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- 2021-05-13 发布
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数列高考知识点大扫描
数列基本概念
数列是一种特殊函数,对于数列这种特殊函数,着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质,依据这些性质将数列分类:
依定义域分为:有穷数列、无穷数列;
依值域分为:有界数列和无界数列;
依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。
数列的表示方法:列表法、图象法、解析法(通项公式法及递推关系法);
数列通项:
2、等差数列
1、定义 当,且 时,总有 ,d叫公差。
2、通项公式
1)、从函数角度看 是n的一次函数,其图象是以点 为端点, 斜率为d斜线上一些孤立点。
2)、从变形角度看 , 即可从两个不同方向认识同一数列,公差为相反数。
又,
相减得 ,即.
若 n>m,则以 为第一项,是第n-m+1项,公差为d;
若nn),求Sn+m的值。
[思路] 下标存在关系:m+n=m+n, 这与通项性质 是否有关?
[解题] 由Sn=a,Sm=Sn+a n+1+an+2+……+am=b 得 a n+1+an+2+……+am =b-a,
即 , 得
由(n+1)+m=1+(n+m), 得an+1+am=a1+am+n
故
[请你试试 1——3]
1、在等差数列{an}中,,,求 。
2、在等差数列{an}中,,,求 。
第3变 已知已知前n项和及前2n项和,如何求前3n项和
[变题3] 在等差数列{an}中,,,求
[思路] 由寻找之间的关系。
[解题] 设数列{an}公差为d ,, ,, , ,
所以 成等差数列,公差100d , 于是 ,得 。
[收获] 1、在等差数列{an}中,成等差数列,即 ,,,……,成等差数列,且。
1、 可推广为 ,,……,。
[请你试试 1——4]
1、在等差数列{an}中,,,求
2、在等差数列{an}中,,,求
3、在等差数列{an}中,,,求 及。
4、数列{an}中,,,求 。
5、等差数列{an}共有3k项,前2k项和 ,后2k项和 ,求中间k项和。
第4变 迁移变换 重视Sx=Ax2+Bx 的应用
[变题4] 在等差数列{an}中,Sn=m,,Sm=n,(m>n),求Sn+m的值。
[思路] 等差数列前n项和公式是关于n的二次函数,若所求问题与 无关时,常设为S=An2+Bn形式。
[解题] 由已知可设 Sn=An2+Bn=m Sm=Am2+Bm=n ,
两式相减 ,得 A(n+m)(n-m)+B(n-m)=m-n , 又m>n , 所以 ,
得 。
[收获] “整体代换”设而不求,可以使解题过程优化。
[请你试试 1——5]
1、 在等差数列{an}中,,,求
2、 在等差数列{an}中,,,求
3、 在等差数列{an}中,,,求 当n为何值时,有最大值
第5变 归纳总结,发展提高
[题目] 在等差数列{an}中,Sn=a,Sm=b,(m>n),求Sn+m的值。(仍以变题2为例)
除上面利用通项性质求法外,还有多种方法。现列举例如下:
1、 基本量求解:
由,
相减得,
代入得。
2、利用等差数列前x项和公式Sx=Ax2+Bx求解
由Sx=Ax2+Bx,得 Sn=An2+Bn, Sm=Am2+Bm
两式相减 ,得 A(n+m)(n-m)+B(n-m)=a-b
即 故
3、利用关系式求解
由 知 与n成线性关系,从而点集{(n, )}中的点共线,即(n, ),
(m, ),(m+n, )共线,则有 , 即 ,
化简, 得 , 即.
4、利用定比分点坐标公式求解
由A(n, ), B(m, ), P(m+n, )三点共线,将点P看作有向线段的定比分点,则 ,可得,
即.
[请你试试 1——6]
若Sn是等差数列{an}的前n项和,S2=3,S6=4 ,则S12______.
