==+ ziz i 则,21 2)2(ln )2ln(ln 2ln 2ln =+== λλ 则,3 1,2 CBCACDDBAD 3 2 3 1 3 1− 3 2− 04 1 2 >− − x x ),2()1,2( +∞−  ),1()2,( +∞−−∞  4 6 4 10 2 2 2 3 xxy ln34 2 −= 2 1 2 1 xey = )(xfy = =)(xf 23 +−xe 23 −+xe 32 +−xe 32 −+xe （10）从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动， 每人一天，要求星期五有 2 人参加，星期六、星期日各有 1 人参加，则 不同的选派方法共有 （A）40 种 （B）60 种 （C）100 种 （D）120 种 （11）设 F1、F2 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点 A， 使 ，则双曲线的离心率为 （A） （B） （C） （D） （12）设 F 为抛物线 的焦点，A、B 、C 为该抛物线上三点，若 ，则 （A）9 （B）6 （C）4 （D）3 第Ⅱ卷（非选择题） 本卷共 10 题，共 90 分. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. （13） 的展开式中常数项为 ① .（用数字作答） （14）在某项测量中，测量结果 服从正态分布 若 在(0,1)内 取值的 概率为 0.4，则 在（0,2）内取值的概率为 ② . （15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2cm 的球面上，如果正四棱柱的 底面边长为 1cm，那么该棱柱的表面积为 ③ cm2. （16）已知数列的通项 ，其前 n 项和为 Sn，则 = ④ . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤. （17）（本小题满分 10 分） 在△ABC 中，已知内角 设内角 B=x，周长为 y. （Ⅰ）求函数 y=f(x)的解析式和定义域； （Ⅱ）求 y 的最大值. 12 2 2 2 =− b y a x ||3||90 2121 AFAFAFF ==∠ 且 2 5 2 10 2 15 5 xy 42 = 0=++ FCFBFA =++ |||||| FCFBFA 82 )1)(21( xxx −+ ξ ).0)(,1( 2 >σσN ξ ξ 25 +−= nan 2lim n Sn x ∞→ ,32,3 == BCA 边π （18）（本小题满分 12 分） 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件.假设事件 A： “取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 P（A）=0.96. （Ⅰ）求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p; （Ⅱ）若该批产品共 100 件，从中任意抽取 2 件, 表示取出的 2 件产品中 二等品的件数，求 的分布列. （19）（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 S—ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,侧棱 SD⊥底面 ABCD, E、 F 分别为 AB、SC 的中点. （Ⅰ）证明 EF//平面 SAD. （Ⅱ）设 SD=2DC. 求二面角 A—EF—D 的大小. ξ ξ （20）（本小题满分 12 分） 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为圆心的圆与直线 相切. （Ⅰ）求圆 O 的方程； （Ⅱ）圆 O 与 x 轴相交于 A、B 两点，圆内的动点 P 使|PA|、|PO|、|PB|成 等比数列，求 、 的取值范围. （21）（本小题满分 12 分） 设数列 的首项 （Ⅰ）求 的通项公式; （Ⅱ）设 其中 n 为正整数. 43 =− yx PA PB }{ na .,4,3,2,2 3),1,0( 1 1 =−=∈ − naaa n n }{ na ,,23 1+<−= nnnnn bbaab 证明 （22）（本小题满分 12 分） 已知函数 . （Ⅰ）求曲线 在点 M（ ）处的切线方程； （Ⅱ）设 a>0. 如果过点（a, b）时作曲线 y=f（x）的三条切线，证明： 2008 年普通高等学校招生全国统一考试 xxxf −= 3)( )(xfy = )(, tft ).(afba <<− 理科数学（必修+选修Ⅰ） 一、选择题 1．函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中 汽车的行驶路程 看作时间 的函数，其图像可能是（ ） 3．在 中， ， ．若点 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．设 ，且 为正实数，则 （ ） A．2 B．1 C．0 D． 5．已知等差数列 满足 ， ，则它的前 10 项的和 （ ） A．138 B．135 C．95 D．23 6．若函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，则 （ ） A． B． C． D． 7．设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 （ ） A．2 B． C． D． 8．为得到函数 的图像，只需将函数 的图像（ ） ( 1)y x x x= − + { }| 0x x≥ { }| 1x x≥ { } { }| 1 0x x ≥ { }| 0 1x x≤ ≤ s t s tO A． s tO s tO s tO B． C． D． ABC△ AB = c AC = b D 2BD DC=  AD = 2 1 3 3 +b c 5 2 3 3 −c b 2 1 3 3 −b c 1 2 3 3 +b c a∈R 2( )a i i+ a = 1− { }na 2 4 4a a+ = 3 5 10a a+ = 10S = ( 1)y f x= − ln 1y x= + y x= ( )f x = 2 1xe − 2xe 2 1xe + 2 2xe + 1 1 xy x += − (3 2)， 1 0ax y+ + = a = 1 2 1 2 − 2− πcos 2 3y x = +   sin 2y x= A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位 C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位 9．