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  • 2021-05-13 发布

数列高考知识点归纳非常全

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数列高考知识点大扫描 ‎ ‎ 数列基本概念 数列是一种特殊函数,对于数列这种特殊函数,着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质,依据这些性质将数列分类:‎ 依定义域分为:有穷数列、无穷数列;‎ 依值域分为:有界数列和无界数列;‎ 依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。‎ 数列的表示方法:列表法、图象法、解析法(通项公式法及递推关系法);‎ 数列通项:‎ ‎2、等差数列 ‎ 1、定义 当,且 时,总有 ,d叫公差。‎ ‎ 2、通项公式 ‎ ‎1)、从函数角度看 是n的一次函数,其图象是以点 为端点, 斜率为d斜线上一些孤立点。‎ ‎2)、从变形角度看 , 即可从两个不同方向认识同一数列,公差为相反数。‎ 又,‎ 相减得 ,即.‎ 若 n>m,则以 为第一项,是第n-m+1项,公差为d;‎ 若nn),求Sn+m的值。‎ ‎[思路] 下标存在关系:m+n=m+n, 这与通项性质 是否有关?‎ ‎[解题] 由Sn=a,Sm=Sn+a n+1+an+2+……+am=b 得 a n+1+an+2+……+am =b-a,‎ 即 , 得 ‎ 由(n+1)+m=1+(n+m), 得an+1+am=a1+am+n 故 ‎[请你试试 1——3]‎ ‎1、在等差数列{an}中,,,求 。‎ ‎2、在等差数列{an}中,,,求 。‎ 第3变 已知已知前n项和及前2n项和,如何求前3n项和 ‎[变题3] 在等差数列{an}中,,,求 ‎ ‎[思路] 由寻找之间的关系。‎ ‎[解题] 设数列{an}公差为d ,, ,, , ,‎ 所以 成等差数列,公差100d , 于是 ,得 。‎ ‎[收获] 1、在等差数列{an}中,成等差数列,即 ,,,……,成等差数列,且。‎ 1、 可推广为 ,,……,。‎ ‎ [请你试试 1——4]‎ ‎1、在等差数列{an}中,,,求 ‎ ‎2、在等差数列{an}中,,,求 ‎ ‎3、在等差数列{an}中,,,求 及。‎ ‎4、数列{an}中,,,求 。 ‎ ‎5、等差数列{an}共有3k项,前2k项和 ,后2k项和 ,求中间k项和。‎ 第4变 迁移变换 重视Sx=Ax2+Bx 的应用 ‎[变题4] 在等差数列{an}中,Sn=m,,Sm=n,(m>n),求Sn+m的值。‎ ‎[思路] 等差数列前n项和公式是关于n的二次函数,若所求问题与 无关时,常设为S=An2+Bn形式。‎ ‎[解题] 由已知可设 Sn=An2+Bn=m Sm=Am2+Bm=n ,‎ 两式相减 ,得 A(n+m)(n-m)+B(n-m)=m-n , 又m>n , 所以 ,‎ 得 。‎ ‎[收获] “整体代换”设而不求,可以使解题过程优化。‎ ‎[请你试试 1——5]‎ 1、 在等差数列{an}中,,,求 ‎ 2、 在等差数列{an}中,,,求 ‎ 3、 在等差数列{an}中,,,求 当n为何值时,有最大值 第5变 归纳总结,发展提高 ‎[题目] 在等差数列{an}中,Sn=a,Sm=b,(m>n),求Sn+m的值。(仍以变题2为例)‎ 除上面利用通项性质求法外,还有多种方法。现列举例如下:‎ 1、 基本量求解:‎ 由,‎ 相减得, ‎ 代入得。‎ ‎2、利用等差数列前x项和公式Sx=Ax2+Bx求解 由Sx=Ax2+Bx,得 Sn=An2+Bn, Sm=Am2+Bm 两式相减 ,得 A(n+m)(n-m)+B(n-m)=a-b 即 故 ‎3、利用关系式求解 由 知 与n成线性关系,从而点集{(n, )}中的点共线,即(n, ),‎ ‎(m, ),(m+n, )共线,则有 , 即 ,‎ 化简, 得 , 即.‎ ‎4、利用定比分点坐标公式求解 由A(n, ), B(m, ), P(m+n, )三点共线,将点P看作有向线段的定比分点,则 ,可得, ‎ 即.