第二节 等比数列的概念、性质及前n项和
题根二 等比数列{an} , , 求。
[思路] 1、由已知条件联立,求,从而得
2、由等比数列性质,知成等比数列。
[解题1] 由 , 两式相除,得 ,。
[解题2] 由 成等比,得 。
[收获] 1、灵活应用性质,是简便解题的基础;
2、等比数列中,序号成等差的项,成等比数列。
[ 请你试试2 ——1]
等比数列{an} , ,若 ,则_______。
第1变 连续若干项之和构成的数列仍成等比数列
[变题2] 等比数列{an} ,,求 。
[思路] 等比数列中,连续若干项的和成等比数列。
[解题] 设,……,,
则是等比数列,,,即 。
[收获] 等比数列{an} , 时,,…… 成等比数列,但总有 。当k为偶数时,恒成立。
[请你试试2——2]
1、等比数列{an} , 时,,求。
2、等比数列{an} , 时,,求。
第2变 成等差,则 成等差
[变题3] 等比数列{an} 中, 成等差,则 成等差 。
[思路] 成等差,得,要证 等差,只需证 。
[解题]由 成等差,得,
当 q=1时, , 由 得 ,。
由, 得 ,
整理得 ,,得 ,
两边同乘以 , 得 ,即 成等差。
[收获] 1、等比数列{an} 中,成等差,则 成等差。
2、等比数列{an} 中,成等差,则 (其中 )成等差
3、等比数列{an} 中,成等差,则 (其中)成等差。
[请你试试2——3]
1、 等比数列{an} , , 成等差, 求的值。
2、等比数列{an} ,成等差,求证 成等比。
第3变 是等比, 也是等比数列
[变题4]数列 中, 且 ,是等比数列,公比 q (),求证() 也是等比数列。
[思路] ,欲证 为等比数列,只需证 为常数。
[解题] ,,(), 得,而 ,,,( ), 故 从第二项起,构成等比数列,公比为 q 。
第4变 等比数列在分期付款问题中应用
问题 顾客购买一售价为5000元的商品时,采用分期付款方法,每期付款数相同,购买后1个月付款一次,到第12次付款后全部付清。如果月利润为0.8%,每月利息按复利计算,那么每期应付款多少?(精确到1元)
分析一:设每期应付款x元,则
第1次付款后,还欠 5000(1+0.8%)-x(元)
第2次付款后,还欠 [5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x(元)
第3次付款后,还欠 {5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x}(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)3-x(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x(元)
…………
最后一次付款后,款已全部还清,则 5000(1+0.8%)12-x(1+0.8%)11-x(1+0.8%)10-……-x(1+0.8%)-x=0 ,
移项 5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x(1+0.8%)10+……+x(1+0.8%)+x , 即
算得 (元)
一般地,购买一件售价为a元的商品,采用分期付款时,要求在m个月内将款还至b元,月利润为p,分n(n是m的约数)次付款,那么每次付款数计算公式为 .
分析二:设每月还款x元,将商家的5000元折算成12个月后的钱要计算12个月的利息,而顾客第一次还的钱也应计算11个月的利息,第二次还的钱应计算10月的利息……,于是得方程
5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x(1+0.8%)10+……+x(1+0.8%)+x, 解得(元)
分析三:设每次还款x元,把还款折成现在的钱,可得
, 解得 (元)。
将上述方法应用到其他实际问题中,如木材砍伐,人口增长等。
[请你试试2——4]
某地现有居民住房的总面积为a m2,其中需要拆除的旧住房面积占了一半。当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下,仍以10%的住房增长率建设新住房。如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番,那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少?(取1.110为2.6)
第三节 常见数列的通项及前n项和
[题根3] 求分数数列的前n项和
[思路] 写出数列通项公式,分析数列特点:分母中两因数之差为常数1。
[解题] 数列通项公式 ,亦可表示为 ,
所以 。
[收获] 将数列每一项裂为两项的差,再相加,使得正负抵消。
第1变 分母中两因数之差由常数1由到d
[变题1] 求分数数列的前n项和。
[思路] 写出通项公式,裂项求和。,
[解题] ,
。
[收获]1、求分数数列的前n项和时,将数列每一项裂为两项的差,称裂项法。
2、用裂项法可求解:
(1) 若为等差数列,,公差为d,则
.
3、常见裂项法求和有两种类型:分式型和根式型。如分式型 ;
根式型 ;。另外还有:nn!=(n+1)!-n!, 。
[请你试试 3——1]
1、求分数数列的前n项和
2、求分数数列的前n项和。
1、 求分数数列的前n项和。
第2变 分母中因数由2到3
[变题2] 求分数数列的前n项和。
[思路] 数列中的项的变化:分母因数由两个变为三个,是否还可裂项呢?
[解题] 由 ,
得
。
[收获] 1、分母为连续三因数的积,仍拆为两项的差,再相加,使得正负抵消。
2、对于公差为d ()的等差数列 ,有 .