设奇函数 在 上为增函数，且 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 10．若直线 通过点 ，则（ ） A． B． C． D． 11．已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 内的射 影为 的中心，则 与底面 所成角的正弦值等于（ ） A． B． C． D． 12．如图，一环形花坛分成 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求 在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A．96 B．84 C．60 D．48 第Ⅱ卷 注意事项： 1．答题前，考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、 准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名 和科目． 2．第Ⅱ卷共 7 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区 域内作答，在试题卷上作答无效． 3．本卷共 10 小题，共 90 分． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线 上． （注意：在试题卷上作答无效） 13 ． 13 ． 若 满 足 约 束 条 件 则 的 最 大 值 为 ． 14．已知抛物线 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交 点为顶点的三角形面积为 ． 5π 12 5π 12 5π 6 5π 6 ( )f x (0 )+ ∞， (1) 0f = ( ) ( ) 0f x f x x − − < ( 1 0) (1 )− + ∞， ， ( 1) (01)−∞ − ， ， ( 1) (1 )−∞ − + ∞， ， ( 1 0) (01)− ， ， 1x y a b + = (cos sin )M α α， 2 2 1a b+ ≤ 2 2 1a b+ ≥ 2 2 1 1 1a b + ≤ 2 2 1 1 1a b + ≥ 1 1 1ABC A B C− 1A ABC ABC△ 1AB ABC 1 3 2 3 3 3 2 3 A B C D， ， ， x y， 0 3 0 0 3 x y x y x  +  − +   ， ， ， ≥ ≥ ≤ ≤ 2z x y= − 2 1y ax= − D B C A 15．在 中， ， ．若以 为焦点的椭圆经过点 ， 则该椭圆的离心率 ． 16．等边三角形 与正方形 有一公共边 ，二面角 的余弦 值 为 ， 分 别 是 的 中 点 ， 则 所 成 角 的 余 弦 值 等 于 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤． 17．（本小题满分 10 分）（注意：在试题卷上作答无效） 设 的 内 角 所 对 的 边 长 分 别 为 ， 且 ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的最大值． 18．（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效） 四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 底面 ， ， ， ． （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）设 与平面 所成的角为 ，求二面角 的大 小． ABC△ AB BC= 7cos 18B = − A B， C e = ABC ABDE AB C AB D− − 3 3 M N， AC BC， EM AN， ABC△ A B C， ， a b c， ， 3cos cos 5a B b A c− = tan cotA B tan( )A B− A BCDE− BCDE ABC ⊥ BCDE 2BC = 2CD = AB AC= AD CE⊥ CE ABE 45 C AD E− − C D E A B 19．（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效） 已知函数 ， ． （Ⅰ）讨论函数 的单调区间； （Ⅱ）设函数 在区间 内是减函数，求 的取值范围． 20．（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效） 已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血 液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病 动物为这 3 只中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果 呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验． （Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ） 表示依方案乙所需化验次数，求 的期望． 3 2( ) 1f x x ax x= + + + a∈R ( )f x ( )f x 2 1 3 3  − −  ， a ξ ξ 21．（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效） 双曲线的中心为原点 ，焦点在 轴上，两条渐近线分别为 ，经过右焦点 垂直于 的直线分别交 于 两点．已知 成等差数列，且 与 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程． O x 1 2l l， F 1l 1 2l l， A B， OA AB OB  、 、 BF FA AB 22．