‎ ‎[请你试试 1——6]‎ 若Sn是等差数列{an}的前n项和,S2=3,S6=4 ,则S12______.‎ 第二节 等比数列的概念、性质及前n项和 题根二 等比数列{an} , , 求。‎ ‎[思路] 1、由已知条件联立,求,从而得 ‎2、由等比数列性质,知成等比数列。‎ ‎[解题1] 由 , 两式相除,得 ,。‎ ‎[解题2] 由 成等比,得 。‎ ‎[收获] 1、灵活应用性质,是简便解题的基础;‎ ‎2、等比数列中,序号成等差的项,成等比数列。‎ ‎ [ 请你试试2 ——1]‎ ‎ 等比数列{an} , ,若 ,则_______。‎ ‎ 第1变 连续若干项之和构成的数列仍成等比数列 ‎[变题2] 等比数列{an} ,,求 。‎ ‎[思路] 等比数列中,连续若干项的和成等比数列。‎ ‎[解题] 设,……,,‎ 则是等比数列,,,即 。‎ ‎[收获] 等比数列{an} , 时,,…… 成等比数列,但总有 。当k为偶数时,恒成立。‎ ‎ [请你试试2——2]‎ ‎1、等比数列{an} , 时,,求。‎ ‎2、等比数列{an} , 时,,求。‎ ‎ 第2变 成等差,则 成等差 ‎[变题3] 等比数列{an} 中, 成等差,则 成等差 。‎ ‎[思路] 成等差,得,要证 等差,只需证 。‎ ‎[解题]由 成等差,得,‎ 当 q=1时, , 由 得 ,。‎ 由, 得 ,‎ 整理得 ,,得 ,‎ 两边同乘以 , 得 ,即 成等差。‎ ‎[收获] 1、等比数列{an} 中,成等差,则 成等差。‎ ‎2、等比数列{an} 中,成等差,则 (其中 )成等差 ‎3、等比数列{an} 中,成等差,则 (其中)成等差。‎ ‎ [请你试试2——3]‎ 1、 等比数列{an} , , 成等差, 求的值。‎ ‎2、等比数列{an} ,成等差,求证 成等比。‎ 第3变 是等比, 也是等比数列 ‎[变题4]数列 中, 且 ,是等比数列,公比 q (),求证() 也是等比数列。‎ ‎[思路] ,欲证 为等比数列,只需证 为常数。‎ ‎[解题] ,,(), 得,而 ,,,( ), 故 从第二项起,构成等比数列,公比为 q 。‎ 第4变 等比数列在分期付款问题中应用 ‎ ‎ 问题 顾客购买一售价为5000元的商品时,采用分期付款方法,每期付款数相同,购买后1个月付款一次,到第12次付款后全部付清。如果月利润为0.8%,每月利息按复利计算,那么每期应付款多少?(精确到1元)‎ ‎ 分析一:设每期应付款x元,则 第1次付款后,还欠 5000(1+0.8%)-x(元)‎ 第2次付款后,还欠 [5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x(元)‎ 第3次付款后,还欠 {5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x}(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)3-x(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x(元)‎ ‎…………‎ 最后一次付款后,款已全部还清,则 5000(1+0.8%)12-x(1+0.8%)11-x(1+0.8%)10-……-x(1+0.8%)-x=0 ,‎ 移项 5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x(1+0.8%)10+……+x(1+0.8%)+x , 即 ‎ 算得 (元)‎ 一般地,购买一件售价为a元的商品,采用分期付款时,要求在m个月内将款还至b元,月利润为p,分n(n是m的约数)次付款,那么每次付款数计算公式为 .‎ 分析二:设每月还款x元,将商家的5000元折算成12个月后的钱要计算12个月的利息,而顾客第一次还的钱也应计算11个月的利息,第二次还的钱应计算10月的利息……,于是得方程 ‎5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x(1+0.8%)10+……+x(1+0.8%)+x, 解得(元)‎ 分析三:设每次还款x元,把还款折成现在的钱,可得 ‎ ‎ , 解得 (元)。