[请你试试 3——2]
1、求分数数列……的前n项和。
2、求分数数列……的前n项和。
3、求分数数列……的前n项和。
第3变 由分数数列到幂数列
[变题3] 求数列……的前n项和。
[思路] 利用恒等式 ,取k=1 , 2 , 3 ,……,相加正负抵消可解。
[解题] 由恒等式
取k=1、2、3……, 得
…………
各式相加得
得
。
[收获] 利用恒等式 ,类似可得 。
注意:正整数的平方和、立方和公式应用十分广泛。
[请你试试 3——3]
求和 (1),(2),(3)。
第4变 由幂数列到积数列
[变题4] 求数列……的前n项和。
[思路1]写通项公式,由通项特征求解。
[解题1],
。
[思路2] 利用 裂项相加。
[解题2] 由
得
。
[收获] 对于通项为两因数的积,可推广到通项为k个因数的积,如求数列……的前项和。
由 将每一项裂为两项的差,相加即可正负抵消。
[思路3] 联想组合数公式,可见 ,利用组合数性质可得。
[解题3] 由,得 。
[请你试试 3——4]
求数列……的前n项和。
第4变 由等差数列与等比数列对应项的积构成的积数列
[变题5] 在数列 中,,(1) 分别求出 和 的n取值范围;(2)求数列最大项;(3)求数列前n项和 。
[思路] 1、解正整数不等式,2、利用函数单调性,3、利用错位相消法。
[解题] (1)由 ,当n<9时, ,即 ;当 n<9时 ,, 即 。
(1) 当n=9时, ,是数列的最大项。
(2) 设 …………(1)
则 …………(2)
相减得 。
[请你试试 3——5]
1、 求数列 ……的前n项和。
2、 求和。
3、 求和。
4、 已知数列 , 数列 ,,求数列 的前n项和。
第四节 递推数列的通项公式及前n项和
1、利用不动点求数列通项
[题根三] 数列 满足,,求通项公式。
[思路] 1、写出 ,由不完全归纳法得表达式。
2、构造新数列,转化成等比数列求解。
[解题] 在的 两边加1,则数列 是首项为2,公比为2的等比数列,
得 ,即 即为所求。
[收获] 型递推数列,当p=1时, 数列为等差数列;当时,
数列为等比数列。下面给出时递推式的通项公式的求法:
方法1、因为 所以一定存在 满足 , 从而得 , 此为函数的不动点。 由 ,得是首项为 ,公比为p的等比数列,于是 , 即 ,将 代入上式, 得 通项公式为 ………………(I)
方法2、由,, 得,令, 则,则是首项为,公比为q的等比数列, 得
(*);当n=1时,(*)式也成立。
[请你试试4——1]
数列满足 , , 求 。
[变题1] 数列 满足, 求通项公式 。
[思路] 常见解法:先求数列 的通项公式
[解题]由将已知关系式取倒数得 , 由(#)式 得 ,所以。
[收获] 型递推数列的通项公式的求法:
令 ,得 或 为两不动点。由于,
设,则 ,此为模型。 同样, 也可化为 模型,由(I)式 可求得。更为特殊的是p=s 时,, 设 则数列 是等差数列 。我们常取的倒数求解 ,原因恰是为此 。
[变题2] (06年江西理第22题)数列 满足, 求通项公式。
[解答] ,即,又,得 ,所以 ,得 。
[请你试试4——2]
函数 ,数列 满足,, ,(1)求的通项公式 ;(2)设 ,求 。
[变题2] 数列中, ,求
[思路1] 令 ,得 ,即两不动点,可得是等比数列,
[解法1] 由,
令, 则 ……………………(a )
由,
令, 则 ……………………(b)
(a) 式除以(b)式 得 ,即是首项为
公比为的等比数列,,
[思路2] 和均可化为型递推式,
[解法2] 由
令, 则 , 由(I)式 得
所以
[解法3] 由 , 亦可求得
[收获] 求解型递推数列的通项公式的方法:
令 , 设其两根为 即两不动点。于是是等比数列, 并且和均可化为型递推式 。
[请你试试4——3]
写出解法3的详细过程。
[变题3] 设数列 前n项和为,求 及 。
[思路] 将已知关系中 的化为 ,再进一步变形。
[解题] 由,得 , 即
, 得.
这是 型递推式,由(#)式得
第1变 递推式
2、累积错位相消法求数列通项
[变题4] 数列 满足,,求通项公式。
[思路] 观察 与、与 存在的关系,思考解题方法。
[解题] ,,,……,,各式相乘得 。
[收获] 1、若f(n)为常数, 则为等比数列。2、型递推式,通项公式求解方法如下:
各式两边分别相乘,得 ……………………………(II)
当n=1时, (II)仍成立
[变题5] 在数列中,,
(1) 求 通项公式 (2)令,求的前n项和。
[思路] 将题中递推式转化、归类,再求解。
[解题] (1)将题中递推式转化为:
.