（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效） 设函数 ．数列 满足 ， ． （Ⅰ）证明：函数 在区间 是增函数； （Ⅱ）证明： ； （Ⅲ）设 ，整数 ．证明： ． ( ) lnf x x x x= − { }na 10 1a< < 1 ( )n na f a+ = ( )f x (01)， 1 1n na a +< < 1( 1)b a∈ ， 1 1 ln a bk a b −≥ 1ka b+ > 2009 年普通高等学校招生全国统一考试高.考.资.源.网 理科数学（必修+选修Ⅱ）高.考.资.源.网 高.考.资.源.网 本试卷分第错误！未找到引用源。卷（选择题）和第错误！未找到引用源。卷（非选 择题）两部分．第错误！未找到引用源。卷 1 至 2 页，第错误！未找到引用源。卷 3 至 4 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．高.考.资.源.网 第Ⅰ卷高.考.资.源.网 考生注意：高.考.资.源.网 1．答题前，考生在答题卡上务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、 填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．高.考.资.源.网 2．每小题选出答案后，用 2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．高.考.资.源.网 3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．高.考.资.源.网 高.考.资.源.网 参考公式：高.考.资.源.网 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式高.考.资.源.网 高.考.资.源.网 如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径高.考.资.源.网 球的体积公式高.考.资.源.网 如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 高.考.资.源.网 次独立重复试验中恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径高.考.资.源.网 高.考.资.源.网 一、选择题高.考.资.源.网 (1)设集合 A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集 U=A B，则集合 中的 元素共有高.考.资.源.网 （A）3 个 （B）4 个 （C）5 个 （D）6 个高.考.资.源.网 （2）已知 =2+i,则复数 z=高.考.资.源.网 （A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 高.考.资.源.网 (3) 不等式 ＜1 的解集为高.考.资.源.网 A B， ( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + 24πS R= A B， R ( ) ( ) ( )P A B P A P B=  A P 34 π3V R= n k R ( ) (1 ) ( 01,2 )k k n k n nP k C P P k n−= − = ， ， ，  [ ( )u A B 1 i Z ＋ 1 1 X X + − （A）｛x (B) 高.考.资.源.网 （C） (D) 高.考.资.源.网 (4)设双曲线 （a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切，则该双曲线的离 心率等于高.考.资.源.网 （A） （B）2 （C） （D） 高.考.资.源.网 高.考.资.源.网 (5) 甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中 各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有高.考.资.源.网 （A）150 种 （B）180 种 （C）300 种 (D)345 种高.考.资.源.网 （6）设 、 、 是单位向量，且 · ＝0，则 的最小值为高.考.资.源.网 （A） （B） （C） (D) 高.考.资.源.网 （7）已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为高.考.资.源.网 （A） （B） （C） (D) 高.考.资.源.网 （8）如果函数 的图像关于点 中心对称，那么 的最小值为高.考.资. 源.网 （A） （B） （C） (D) 高.考.资.源.网 (9) 已知直线 y=x+1 与曲线 相切，则α的值为高.考.资.源.网 (A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 高.考.资.源.网 高.考.资.源.网 （10）已知二面角α-l-β为 ，动点 P、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为 ，Q 到α的距离为 ，则 P、Q 两点之间距离的最小值为 (A) (B)2 (C) (D)4 （11）函数 的定义域为 R，若 与 都是奇函数，则 (A) 是偶函数 (B) 是奇函数 } { }0 1 1x x x〈 〈 〉 { }0 1x x〈 〈 { }1 0x x− 〈 〈 { }0x x〈 2 2 2 2 1x y a b − = 3 5 6 a b c a b ( ) ( )a c b c− • − 2− 2 2− 1− 1 2− 1 1 1ABC A B C− 1A ABC BC AB 1CC 3 4 5 4 7 4 3 4 ( )cos 2y x φ＝3 ＋ 4 3 π    ，0 | |ϕ 6 π 4 π 3 π 2 π y ln( )x a= + 60 3 2 3 2 2 3 ( )f x ( 1)f x + ( 1)f x − ( )f x ( )f x (C) (D) 是奇函数 12.已知椭圆 的右焦点为 ,右准线为 ，点 ，线段 交 于点 ， 若 ,则 = A. B. 2 C. D. 3 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修 II） 第 II 卷 注意事项： 1. 