‎ 将上述方法应用到其他实际问题中,如木材砍伐,人口增长等。‎ ‎[请你试试2——4]‎ ‎ 某地现有居民住房的总面积为a m2,其中需要拆除的旧住房面积占了一半。当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下,仍以10%的住房增长率建设新住房。如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番,那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少?(取1.110为2.6)‎ ‎ 第三节 常见数列的通项及前n项和 ‎ ‎[题根3] 求分数数列的前n项和 ‎[思路] 写出数列通项公式,分析数列特点:分母中两因数之差为常数1。‎ ‎[解题] 数列通项公式 ,亦可表示为 ,‎ 所以 。‎ ‎[收获] 将数列每一项裂为两项的差,再相加,使得正负抵消。‎ ‎ 第1变 分母中两因数之差由常数1由到d ‎[变题1] 求分数数列的前n项和。‎ ‎[思路] 写出通项公式,裂项求和。,‎ ‎[解题] ,‎ ‎。‎ ‎[收获]1、求分数数列的前n项和时,将数列每一项裂为两项的差,称裂项法。‎ ‎2、用裂项法可求解:‎ (1) 若为等差数列,,公差为d,则 ‎ .‎ ‎ 3、常见裂项法求和有两种类型:分式型和根式型。如分式型 ;‎ 根式型 ;。另外还有:nn!=(n+1)!-n!, 。‎ ‎[请你试试 3——1]‎ ‎1、求分数数列的前n项和 ‎2、求分数数列的前n项和。‎ 1、 求分数数列的前n项和。‎ ‎ ‎ ‎ 第2变 分母中因数由2到3‎ ‎[变题2] 求分数数列的前n项和。‎ ‎[思路] 数列中的项的变化:分母因数由两个变为三个,是否还可裂项呢?‎ ‎[解题] 由 ,‎ 得 ‎ ‎。‎ ‎[收获] 1、分母为连续三因数的积,仍拆为两项的差,再相加,使得正负抵消。‎ ‎2、对于公差为d ()的等差数列 ,有 .‎ ‎ [请你试试 3——2]‎ ‎ 1、求分数数列……的前n项和。‎ ‎ 2、求分数数列……的前n项和。‎ ‎ 3、求分数数列……的前n项和。‎ 第3变 由分数数列到幂数列 ‎[变题3] 求数列……的前n项和。‎ ‎[思路] 利用恒等式 ,取k=1 , 2 , 3 ,……,相加正负抵消可解。‎ ‎[解题] 由恒等式 ‎ 取k=1、2、3……, 得 ‎…………‎ 各式相加得 ‎ 得 ‎ ‎ 。‎ ‎[收获] 利用恒等式 ,类似可得 。‎ ‎ 注意:正整数的平方和、立方和公式应用十分广泛。‎ ‎[请你试试 3——3]‎ 求和 (1),(2),(3)。‎ ‎ 第4变 由幂数列到积数列 ‎[变题4] 求数列……的前n项和。‎ ‎[思路1]写通项公式,由通项特征求解。‎ ‎[解题1],‎ ‎。‎ ‎[思路2] 利用 裂项相加。‎ ‎[解题2] 由 得 ‎ ‎。‎ ‎[收获] 对于通项为两因数的积,可推广到通项为k个因数的积,如求数列……的前项和。‎ 由 将每一项裂为两项的差,相加即可正负抵消。‎ ‎[思路3] 联想组合数公式,可见 ,利用组合数性质可得。‎ ‎[解题3] 由,得 。‎ ‎[请你试试 3——4]‎ 求数列……的前n项和。 ‎ ‎ ‎ 第4变 由等差数列与等比数列对应项的积构成的积数列 ‎[变题5] 在数列 中,,(1) 分别求出 和 的n取值范围;(2)求数列最大项;(3)求数列前n项和 。‎ ‎ [思路] 1、解正整数不等式,2、利用函数单调性,3、利用错位相消法。‎ ‎[解题] (1)由 ,当n<9时, ,即 ;当 n<9时 ,, 即 。‎ (1) 当n=9时, ,是数列的最大项。‎ (2) 设 …………(1)‎ ‎ 则 …………(2)‎ ‎ 相减得 。‎ ‎ [请你试试 3——5]‎ 1、 求数列 ……的前n项和。‎ 2、 求和。‎ 3、 求和。‎ 4、 已知数列 , 数列 ,,求数列 的前n项和。‎ 第四节 递推数列的通项公式及前n项和 ‎1、利用不动点求数列通项 ‎ ‎[题根三] 数列 满足,,求通项公式。‎ ‎[思路] 1、写出 ,由不完全归纳法得表达式。