即 .由 (II) 式 得通项公式
(2) 由 , 得
所以数列前n 项和 :
第2变 型递推数列
3、累加错位相消法求数列通项
[变题6] 已知数列中,,, 求的通项公式。
[思路] 将题中递推式变形 ,利用错位相消法。
解 将题中递推式表示为:,
于是 ,,,……,
各式相加得
得
即为所求通项公式。
[收获] 对于数列,设 则称数列是差数列, 则
得
所以的通项公式为………… (III). 当n=1时,也满足(III)式。
[变题7] 在数列中,, , 求通项公式。
[思路] 题中关系式不是型的递推式,但两边同除以n(n+1),经过变量替换,可化为型递推式。
[解题] 在递推式 两边同除以 n(n+1) , 得
令 得 ,。由(III)式得 表达式为:
于是通项公式为
[请你试试4——4]
求数列 1、4、11、26、57、120、……,的通项公式。
第3变 型递推数列
4、两边同除以 ,经过变量替换,化为型递推式
[变题8] 数列满足 , , 求 。
[思路] 递推式两边同除以 ,经过变量替换,可化为型递推式。
[解题] 在 两边同除以 , 得
令 ,则 , 此为模型。
于是 则
所以
[收获] 在中, 当q(n)是常数q时,即为模型。
在两边同除以 , 得 , 令, 得 即可求出 的通项公式,从而得=
[变题9](2006年全国理第22题)设数列前n项和为,n=1,2,……,求通项 。
[解答] 。因为 ,所以由题设得:,即
,得 。
[规律小结] 根据数列性质可得出递推关系,然后再根据结构特征求通项公式。
[请你试试4——5]
1、数列满足 , , 求 。
2、数列的前n项和 ,, 求
第3变 型
4、两边取对数,变形转化为模型
[变题10] 数列中,令, (1)求数列的通项公式,(2)设,求。
[思路] 利用对数运算法则变形转化。
解:(1)由已知得 ,即模型,
由(II)式,得。
(2) 由 , 得
则 。
[收获] ,当q=1时,为等比数列。当 时,对递推式两边取常用对数,得
, 令, 得 ,此为模型,即题根 。
第4变 型
5、利用特征根求通项公式
[变题11] 在数列 中, , ,求
[思路] 在数列中,已知 ,且 ,求其通项公式方法介绍如下:当 时,存在 满足 (*),即 ,与 比较系数,得 ,由根与系数的关系知 是二次方程 两实根,此方程称为递推式的特征方程。易见,只需将递推式中的 换成 即可得特征方程。由 (*)式知数列 是等比数列,于是 或 。当 时,将p=1-q代入递推式,得 ,则 是以 为首项,-q为公比的等比数列,从而 ,利用错位相消法即可求解。
[解题] 递推式特征方程为 ,解得 ,所以递推式可表示为 ,数列是首项为 ,公比为 的等比数列,所以……,两边同除以 ,得 ,
于是 是首项为0,公差为1等差数列,故,。
[收获] 一般的,在数列中,已知 ,且 ,它的特征方程 两根为,则,当时 ,通项公式 ;当时 ,通项公式 ……,其中A,B为常数,可由 推出。
利用这一结论可方便的推出通项公式。
[变题12] 在数列 中, , ,求
解:特征方程 两根为。设 ,由,得 A=2,B=-1, 故 。
[请你试试 4——6]
1、在数列 中, , ,求 。
2、在数列 中, , ,求 。
第六章 数列 请你试试 答案与提示
[请你试试 1—1]:1、,,选 C
2、a3+a7-a10+a11-a4=,得 。
[请你试试 1—2]:1、略; 2、n=27; 3、由,;
4、倒加法 。
[请你试试 1—3]:1、200; 2、4 。
[请你试试 1—4]:1、12; 2、40; 3、 0、110; 4、3 (b-a);5、。
[请你试试 1—5]:1、 1504;2、0;3、12或13。
[请你试试 1—6]:。
[请你试试2—1]:等比数列中某些项的积的问题,利用性质解。 设 , , ,易见A,B,C成等比,公比为 。 由 且 ,得 ,即 ,。
[请你试试2—2]:1、 ;2、 或(舍去)。
[请你试试2—3]:1、等差,则,得 ,即=0;
2、略。
[请你试试2—4]:由上例分析得 a(1+10%)10-x(1+10%)9-……-x(1+10%)-x=2a,即,
即 2.6a-16x=2a 。
[请你试试3—1]:1、 ;2、 ;3、 。
[请你试试3—2]:1、;2、 ;
3、
。
[请你试试3—3]:1、;2、;3、。
[请你试试3—4]:。
[请你试试3—5]:1、;2、分和 两种情形;3、;
4、。
[请你试试4—1]:由 得 ,可得;
或由求。
[请你试试4—2]:提示:;。
[请你试试4—3]:略
[请你试试4—4]:由原数列得一阶差数列 :3、7、15、31、63、……;由得 二阶差数列 :
4、8、16、32、……,易得,得,最后得原数列通项公式 。
[请你试试4—5]:1、两边同除以,得,即,得 。2、由, 得 , 。
[请你试试4—6]:1、特征方程 两根为,设 ,由,得 A=0,B=1, 故 。2、取对数,,令,则 ,,且 , ……,。