答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，并贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选题其他答案标号，在试卷上作答无效。 3. 第 II 卷共 10 小题，共 90 分。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） 13. 的展开式中， 的系数与 的系数之和等于 。 14. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ,则 = 。 15. 直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 , ，则此球的表面积等于 。 16. 若 ，则函数 的最大值为 。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 10 分）（注意：在试题卷上作答无效） 在 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 、 、 ，已知 ，且 求 b ( ) ( 2)f x f x= + ( 3)f x + 2 2: 12 xC y+ = F l A l∈ AF C B 3FA FB=  | |AF 2 3 ( )10x y− 7 3x y 3 7x y { }na n nS 9 72S = 2 4 9a a a+ + 1 1 1ABC A B C− 1 2AB AC AA= = = 120BAC∠ = ° 4 2x π π< < 3tan 2 tany x x= ABC∆ a b c 2 2 2a c b− = sin cos 3cos sin ,A C A C= 18（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， ，点 M 在侧棱 上， =60° （I）证明：M 在侧棱 的中点 （II）求二面角 的大小。 19（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束， 假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立，已知 前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。 （I）求甲获得这次比赛胜利的概率； （II）设 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求 得分布列及数学期望。 20（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效） 在数列 中， （I）设 ，求数列 的通项公式 （II）求数列 的前 项和 S ABCD− ABCD SD ⊥ ABCD 2AD = 2DC SD= = SC ABM∠ SC S AM B− − ξ ξ { }na 1 1 1 11, (1 ) 2n n n na a an+ += = + + n n ab n = { }nb { }na n nS 21（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效） 如图，已知抛物线 与圆 相交于 、 、 、 四个点。 （I）求 得取值范围； （II）当四边形 的面积最大时，求对角线 、 的交点 坐标 2:E y x= 2 2 2:( 4) ( 0)M x y r r− + = > A B C D r ABCD AC BD P 22. 本小题满分 12 分。（注意：在试题卷上作答无效） 设函数 在两个极值点 ，且 （I）求 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点 的区域； (II)证明： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ( ) 3 23 3f x x bx cx= + + 1 2x x、 1 1[ 1 0], [1,2].x x∈ − ∈， b c、 ( ),b c ( )2 110 2f x− ≤ ≤ − 绝密★启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修 II) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 3．第 I 卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 R 表示球的半径 一、选择题 (1)复数 (A)i (B) (C)12-13 (D) 12+13 (2)记 ,那么 A. B. - C. D. - (3)若变量 满足约束条件 则 的最大值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 A、B ( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + 24S Rπ= A、B ( ) ( ) ( )P A B P A P B=  p 33 4V Rπ= n A k ( ) (1 ) ( 0,1,2, )k k n k n nP k C p p k n−= − = … 3 2 2 3 i i + =− i− i i cos( 80 ) k− ° = tan100° = 21 k k − 21 k k − 21 k k− 21 k k− ,x y 1, 0, 2 0, y x y x y ≤  + ≥  − − ≤ 2z x y= − （4）已知各项均为正数的等比数列{ }中， =5， =10，则 = (A) (B) 7 (C) 6 (D) (5) 的展开式中 x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 (6)某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选择课 4 门，一位同学从中共选 3 门.若要求两类课程中 各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种 （7）正方体 ABCD- 中，B 与平面 AC 所成角的余弦值为 （A） （B） （C） （D） （8）设 a= 2,b=ln2,c= ,则 （A） a