‎ ‎2、构造新数列,转化成等比数列求解。‎ ‎[解题] 在的 两边加1,则数列 是首项为2,公比为2的等比数列,‎ 得 ,即 即为所求。‎ ‎[收获] 型递推数列,当p=1时, 数列为等差数列;当时,‎ 数列为等比数列。下面给出时递推式的通项公式的求法:‎ 方法1、因为 所以一定存在 满足 , 从而得 , 此为函数的不动点。 由 ,得是首项为 ,公比为p的等比数列,于是 , 即 ,将 代入上式, 得 通项公式为 ………………(I) ‎ 方法2、由,, 得,令, 则,则是首项为,公比为q的等比数列, 得 ‎ ‎ (*);当n=1时,(*)式也成立。‎ ‎ [请你试试4——1]‎ 数列满足 , , 求 。‎ ‎ [变题1] 数列 满足, 求通项公式 。‎ ‎[思路] 常见解法:先求数列 的通项公式 ‎[解题]由将已知关系式取倒数得 , 由(#)式 得 ,所以。‎ ‎[收获] 型递推数列的通项公式的求法: ‎ 令 ,得 或 为两不动点。由于,‎ 设,则 ,此为模型。 同样, 也可化为 模型,由(I)式 可求得。更为特殊的是p=s 时,, 设 则数列 是等差数列 。我们常取的倒数求解 ,原因恰是为此 。‎ ‎[变题2] (06年江西理第22题)数列 满足, 求通项公式。‎ ‎[解答] ,即,又,得 ,所以 ,得 。‎ ‎[请你试试4——2]‎ 函数 ,数列 满足,, ,(1)求的通项公式 ;(2)设 ,求 。 ‎ ‎[变题2] 数列中, ,求 ‎ ‎[思路1] 令 ,得 ,即两不动点,可得是等比数列,‎ ‎[解法1] 由,‎ 令, 则 ……………………(a )‎ 由, ‎ 令, 则 ……………………(b)‎ (a) 式除以(b)式 得 ,即是首项为 公比为的等比数列,,‎ ‎[思路2] 和均可化为型递推式,‎ ‎[解法2] 由 ‎ 令, 则 , 由(I)式 得 所以 ‎ ‎[解法3] 由 , 亦可求得 ‎[收获] 求解型递推数列的通项公式的方法:‎ ‎ 令 , 设其两根为 即两不动点。于是是等比数列, 并且和均可化为型递推式 。‎ ‎[请你试试4——3]‎ 写出解法3的详细过程。‎ ‎[变题3] 设数列 前n项和为,求 及 。‎ ‎[思路] 将已知关系中 的化为 ,再进一步变形。‎ ‎[解题] 由,得 , 即 ‎ ‎ , 得. ‎ ‎ 这是 型递推式,由(#)式得 ‎ ‎ ‎ 第1变 递推式 ‎ ‎2、累积错位相消法求数列通项 ‎[变题4] 数列 满足,,求通项公式。‎ ‎[思路] 观察 与、与 存在的关系,思考解题方法。‎ ‎[解题] ,,,……,,各式相乘得 。‎ ‎[收获] 1、若f(n)为常数, 则为等比数列。2、型递推式,通项公式求解方法如下:‎ 各式两边分别相乘,得 ……………………………(II)‎ 当n=1时, (II)仍成立 ‎[变题5] 在数列中,,‎ (1) 求 通项公式 (2)令,求的前n项和。‎ ‎[思路] 将题中递推式转化、归类,再求解。‎ ‎[解题] (1)将题中递推式转化为:‎ ‎.‎ 即 .由 (II) 式 得通项公式 ‎(2) 由 , 得 ‎ 所以数列前n 项和 : ‎ 第2变 型递推数列 ‎3、累加错位相消法求数列通项 ‎[变题6] 已知数列中,,, 求的通项公式。‎ ‎[思路] 将题中递推式变形 ,利用错位相消法。‎ 解 将题中递推式表示为:,‎ 于是 ,,,……,‎ 各式相加得 ‎ 得 ‎ ‎ 即为所求通项公式。‎ ‎[收获] 对于数列,设 则称数列是差数列, 则 ‎ ‎ 得 ‎ 所以的通项公式为………… (III). 当n=1时,也满足(III)式。‎ ‎[变题7] 在数列中,, , 求通项公式。‎ ‎[思路] 题中关系式不是型的递推式,但两边同除以n(n+1),经过变量替换,可化为型递推式。‎ ‎[解题] 在递推式 两边同除以 n(n+1) , 得 ‎ 令 得 ,。由(III)式得 表达式为:‎ 于是通项公式为 ‎ ‎ [请你试试4——4]‎ ‎ 求数列 1、4、11、26、57、120、……,的通项公式。‎ 第3变 型递推数列 ‎4、两边同除以 ,经过变量替换,化为型递推式 ‎[变题8] 数列满足 , , 求 。‎ ‎[思路] 递推式两边同除以 ,经过变量替换,可化为型递推式。‎ ‎[解题] 在 两边同除以 , 得 ‎ 令 ,则 , 此为模型。‎ 于是 则 所以 ‎ ‎[收获] 在中, 当q(n)是常数q时,即为模型。‎ 在两边同除以 , 得 , 令, 得 即可求出 的通项公式,从而得=‎ ‎[变题9](2006年全国理第22题)设数列前n项和为,n=1,2,……,求通项 。‎ ‎[解答] 。因为 ,所以由题设得:,即 ‎,得 。‎ ‎[规律小结] 根据数列性质可得出递推关系,然后再根据结构特征求通项公式。‎ ‎[请你试试4——5]‎ ‎1、数列满足 , , 求 。‎ ‎2、数列的前n项和 ,, 求 ‎ 第3变 型 ‎4、两边取对数,变形转化为模型 ‎[变题10] 数列中,令, (1)求数列的通项公式,(2)设,求。‎ ‎[思路] 利用对数运算法则变形转化。‎ 解:(1)由已知得 ,即模型,‎ 由(II)式,得。‎ ‎(2) 由 , 得 ‎ ‎ 则 。‎ ‎[收获] ,当q=1时,为等比数列。当 时,对递推式两边取常用对数,得 ‎ ‎, 令, 得 ,此为模型,即题根 。‎ 第4变 型 ‎5、利用特征根求通项公式 ‎[变题11] 在数列 中, , ,求 ‎ ‎[思路] 在数列中,已知 ,且 ,求其通项公式方法介绍如下:当 时,存在 满足 (*),即 ,与 比较系数,得 ,由根与系数的关系知 是二次方程 两实根,此方程称为递推式的特征方程。易见,只需将递推式中的 换成 即可得特征方程。由 (*)式知数列 是等比数列,于是 或 。当 时,将p=1-q代入递推式,得 ,则 是以 为首项,-q为公比的等比数列,从而 ,利用错位相消法即可求解。‎ ‎[解题] 递推式特征方程为 ,解得 ,所以递推式可表示为 ,数列是首项为 ,公比为 的等比数列,所以……,两边同除以 ,得 ,‎ 于是 是首项为0,公差为1等差数列,故,。‎ ‎[收获] 一般的,在数列中,已知 ,且 ,它的特征方程 两根为,则,当时 ,通项公式 ;当时 ,通项公式 ……,其中A,B为常数,可由 推出。‎ 利用这一结论可方便的推出通项公式。‎ ‎[变题12] 在数列 中, , ,求 ‎ 解:特征方程 两根为。设 ,由,得 A=2,B=-1, 故 。‎ ‎[请你试试 4——6]‎ ‎1、在数列 中, , ,求 。‎ ‎2、在数列 中, , ,求 。 ‎ 第六章 数列 请你试试 答案与提示 ‎[请你试试 1—1]:1、,,选 C ‎2、a3+a7-a10+a11-a4=,得 。‎ ‎[请你试试 1—2]:1、略; 2、n=27; 3、由,;‎ ‎4、倒加法 。‎ ‎[请你试试 1—3]:1、200; 2、4 。‎ ‎[请你试试 1—4]:1、12; 2、40; 3、 0、110; 4、3 (b-a);5、。‎ ‎[请你试试 1—5]:1、 1504;2、0;3、12或13。‎ ‎[请你试试 1—6]:。‎ ‎[请你试试2—1]:等比数列中某些项的积的问题,利用性质解。 设 , , ,易见A,B,C成等比,公比为 。 由 且 ,得 ,即 ,。‎ ‎[请你试试2—2]:1、 ;2、 或(舍去)。‎ ‎[请你试试2—3]:1、等差,则,得 ,即=0;‎ ‎2、略。‎ ‎[请你试试2—4]:由上例分析得 a(1+10%)10-x(1+10%)9-……-x(1+10%)-x=‎2a,即,‎ 即 2.6a-16x=2a 。‎ ‎[请你试试3—1]:1、 ;2、 ;3、 。‎ ‎[请你试试3—2]:1、;2、 ;‎ ‎ 3、‎ ‎。‎ ‎[请你试试3—3]:1、;2、;3、。‎ ‎[请你试试3—4]:。‎ ‎[请你试试3—5]:1、;2、分和 两种情形;3、;‎ ‎4、。‎ ‎[请你试试4—1]:由 得 ,可得;‎ 或由求。‎ ‎[请你试试4—2]:提示:;。‎ ‎[请你试试4—3]:略 ‎[请你试试4—4]:由原数列得一阶差数列 :3、7、15、31、63、……;由得 二阶差数列 :‎ ‎4、8、16、32、……,易得,得,最后得原数列通项公式 。‎ ‎[请你试试4—5]:1、两边同除以,得,即,得 。2、由, 得 , 。‎ ‎[请你试试4—6]:1、特征方程 两根为,设 ,由,得 A=0,B=1, 故 。2、取对数,,令,则 ,,且 , ……,。‎